Perché gran parte dei coperchi dei tombini sono rotondi?
Perché è più facile farli rotolare al loro posto, certo,
ma c'è un'altra ragione più affascinante
che ha a che fare con la proprietà geometrica di cerchi e altre forme.
Immaginate un quadrato che separa due linee parallele.
Se il quadrato ruota, le linee prima si allontanano, poi si riavvicinano.
Ma provate a farlo con un cerchio
e le linee resteranno alla stessa esatta distanza l'una dall'altra,
quella del diametro del cerchio.
Questo rende il cerchio, contrariamente al quadrato,
una forma matematica detta curva ad ampiezza costante.
Un'altra forma con questa proprietà è il triangolo di Reuleaux.
Per crearne uno, iniziate con un triangolo equilatero,
poi rendete uno dei vertici il centro di un cerchio che tocca gli altri due.
Disegnate altri due cerchi allo stesso modo, centrati negli altri due vertici,
ed ecco il triangolo, nello spazio in cui i cerchi si sovrappongono.
Poiché i triangoli di Reuleaux possono ruotare tra linee parallele
senza cambiarne la distanza,
possono essere usati come ruote, con un po' di creatività ingegneristica.
E se ne ruotate uno facendo muovere il centro in una forma circolare,
il suo perimetro traccia un quadrato dagli angoli arrotondati,
permettendo così ai trapani triangolari di creare buchi quadrati.
Ogni poligono con un numero di dispari
può essere usato per generare una curva ad ampiezza costante
usando lo stesso metodo di prima,
nonostante ce ne siano molti altri che non sono realizzati in questo modo.
Per esempio, se ruotate una qualsiasi curva ad ampiezza costante intorno
ad un'altra, ne creerete una terza.
Questa collezione di curve appuntite affascina i matematici.
Ci hanno dato il teorema di Barbier,
che dice che il perimetro di ogni curva ad ampiezza costante,
non solo dei cerchi, equivale a pi volte il diametro.
Un altro teorema ci dice che se avessimo delle curve ad ampiezza costante
con la stessa ampiezza,
avrebbero lo stesso perimetro,
ma il triangolo di Reuleaux avrebbe l'area più piccola.
Il cerchio, che è effettivamente un poligono di Reuleaux
con un numero infinito di lati, ha l'area più grande.
In tre dimensioni, possiamo creare superfici ad ampiezza costante,
come il tetraedro di Reuleaux,
formato prendendo un tetraedro,
espandendo una sfera da ogni vertice finché tocca quelli opposti,
e considerando solo la zona in cui si sovrappongono.
Le superfici ad ampiezza costante
mantengono una distanza costante tra due piani paralleli.
Potreste gettare un mucchio di tetraedri di Reuleaux per terra,
e scivolarci sopra come se fossero delle biglie.
Ora, torniamo ai copri-tombini.
Lo spigolo di un copri-tombino quadrato
potrebbe allinearsi con la parte più larga del tombino e caderci dentro.
Ma una curva ad ampiezza costante non cadrà in qualsiasi modo sia girata.
Di solito sono circolari, ma se tenete gli occhi aperti,
potreste incrociare un copri-tombino fatto a triangolo di Reuleaux.