Dlaczego większość pokryw studzienek jest okrągła?
Na pewno łatwiej się je toczy i wsuwa w różne miejsca.
Ale istnieje inny, istotniejszy powód,
związany z charakterystyczną właściwością geometrycznych kół i innych figur.
Wyobraź sobie sobie kwadrat rozdzielający dwie równoległe linie.
Kiedy kwadrat się obraca, linie odpychają się, a później wracają.
Ale spróbuj zrobić tak z kołem.
Linie pozostają dokładnie w tej samej odległości od siebie,
czyli średnicy koła.
Dlatego w przeciwieństwie do kwadratu, koło jest tak zwaną
figurą geometryczną o stałej szerokości.
Inną taką figurą jest trójkąt Reuleaux.
Aby stworzyć taki trójkąt, zacznij od trójkata równobocznego,
potem wyznaczamy koło, którego środek to jeden z wierzchołków trójkąta,
a krawędź dotyka pozostałych wierzchołków.
Narysuj dwa podobne koła na pozostałych wierzchołkach.
Tam, gdzie się pokrywają, mamy trójkąt Reuleaux.
Trójkąty Reuleaux mogą się obracać między równoległymi liniami
bez zmieniania odległości,
więc mogą służyć za koła przy odrobinie kreatywności.
Jeśli zaczniesz go obracać
razem z jego punktem środkowym wokół osi obrotu,
obwód trójkąta wyrysuje kwadrat o zaokrąglonych kątach,
umożliwiając trójkątnym wiertłom wiercenie kwadratowych dziur.
Każdy wielokąt z nieparzystą liczbą boków
może zostać figurą o stałej szerokości,
dzięki tej samej metodzie, której już użyliśmy.
Ale istnieje wiele innych figur o stałej szerokości, które tworzy się inaczej.
Figura o stałej szerokości przeturlana naokoło innej tej samej figury
utworzy trzecią figurę o stałej szerokości.
Ten zbiór szpiczastych krzywych fascynuje matematyków.
Dzięki nim mamy twierdzenie Barbiera,
według którego obwód każdej figury o stałej szerokości,
a nie tylko koła, równa się π x średnica.
Według innego twierdzenia, kilka figur o stałej szerokości,
mających taką samą szerokość,
posiadałoby ten sam obwód.
Ale trójkąt Reuleaux miałby najmniejsze pole.
Koło, które jest wielokątem Reuleaux,
o nieskończonej ilości boków, ma największe pole.
W trójwymiarze można tworzyć powierzchnie o stałej szerokości,
takie jak czworościan Reuleaux.
Tworzy się go przez utworzenie kuli
z każdego wierzchołka do wierzchołka przeciwnego.
Na końcu zostawiamy tylko obszar, w którym kule się pokrywają.
Powierzchnie o stałej szerokości
zachowują stałą odległość między dwiema płaszczyznami.
Można by więc rozrzucić czworościany Reulauxa po podłodze
i przejechać po nich na desce jak po szklanych kulkach.
Wracając do pokryw studzienek,
krótsza krawędź kwadratowej pokrywy studzienki
mogłaby zrównać się z szerszą stroną dziury
i wpaść do środka.
Ale figura o stałej szerokości nie wpadnie pod żadnym kątem
Dlatego zazwyczaj są okrągłe, ale miej oczy otwarte
a może natrafisz na pokrywę w kształcie trójkąta Reuleaux.