-
Ας κάνουμε αρκετά ακόμη παραδείγματα
-
Έτσι ώστε να σιγουρευτούμε ότι κατανοήσαμε καλά αυτές τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
-
Ας φτιάξουμε λοιπόν μόνοι μας κάποια ορθογώνια τρίγωνα
-
Ας φτιάξουμε λοιπόν μόνοι μας κάποια ορθογώνια τρίγωνα
-
Και θέλω να είμαι πολύ σαφής
-
Ο τρόπος που έχουμε ορίσει αυτές τις συναρτήσεις μέχρι στιγμής ισχύουν μόνο για ορθογώνια τρίγωνα.
-
Έτσι αν προσπαθήσετε να ορίσετε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών που δεν είναι μέρος ενός ορθογωνίου τριγώνου
-
θα δούμε ότι χρειάζεται να κατασκευάσουμε ορθογώνια τρίγωνα
-
Αλλά προς στιγμή ας συγκεντρωθούμε στα ορθογώνια τρίγωνα.
-
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τρίγωνο
-
όπου το μήκος της κάτω πλευράς είναι 7
-
και ας υποθέσουμε ότι το μήκος της άλλης πλευράς
-
είναι 4
-
Και τώρα ας υπολογίσουμε ποίο είναι το μήκος της υποτείνουσας
-
Με όσα γνωρίζουμε. Ας ονομάσουμε την υποτείνουσα "h"
-
Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας h θα είναι ίσο με το τετράγωνο του 7 συν το τετράγωνο του 4
-
αυτό το γνωρίζουμε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
-
δηλαδή ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσον με το
-
το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών
-
το τετράγωνο του h είναι ίσον με το τετράγωνο του7 συν το τετράγωνο του 4
-
δηλαδή αυτό είναι ίσον με σαράντα εννέα (49) συν δέκα έξη (16)
-
49 συν 16
-
σαράντα εννέα συν δέκα είναι ίσον με πενήντα εννέα συν έξι εξήντα πέντε
-
Αυτό είναι εξήντα πέντε, δηλαδή το εξήντα πέντε είναι το τετράγωνο του h
-
Ας μου επιτρέψετε να γράψω το τετράγωνο το h με διαφορετικό χρώμα
-
έτσι έχουμε λοιπόν το τετράγωνο του h ίσον με εξήντα πέντε
-
Ας δούμε αν το υπολόγισα αυτό σωστά. Σαράντα εννέα συν δέκα πενήντα εννέα , συν έξι εξήντα πέντε
-
ή θα μπορούσαμε να πούμε ότι το h είναι ίσον με την τετραγωνική των δυο άλλων πλευρών
-
τετραγωνική ρίζα
-
η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε . Και πραγματικά δεν μπορούμε να απλοποιήσουμε αυτό παραπάνω
-
αυτή είναι δέκα τρία
-
Αυτό είναι το ίδιο με το να λέμε δέκα τρία επί πέντε
-
και τα δυο από αυτούς τους αριθμούς δεν είναι τέλεια τετράγωνα
-
και οι δυο τους είναι πρώτοι αριθμοί και έτσι δεν μπορούμε να τους απλοποιήσουμε περισσότερο.
-
Έτσι αυτό είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε.
-
Και τώρα ας βρούμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις για αυτή την γωνία επάνω εδώ
-
Ας ονομάσουμε αυτή την γωνία θ
-
Έτσι κάθε φορά που κάνετε αυτό
-
εσείς πάντα θα γράφετε - αυτό τουλάχιστον για μένα αξλιζει να το γράφετε-
-
ημ-συν-εφ=ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ
-
ημ
-
Έχω αυτό το αόριστο φωνητικό σύμπλεγμα μνήμης
-
από τον καθηγήτη μου στην Τριγωνομετρία
-
Μπορεί να έχω διαβάσει αυτό και σε κάποιο βιβλίο. Δεν το ξέρω , εσείς ξέρετε κάτι γι' αυτό;
-
Το ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ Μοιάζει σαν το όνομα κάποιας Ινδής Πριγκίπισσας ή οτιδήποτε άλλο
-
αλλά είναι μια πολύ χρήσιμη έκφραση απομνημόνευσης
-
έτσι μπορεί να εφαρμόσουμε το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
-
Ας βρούμε, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο
-
Θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο της γωνίας θ
-
Αν θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο της γωνίας μας θ , λέμε "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
-
Αυτό μας λέει τι θα κάνουμε για να βρούμε το "συν"
-
το μέρος "ΠΥ" από το "ΑΥΠΥΠΑ" μας λέει
-
ότι το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της παρακείμενης πλευράς ως πρός την υποτείνουσα
-
το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της προσκείμενης πλευράς ως πρός την υποτείνουσα
-
