Il dilemma del prigioniero e l'equilibrio di Nash

Nella stessa giornata, la polizia ha eseguito due arresti inizialmente non correlati

Hanno arrestato un uomo chiamato Alan

Lo hanno colto in flagrante mentre vendeva droga

Quindi è un caso aperto e chiuso

Nello stesso giorno, la polizia ha catturato Bill,

anche lui colto in flagrante mentre spacciava droga.

Sono stati portati separatamente alla centrale di polizia

e informati "questo caso è aperto e chiuso

sarai condannato per spaccio di droga

e ti beccherai due anni"

Dicono ciò a ciascun prigioniero individualmente.

I due stavano vendendo lo stesso tipo di droga.

Ma lo stavano facendo in completa autonomia.

Saranno condannati a due anni per spaccio,

senza altre assunzioni.

Ma poi il procuratore ha la possibilità

di parlare con i sospettati separatamente.

E mentre parla con loro, rimarca il fatto che

questo è un caso di spaccio aperto e chiuso.

Stanno entrambi per avere 2 anni se non succede altro.

Ma poi comincia a realizzare che

questi 2 personaggi si assomigliano.

Comincia a sospettare che questi

fossero i 2 criminali che avevano commesso

un crimine più serio, che avevano commesso

una rapina a mano armata quanche settimana prima.

E tutto ciò che ha il procuratore è la

sua impressione, il sospetto.Non ha prove.

Quindi vuole provare a concludere un affare

con ognuno dei sospettati, in modo cha abbiano un incentivo

a farsi la spia a vicenda.

Quindi dice a ognuno:

"Avrai due anni per spaccio di droga,

questo è garantito". Ma aggiunge:

"Se confessi, e l'altro non lo fa,

sarai condannato a 1 anno

e l'altro prigioniero otterrà 10 anni"

Quindi dice ad Al " abbiamo catturato anche Bill proprio oggi,

Se confessi che che siete stati tu e Bill a commettere la rapina a mano armata,

Potrai ridurre la tua pena da 2 a 1 anno.

Ma Bill sarà ovviamente condannato a più anni di prigione,

soprattutto perché non sta collaborando,

non sta confessando".

Ma anche l'opposto sarà vero:

Se tu neghi e l'altro confessa

i fatti si invertono.

Tu avrai 10 anni perché non hai collaborato,

e l'altro, il tuo cospiratore avrà un pena ridotta,

otterrà 1 anno. Quindi è come dire ad Al

"Se neghi di aver commesso il crimine

e Bill fa la spia,

allora beccherai 10 anni di prigione

e Bill otterrà un solo anno di prigione."

Se invece entrambi confessano

saranno entrambi condannati a 3 anni.

Questo scenario è chiamato il "dilemma del prigioniero".

Perché vediamo subito che c'è

un'ottima prospettiva per i prigionieri

se entrambi negano, entrambi prendono 2anni

Ma vediamo come, in base agli incentivi,

considerando che non sono leali tra loro

e (si sa) che sono criminali incalliti, reagiscono.

Non sono fratelli o legati tra loro in qualche modo.

Non hanno alcun tipo di lealtà.

Vedremo che essi scelgono razionalmente, o

dovrebbero scegliere razionalmente un opzione non ottimale.

Per capire, ricorriamo alla rappresentazione

chiamata "matrice del pay off"

Ok, lasciamela rappresentare per Bill.

Quindi Bill ha due opzioni, può confessare

la rapina o può negare tutto, e

dire di non sapere nulla sulla rapina.

Anche Al ha le stesse due opzioni.

Al può confessare e Al può negare.

Dal momento che si chiama matrice pay off,

lasciami disegnare le griglie qui.

Pensiamo a tutti i diversi scenari e quali

sarebbero i rispettivi pay off.

Se entrambi confessano sono nel 4scenario,

entrambi prendono 3 anni di prigione,

3 per Al e 3 per Bill.

Ora, se Al confessa e Bill nega

ci troviamo nella griglia2, dal punto di vista di Al,

Al avrà un solo anno,

ma Bill otterrà 10 anni.

Ora se accade l'opposto, cioè

Bill confessa e Al nega

le pene si invertono.

