Perché i copritombini sono rotondi? - Marc Chamberland

Guarda la lezione completa: http://ed.ted.com/lessons/why-are-manhole-covers-round-marc-chamberland

Perché gran parte dei copritombini sono rotondi? Certo, sono più facili fa far rotolare e allineare in qualunque mondo. Ma c'è un altro motivo, che riguarda una strana proprietà geometrica di cerchi e altre forme. Marc Chamberland spiega le curve ad ampiezza costante e il teorema di Barbier.

Lezione di Marc Chamberland, animazione di Pew36 Animation Studios.

Perché gran parte dei coperchi
dei tombini sono rotondi?

Perché è più facile farli rotolare
al loro posto, certo,

ma c'è un'altra ragione
più affascinante

che ha a che fare con la proprietà
geometrica di cerchi e altre forme.

Immaginate un quadrato che separa
due linee parallele.

Se il quadrato ruota, le linee prima
si allontanano, poi si riavvicinano.

Ma provate a farlo con un cerchio

e le linee resteranno alla stessa
esatta distanza l'una dall'altra,

quella del diametro del cerchio.

Questo rende il cerchio,
contrariamente al quadrato,

una forma matematica
detta curva ad ampiezza costante.

Un'altra forma con questa proprietà
è il triangolo di Reuleaux.

Per crearne uno,
iniziate con un triangolo equilatero,

poi rendete uno dei vertici il centro
di un cerchio che tocca gli altri due.

Disegnate altri due cerchi allo stesso
modo, centrati negli altri due vertici,

ed ecco il triangolo, nello spazio in cui
i cerchi si sovrappongono.

Poiché i triangoli di Reuleaux
possono ruotare tra linee parallele

senza cambiarne la distanza,

possono essere usati come ruote,
con un po' di creatività ingegneristica.

E se ne ruotate uno facendo muovere
il centro in una forma circolare,

il suo perimetro traccia un quadrato
dagli angoli arrotondati,

permettendo così ai trapani triangolari
di creare buchi quadrati.

Ogni poligono
con un numero di dispari

può essere usato per generare
una curva ad ampiezza costante

usando lo stesso metodo di prima,

nonostante ce ne siano molti altri
che non sono realizzati in questo modo.

Per esempio, se ruotate una qualsiasi
curva ad ampiezza costante intorno

ad un'altra, ne creerete una terza.

Questa collezione di curve appuntite
affascina i matematici.

Ci hanno dato il teorema di Barbier,

che dice che il perimetro di ogni curva
ad ampiezza costante,

non solo dei cerchi, equivale
a pi volte il diametro.

Un altro teorema ci dice che se avessimo
delle curve ad ampiezza costante

con la stessa ampiezza,

avrebbero lo stesso perimetro,

ma il triangolo di Reuleaux avrebbe
l'area più piccola.

Il cerchio, che è effettivamente
un poligono di Reuleaux

con un numero infinito di lati,
ha l'area più grande.

In tre dimensioni, possiamo creare
superfici ad ampiezza costante,

come il tetraedro di Reuleaux,

formato prendendo un tetraedro,

espandendo una sfera da ogni vertice
finché tocca quelli opposti,

e considerando solo la zona
in cui si sovrappongono.

Le superfici ad ampiezza costante

mantengono una distanza costante
tra due piani paralleli.

Potreste gettare un mucchio
di tetraedri di Reuleaux per terra,

e scivolarci sopra come se fossero
delle biglie.

Ora, torniamo ai copri-tombini.

Lo spigolo di un copri-tombino quadrato

potrebbe allinearsi con la parte
più larga del tombino e caderci dentro.

Ma una curva ad ampiezza costante
non cadrà in qualsiasi modo sia girata.

Di solito sono circolari,
ma se tenete gli occhi aperti,

potreste incrociare un copri-tombino
fatto a triangolo di Reuleaux.