¿Por qué las tapas de alcantarilla son redondas? - Marc Chamberland

Ver la lección completa en: http://ed.ted.com/lessons/why-are-manhole-covers-round-marc-chamberland

¿Por qué las tapas de alcantarilla son redondas? Claro, eso les permite rodar fácilmente y deslizarse en el lugar, en cualquier dirección. Pero hay otra razón más convincente, que implica la participación de una propiedad geométrica peculiar de los círculos y otras formas. Marc Chamberland explica las curvas de longitud constante y el teorema de Barbier.

Lección de Marc Chamberland, animación de Pew36 Animation Studios.

¿Por qué muchas tapas de
alcantarilla son redondas?

Eso permite girarlas y ubicarlas
fácilmente desde cualquier posición.

Pero hay otra razón más interesante

referida a las propiedades geométicas
de los círculos y otras formas.

Imagina un cuadrado que
separa 2 líneas paralelas.

Al rotar, las líneas se separan,
y después se vuelven a juntar.

Pero intenta esto con un círculo

y las líneas permanecerán
exactamente a la misma distancia,

es el diámetro del círculo.

Eso diferencia al círculo del cuadrado,

una forma matemática llamada
curva de longitud constante.

Otra forma con esta propiedad
es el triángulo de Reuleaux.

Para crear uno, empieza
con un triángulo equilátero,

y haz de uno de los vértices el centro
de un círculo que toca los otros dos.

Dibuja 2 círculos más del mismo modo,
centrados en los otros 2 vértices,

y aquí está, en el espacio
donde se cruzan todos.

Porque los triángulos de Reuleaux
pueden rotar entre líneas paralelas

sin alterar su distancia,

pueden funcionar como ruedas,
con un poco de ingeniería creativa.

Y si rotas uno mientras giras su punto
central en una vía casi circular,

su perímetro dibuja un cuadrado
con esquinas redondeadas,

permitiendo a las barrenas triangulares
taladrar agujeros cuadriculados.

Cualquier polígono con
un número impar de lados

puede usarse para generar
una curva de longitud constante

usando el mismo método
que hemos aplicado antes,

aunque hay muchos otros que
no están hechos de esta manera.

Por ejemplo, si haces rodar una
curva de longitud constante sobre otra,

crearás una tercera.

Esta colección de curvas en punta
fascina a los matemáticos.

Nos han dado el teorema de Barbier

que dice que el perímetro de cualquier
curva de longitud constante,

no simplemente un círculo,
equivale a pi veces el diámetro.

Otro teorema nos dice que en un grupo
de curvas de longitud constante

con la misma longitud,

tendrán todas el mismo perímetro,

pero el triángulo de Reuleaux
tendría el área más pequeña.

El círculo, que en verdad
es un polígono de Reuleaux

con un número infinito de lados,
tiene la mayor.

En 3 dimensiones, podemos hacer
superficies de longitud constante,

como el tetraedro de Reuleaux,

formado al tomar un tetraedro,

expandiendo una esfera de cada vértice
hasta que toca los vértices opuestos,

y eliminando todo lo sobrante
excepto la región donde se encuentran.

Las superficies de longitud constante

mantienen una distancia constante
entre 2 planos paralelos.

Así, podrías lanzar un puñado de
tetraedros de Reuleaux al suelo,

y deslizar una tabla sobre ellos
tan suavemente como si fueran canicas.

Volviendo a las tapas de alcantarilla.

El borde corto de una tapa de
alcantarilla de forma cuadriculada

podría coincidir con la parte más ancha
del agujero y caer en el interior.

Pero una curva de longitud constante
no caerá en ninguna dirección.

Generalmente son circulares,
pero mantén los ojos abiertos,

y podrías también encontrar

una tapa de alcantarilla en forma
de triángulo de Reuleaux.