Al avrà 10 anni per non aver collaborato e

Bill otterrà una pena ridotta di 1 anno per aver collaborato.

Se entrambi negano si trovano nel 1scenario, dove

entrambi otterranno la condanna per spaccio di droga.

Perciò Al otterrebbe 2anni e Bill otterrebbe 2anni.

Ho accennato a questo nel precedente video:

qual è la prospettiva ottimale globale?

Beh, è questo pay off, dove

entrambi negano di avere a che fare con la

rapina, e ottengono 2anni.

Ma vediamo che è piuttosto razionale,

considerando che non hanno alcun legame,

nessuna fiducia nella controparte,

non negare, è più razionale per entrambi confessare

La confessione è un "equilibrio di Nash".

Vediamo di spiegarci meglio.

Un equilibrio di Nash si trova quando ogni parte sceglie

date le scelte dell'altra parte.

Quindi quando ogni parte compie la scelta ottimale

date le scelte della controparte.

Perciò dal punto di vista di Al, lui pensa

non so se Bill sta confessando o negando,

ma se confessa, cos'è meglio fare per me?

Se confessa e io confesso, ottengo 3anni

Se confessa e io nego, ottengo 10 anni.

Se confessa perciò mi conviene confessare.

Quindi questo è lo scenario preferibile.

Non so se Bill ha confessato, potrebbe aver negato.

Se Bill ha negato, mi conviene confessare

e ottenere 1anno o negare e ottenerne 2?

Ancora una volta, per me è meglio confessare.

E quindi, indipendentemente dalla scelta di Bill,

la scelta ottimale per Al, tenendo

conto delle scelte di Bill, è confessare

Se Bill confessa, ad Al conviene confessare,

se Bill nega, ad Al conviene confessare.

La situazione dal punto di vista di Bill

è completamente simmetrica.

Bill non sa se Al confesserà o negherà.

Se Al confessa, Bill può confessare e ottenere 3 anni,

o può negare e ottenere 10 anni.

3 anni in prigione sono meglio di 10,

quindi opterò per i 3 anni.

Se so che Al sta confessando.

Ma non so se Al confessa, potrebbe negare.

Se Al nega, potrei confessare e ottenere 1anno,

o potrei negare e ottenere 2 anni.

Ancora una volta, preferirò confessare e ottenere 1anno.

Quindi a Bill, considerando le scelte che Al potrebbe fare,

conviene sempre confessare.

Questo risultato è interessante.

Deducono razionalmente che dovrebbero scegliere questo scenario,

questa la situazione di equilibrio di Nash

al contrario di quanto è globalmente ottimale

Entrambi prenderanno 3 anni se confessano

al contrario prenderanno 2 anni negando.

Il problema è che questa situazione è instabile.

Se uno dei due assume che l'altro,

se uno di loro assume che

si trovano temporaneamente in quello stato

Si dicono: "Posso sempre migliorare il mio

scenario cambiando la mia scelta".

Se Al pensava che Bill avesse sicuramente negato

Al può migliorare la sua situazione

confessando e ottenendo solo 1anno.

Allo stesso modo, se Bill pensa che Al probabilmente negherà

realizza che può ottimizzare il risultato

anziché negare e ottenere 2 anni

e spostarsi in questa direzione.

Quindi questo scenario ottimale è instabile,

ma questo equilibrio di Nash, proprio questo stato

è veramente molto, molto, molto stabile.

Se assumono.. che è meglio per entrambi confessare

indipendentemente da ciò che l'altro fa,

e assumendo che tutti gli altri attori hanno scelto la loro strategia,

non c'è alcun incentivo per Bill.

Quindi.. se assumiamo che ognuno ha cambiato strategia

puoi muoverti solo in questa direzione, se sei Bill puoi anche..

puoi spostarti dall'equilibrio di Nash di confessare a negare,

peggiorerai la situazione, perciò non vorrai farlo.

O puoi spostarti in questa direzione,

dove sarebbe Al a cambiare decisione.

Ancora una volta peggiora l'esito per Al

che si sposta da 3 a 10 anni.

Perciò questo equilibrio, questa situazione stabile,

in cui tutte le persone sceglierebbero

opzioni che non sono globalmente ottimali.