Sonsuz Otel Çelişkisi - Jeff Dekofsky

Bütün dersi izlemek için: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky

Alman matematikçi David Hilbert tarafından yaratılan bir düşünce deneyi olan Sonsuz Otel, sonsuz sayıda odası olan bir oteldir. Anlaşılması kolay geliyor, değil mi? Değil. Ya tamamen doluysa ama bir kişi oda tutmak istiyorsa? Ya 40 kişi? Veya insanlarla dolu sonsuz bir otobüs? Jeff Dekofsky bu çarpıcı konaklama sorununu Hilbert'in çelişkisini kullanarak çözüyor..

Ders: Jeff Dekofsky, Animasyon: The Moving Company Animation Studio.

1920'lerde,

Alman matematikçi David Hilbert

sonsuzluk kavramını anlamamızın

ne kadar zor olduğunu bize göstermek için

ünlü bir düşünce deneyi tasarladı.

Sonsuz sayıda odası olan bir otel

ve çok çalışkan bir gece müdürü hayal edin.

Bir gece, sonsuz otel sonsuz sayıda konukla

tamamen dolu, bütün odalar ayırtılmıştır.

Otele bir adam girer

ve bir oda ister.

Gece müdürü, adamı geri çevirmek yerine

ona bir oda açmaya karar verir.

Nasıl mı?

Kolay, 1 numaralı odadaki konuktan

2 numaralı odaya taşınmasını,

2 numaralı odadakinden 3'e taşınmasını rica eder,

ve böyle devam eder.

Bütün konuklar "n" oda numarasından

"n+1" oda numarasına taşınır.

Zaten sonsuz sayıda oda olduğu için

oteldeki her konuk için yeni bir oda vardır.

Böylece yeni müşteri için 1 numaralı oda boşalır.

Bu işlem her sınırlı sayıda

yeni müşteri için tekrarlanabilir.

Eğer, diyelim ki, bir tur otobüsü otele

oda isteyen 40 yeni kişi getirse,

otelde olan bütün konuklar sadece

"n" numaralı odadan

"n+40" numaralı odaya taşınırlar,

böylece ilk 40 odayı boşaltmış olurlar.

Ama şimdi sonsuz büyüklükte bir otobüs

sayısal olarak sonsuz yolcuyla

oda tutmak için otele yanaşır.

"Sayısal olarak sonsuz" anahtar kelimelerdir.

Şimdi, sonsuz yolculu sonsuz otobüs

ilk bakışta gece müdürünün kafasını karıştırır

ama gece müdürü her yeni kişiyi

yerleştirmek için bir yol olduğunu fark eder.

1 numaralı odadaki konuktan

2 numaralı odaya geçmesini rica eder.

Sonra 2 numaralı odadaki konuktan

4 numaralı odaya geçmesini,

3 numaralı odadaki konuktan

6 numaraya geçmesini ister,

ve böyle devam eder.

Her mevcut konuk "n" numaralı odadan

"2n" numaralı odaya taşınır,

böylece sadece sonsuz çift sayılı odaları doldururlar.

Bu sayede gece müdürü

sonsuz çoklukta bütün tek sayılı odaları boşaltmış

ve bu odalara da

sonsuz otobüsten inen insanları yerleştirmiştir.

Herkes mutludur ve otelin işleri de

her zamankinden daha tıkırındadır.

Yani, aslında tamamen her zamankiyle

aynı miktarda kazanmaktadırlar,

zaten bir gecede hesaba sonsuz dolar yatmaktadır.

Bu inanılmaz otelin şanı yayılır.

Uzaktan yakından insanlar akın eder.

Bir gece, inanılmaz bir şey gerçekleşir.

Gece müdürü dışarı bakar ve

sayısal olarak sonsuz yolcu taşıyan

sonsuz büyüklükte otobüslerden

sonsuz bir sıra görür.

Ne yapabilir?

Eğer hepsine birer oda bulamazsa

otel sonsuz miktarda

para kaybedecektir

ve kendisi kesin işini kaybedecektir.

