Il Paradosso dell'Hotel Infinito - Jeff Dekofsky

Guarda l'intera lezione: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky

L'hotel Infinito, un esperimento creato dal matematico tedesco David Hilbert, è un hotel con un numero infinito di stanze. Facile da capire, giusto? Cosa succederebbe se fosse tutto al completo ma una persona volesse prendere una stanza? E se fossero 40? O un bus infinitamente pieno di persone? Jeff Dekofsky risolve questi grattacapi usando il paradosso di Hilbert.

Lezione di Jeff Dekofsky, animazione di "The Moving Company Animation Studio".

Negli anni '20,

il matematico tedesco David Hilbert

ideò un famoso esperimento

per mostrarci quanto sia difficile

capire a pieno il concetto di infinito.

Immaginate un hotel con un infinito numero di stanze

e un direttore notturno che si dà molto da fare.

Una notte, l'Hotel Infinito è completamente pieno,

prenotazioni al completo, con un infinito numero di ospite.

Un uomo entra nell'hotel

e chiede una stanza.

Invece di mandarlo via,

il direttore decide di trovargli un posto.

Come?

Facile, chiede all'ospite della stanza n° 1

di spostarsi nella stanza n°2,

all'ospite della n°2 di spostarsi nella n°3,

e così via.

Ogni ospite si sposta dalla stanza numero "n"

alla "n+1".

Poiché c'è un numero infinito di stanze,

c'è una stanza nuova per ogni ospite che esiste.

Questo lascia la stanza n°1 libera per il nuovo cliente.

Il processo può essere ripetuto

per ogni numero finito di nuovi ospiti.

Se, per esempio, un autobus turistico scarica

40 nuove persone in cerca di stanze,

allora ogni ospite presente,
si sposta semplicemente

dalla stanza numero "n"

alla numero "n+40",

lasciando così libere le prime 40 stanze.

Ma ora un bus inifinitamente grande

con un numero di passeggeri infinito numerabile

si ferma per affittare stanze.

Infinito numerabile è il punto.

Ora, il bus infinito di passeggeri infiniti

all'inizio lascia il direttore perplesso,

ma poi si rende conto che c'è un modo

per sistemare ogni persona nuova.

Chiede all'ospite della stanza n°1

di spostarsi nella n°2

Poi chede all'ospite della n°2

di spostarsi nella n°4,

all'ospite della n°3

di spostarsi nella n°6

e così via.

Ogni ospite attuale si sposta
dalla stanza numero "n"

a quella numero "2n",

riempiendo solo le stanze di numero pari.

Facendo così, gli restano vuote

tutte le stanze di numero dispari infinito,

che vengono quindi occupate dalle persone

che scendono dal bus infinito.

Tutti sono felici e il business dell'hotel

cresce pù che mai.

Beh, in realtà, cresce

esattamente come sempre,

incassando un numero infinito
di dollari a notte.

Le voci su questo hotel incredibile si spargono.

Le persone si riversano da ogni dove.

Una notte, accade l'impensabile.

Il direttore notturno guarda fuori

e vede una fila infinita

di bus infinitamente grandi,

ognuno con un numero di passeggeri infiniti numerabili.

Cosa può fare?

Se non può trovare stanze per loro,

l'hotel perderà

una cifra infinita di soldi,

e lui perderà sicuramente il lavoro.

Fortunatamente, si ricorda

che intorno al 300 a.C.,

Euclide provò che esiste una quantità infinita

di numeri primi.

Dunque, per svolgere questo compito
apparentemente impossibile

di trovare letti infiniti

per bus infiniti

di infiniti viaggiatori esausti,

il direttore notturno assegna ogni ospite attuale

al primo numero primo, 2,

elevato alla potenza del loro numero di stanza attuale.

Quindi, l'attuale occupante della stanza n°7

va alla numero 2^7,

che è la stanza 128.

Il direttore notturno poi porta le persone

del primo dei bus infiniti

e li assegna al numero di stanza

del numero primo successivo, 3,

elevato alla potenza del loro numero di sedile sul bus.

Quindi, la persona del sedile n°7 del primo bus

va nella stanza n° 3^7

o stanza 2187.

Ciò continua per tutto il primo bus.

Ai passeggeri del secondo bus

vengono assegnate le potenze del
numero primo successivo, 5.

Al bus successivo, le potenze del 7.

Ogni bus come segue:

potenze dell'11,

potenze del 13,

potenze del 17, ecc.

Poiché ognuno di questi numeri

è in base uno elevato

alla potenza di un numero naturale,

non ci sono numeri di stanze che si sovrappongono.

Tutti i passegeri dei bus si recano alle stanze

tramite uno schema d'assegnazione unico

basato su numeri primi unici.

In questo modo, il direttore può sistemare

ogni passeggero di ogni bus.

Tuttavia, rimarranno molte stanze vuote,

come la n°6

poiché 6 non è la potenza di nessun numero primo.

Fortunatamente, i suoi capi non erano molto bravi
in matematica,

quindi il suo lavoro è salvo.

Le strategie del direttore notturno
sono possibili solo

perché mentre l'Hotel Infinito

è sicuramente un incubo logistico,

si occupa solo del livello iniziale d'infinito,

cioè l'infinito numerabile

dei numeri naturali,

1, 2, 3, 4, e così via.

Georg Cantor ha chiamato
questo livello di infinito aleph-zero.

Usiamo i numeri naturali per i numeri delle stanze

così come i numeri di sedile sui bus.

Se avessimo a che fare
con ordini d'infinito superiori,

come quello dei numeri reali,

queste strategie articolate

non sarebbero più possibili

poiché non c'è modo

di includere sistematicamente ogni numero.

L'Hotel dei Numeri Reali Infiniti ha

stanze dai numeri negativi in cantina,

stanze frazionali,

quindi il tizio della stanza 1/2 sospetta sempre

di avere meno spazio di quello della stanza 1.

Stanze a radice quadrata, come la stanza a radicale 2

e stanza pi greco,

dove gli ospiti s'aspettano dessert gratis.

Quale direttore che si rispetti

vorrebbe mai lavorare lì

anche con uno stipendio infinito?

Ma all'Hotel Infinito di Hilbert,

dove non c'è mai posto

ma sempre spazio per altri,

gli scenari affrontati dal sempre diligente

e forse troppo ospitale direttore notturno

servono a ricordarci

quanto sia difficile

per le nostre menti relativamente finite

afferrare un concetto tanto vasto quanto l'infinito.

Forse puoi riuscire ad affrontare questi problemi

dopo una buona notte di sonno.

Ma onestamente, potresti dover

cambiare le stanze alle 2 di notte.