Dlaczego większość pokryw studzienek jest okrągła? - Marc Chamberland

Dlaczego większość pokryw studzienek jest okrągła? Na pewno dlatego, że łatwiej się je toczy i wsuwa w różne miejsca. Ale istnieje inny istotniejszy powód, dotyczący charkaterystycznych właściowści geometrycznych kół i innych figur. Marc Chamberland opisuje figury o stałej szerokości i wyjaśnia twierdzenie Barbiera.

Lekcja, Marc Chamberland; animacje, Pew36 Animation Studios.

Dlaczego większość
pokryw studzienek jest okrągła?

Na pewno łatwiej się je
toczy i wsuwa w różne miejsca.

Ale istnieje inny, istotniejszy powód,

związany z charakterystyczną właściwością
geometrycznych kół i innych figur.

Wyobraź sobie sobie kwadrat
rozdzielający dwie równoległe linie.

Kiedy kwadrat się obraca, linie
odpychają się, a później wracają.

Ale spróbuj zrobić tak z kołem.

Linie pozostają dokładnie
w tej samej odległości od siebie,

czyli średnicy koła.

Dlatego w przeciwieństwie do kwadratu,
koło jest tak zwaną

figurą geometryczną o stałej szerokości.

Inną taką figurą jest trójkąt Reuleaux.

Aby stworzyć taki trójkąt,
zacznij od trójkata równobocznego,

potem wyznaczamy koło, którego środek
to jeden z wierzchołków trójkąta,

a krawędź dotyka pozostałych wierzchołków.

Narysuj dwa podobne koła
na pozostałych wierzchołkach.

Tam, gdzie się pokrywają,
mamy trójkąt Reuleaux.

Trójkąty Reuleaux mogą się
obracać między równoległymi liniami

bez zmieniania odległości,

więc mogą służyć za koła
przy odrobinie kreatywności.

Jeśli zaczniesz go obracać

razem z jego punktem środkowym
wokół osi obrotu,

obwód trójkąta wyrysuje
kwadrat o zaokrąglonych kątach,

umożliwiając trójkątnym wiertłom
wiercenie kwadratowych dziur.

Każdy wielokąt z nieparzystą liczbą boków

może zostać figurą o stałej szerokości,

dzięki tej samej metodzie,
której już użyliśmy.

Ale istnieje wiele innych figur o stałej
szerokości, które tworzy się inaczej.

Figura o stałej szerokości
przeturlana naokoło innej tej samej figury

utworzy trzecią figurę
o stałej szerokości.

Ten zbiór szpiczastych krzywych
fascynuje matematyków.

Dzięki nim mamy twierdzenie Barbiera,

według którego obwód
każdej figury o stałej szerokości,

a nie tylko koła, równa się π x średnica.

Według innego twierdzenia,
kilka figur o stałej szerokości,

mających taką samą szerokość,

posiadałoby ten sam obwód.

Ale trójkąt Reuleaux
miałby najmniejsze pole.

Koło, które jest wielokątem Reuleaux,

o nieskończonej ilości boków,
ma największe pole.

W trójwymiarze można tworzyć
powierzchnie o stałej szerokości,

takie jak czworościan Reuleaux.

Tworzy się go przez utworzenie kuli

z każdego wierzchołka
do wierzchołka przeciwnego.

Na końcu zostawiamy tylko obszar,
w którym kule się pokrywają.

Powierzchnie o stałej szerokości

zachowują stałą odległość
między dwiema płaszczyznami.

Można by więc rozrzucić
czworościany Reulauxa po podłodze

i przejechać po nich na desce
jak po szklanych kulkach.

Wracając do pokryw studzienek,

krótsza krawędź
kwadratowej pokrywy studzienki

mogłaby zrównać się
z szerszą stroną dziury

i wpaść do środka.

Ale figura o stałej szerokości
nie wpadnie pod żadnym kątem

Dlatego zazwyczaj są okrągłe,
ale miej oczy otwarte

a może natrafisz na pokrywę
w kształcie trójkąta Reuleaux.