Neyse ki

M.Ö. 300 yılı civarında

Öklid'in sonsuz sayıda asal sayı olduğunu

kanıtladığını hatırlıyordur.

Sonsuz sayıda otobüs dolusu

sonsuz sayıda yorgun yolcuya

sonsuz sayıda yatak bulmak gibi

neredeyse imkansız bir görevi tamamlamak için

gece müdürü bütün mevcut konukları

ilk asal sayı olan 2'nin

mevcut oda sayılarıyla üssüne yükselterek çıkan sayılı odaya yerleştirir.

Yani, 7 numaralı odanın mevcut sakini

2^7 numaralı odaya,

yani 128 numaralı odaya gider.

Sonra, gece müdürü

sonsuz otobüslerin ilkindeki insanları

bir sonraki asal olan 3'ü

otobüsteki koltuk sayılarıyla üssüne yükselterek

sonuçta çıkan sayılı odalara yerleştirir.

Mesela, ilk otobüste 7 numaralı koltukta oturan kişi

3^7 numaralı odaya gider,

yani 2,187 numaralı oda.

Bu ilk otobüsteki herkes için devam eder.

İkinci otobüsteki yolcular

bir sonraki asal olan 5'in üslerine yerleştirilir.

Bir sonraki otobüs, 7'nin üslerine.

Her otobüs bunu takip eder:

11'in üsleri,

13'ün üsleri,

17'nin üsleri, vs.

Bu sayıların her biri çarpan olarak

sadece 1 ve asal sayılarının

doğal sayı olan üslerine sahip olduğu için,

çakışan hiçbir oda numarası yoktur..

Bütün otobüslerin yolcuları farklı asal sayılara

dayanan farklı yerleştirme düzenleriyle

odalarına dağılır.

Bu şekilde, gece müdürü her otobüsteki

her yolcuyu ağırlayabilir.

Buna rağmen, bir sürü oda boş kalacaktır

Örneğin, 6 numaralı oda,

çünkü 6 hiç bir asal sayının üssü değildir.

Şans eseri, patronları matematikte o kadar iyi değil,

yani işi güvende.

Gece müdürünün stratejilerinin mümkün olmasının tek sebebi,

Sonsuz Otel her ne kadar

mantıksal bir kabus olsa da,

sadece sonsuzluğun en alt katmanıyla ilgileniyor.

Esas olarak, doğal sayıların

sayılabilir sonsuzluğu bu,

1, 2 ,3, 4 ve devamı.

Georg Canter sonsuzluğun bu seviyesini alef-sıfır diye isimlendirmiştir.

Oda sayıları ve otobüslerdeki koltuk sayıları için

doğal sayılar kullanılır.

Eğer sonsuzluğun daha yüksek düzenleriyle uğraşıyor olsaydık,

örneğin gerçek sayıların kullanıldığı sonsuzluk,

sistematik olarak her sayıyı dahil edecek

bir yöntemimiz olmadığı için

bu yapılandırılmış stratejiler

artık mümkün olmazdı.

Gerçek Sayılı Sonsuz Otel'in

bodrum katta negatif sayılı odaları,

kesirli odaları vardır,

yani 1/2 numaralı odadaki her zaman 1 numaralı

odadaki adamdan daha az yeri olduğundan şüphelenir.

Kök 2 veya pi gibi numaralı

karekök odalarda

konuklar ikram tatlı bekler.

Hangi özsaygısı olan gece müdürü

sonsuz bir maaşa rağmen

orada çalışmak ister ki?

Fakat asla boş odası olmayan

ve her zaman yer bulabileceğiniz

Hilbert'in Sonsuz Oteli'nde,

her vakit çalışkan ve belki de fazla misafirperver

gece müdürünün karşılaştığı durumlar

bize nispeten sonlu akıllarımızın

sonsuzluk kadar büyük bir kavramı

anlamasının ne kadar zor

olduğunu hatırlatır.

Belki de güzel bir uykudan sonra

bu problemlerin çözümünde yardımcı olabilirsiniz.

Ama doğrusu, sabahın 2'sinde

odanızı değiştirmemiz gerekebilir.