Ας κοιτάξουμε λοιπόν την γωνία θ ; ποία πλευρά είναι η παρακείμενη
-
καλά ξέρουμε ότι η υποτείνουσα
-
ξέρουμε ότι η υποτείνουσα είναι αυτή εδώ η πλευρά
-
Επομένως αυτή δεν μπορεί να είναι η πλεύρα που ζητάμε. Η μόνη πλευρά που μπορεί να είναι παρακείμενη σ'αυτή
-
δεν είναι η υποτείνουσα είναι αυτή που είναι ίση με τέσσερα
-
Έτσι η παράπλευρη πλευρά στην γωνία θ είναι αυτή εδώ η πλευρά
-
είναι ακριβώς δίπλα στην γωνία
-
είναι μία από τις πλευρές αυτού του είδους που σχηματίζουν την γωνία
-
το συν είναι ο λόγος 4 ως πρός την υποείνουσα
-
Η υποτείνουσα ξέρουμε ότι είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
δηλαδή είναι ο λόγος 4 ως προς την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
και μερικές φορές οι άνθρωποι θέλουν να κατανοήσουν τι πραγματικά σημαίνει ο παρανομαστής
-
δεν θέλουν να έχουν ένα μη κατανοητό παρανομαστή
-
όπως η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
και αν αυτοί δεν θέλουν - και εσύ δεν θέλεις να ξαναγράψεις ένα μη κατανοητό αριθμό στον παρανομαστή
-
μπορεί να πολλαπλασιάσεις τον αριθμητή και τον παρανομαστή
-
με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
αυτό σίγουρα δεν θα αλλάξει τον αριθμό
-
επειδή πολλαπλασιάζουμε αυτόν με κάτι πάνω από τον εαυτό του
-
δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με την μονάδα
-
αυτό δεν αλλάζει τον αριθμό , αλλά τουλάχιστον μας απαλλάσσει από τον ακατανόητο αριθμό στον παρανομαστή
-
έτσι ο αριθμητής γίνεται
-
τέσσερες φορές η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
και ο παρανομαστής γίνεται τετραγωνική ρίζα του 65 επί τετραγωνική ρίζα του 65 ίσον με 65.
-
Εμείς δεν απαλλαγήκαμε ακόμη από τους ακατανόητους αριθμούς, αυτοί είναι ακόμα εκεί, αλλά είναι τώρα στον αριθμητή
-
τώρα ας κάνουμε τις άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις
-
ή τουλάχιστον τις υπόλοιπες βασικές συναρτήσεις
-
Μελλοντικά θα μάθουμε ότι υπάρχουν πολλές απ' αυτές
-
αλλά όλες αυτές πηγάζουν (ορίζονται) από αυτές τις βασικές
-
Λοιπόν ας σκεφτούμε τι είναι το ημ θ. Και ας πάμε άλλη μια φορά στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
-
Το ΠΥ από το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ" μας λέει τι θα κάνουμε με το ημίτονο (ημ.)
-
Το ημίτονο είναι ίσον με τον λόγο της απέναντι πλευράς ως προς την υποτείνουσα
-
Ημίτονο είναι η απέναντι δια της υποτείνουσας (Α/Υ)
-
Λοιπόν γι' αυτή την γωνία ποία είναι η απέναντι πλευρά;
-
Πάμε ακριβώς απέναντι απ' αυτή , η οποία είναι η πλευρά με μήκος επτά
-
επομένως η απέναντι πλευρά έχει μήκος επτά
-
Αυτή είναι, αυτή εδώ - η οποία είναι η απέναντι πλευρά
-
και μετά η υποτείνουσα, είναι η απέναντι υπεράνω της υποτείνουσας (Α/Υ)
-
Η υποτείνουσα είναι η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
και για μια φορά ακόμη αν θέλουμε να κάνουμε κατανοητό αυτό
-
θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
και ο αριθμητής θα είναι ίσος με επτά φορές την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
και ο παρανομαστής θα είναι πάλι εξήντα πέντε
-
Και τώρα ας υπολογίσουμε την εφαπτομένη !
-
Ας υπολογίσουμε την εφαπτομένη
-
Έτσι αν ζητήσω από σας την εφαπτομένη
-
την εφαπτομένη της γωνίας θήτα (θ)
-
για άλλη μια φορά ας πάμε πίσω στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
-
το ΠΑ μας λέει τι θα κάνουμε με την εφαπτομένη
-
αυτό μας λέει
-
αυτό μας λέει ότι η εφαπτομένη
-
είναι ίση με τον λόγο της απέναντι πλευρά υπεράνω της παρακείμενης πλευράς
-
είναι ίση με την απέναντι πάνω
-
η απέναντι πάνω από την παρακείμενη
-
Επομένως γι' αυτή την γωνία, ποιά είναι η απέναντι. είδη έχουμε βρει ποία είναι
-
είναι επτά. Η απέναντι είναι επτά
-
Η απέναντι είναι επτά
-
Επομένως είναι επτά πάνω από την παρακείμενη πλευρά
-
καλά αυτή η πλευρα μήκος τέσσερα είναι η παρακείμενη