Paradoks Hotel Tak Hingga - Jeff Dekofsky

Simak materi selengkapnya: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky

Hotel Tak Hingga, eksperimen pemikiran yang dibuat oleh ahli matematika Jerman, David Hilbert, adalah hotel dengan jumlah kamar yang tak hingga. Mudah dipahami, ya? Salah. Bagaimana jika semua kamar sudah penuh, tetapi satu orang ingin menyewa kamar? Bagaimana jika 40 orang? Atau bus yang berisi penumpang tak hingga? Jeff Dekofsky memecahkan masalah penginapan yang menarik ini menggunakan paradoks Hilbert.

Materi oleh Jeff Dekofsky, animasi oleh The Moving Company Animation Studio.

Pada 1920-an,

ahli matematika, Jerman, David Hilbert,
merancang eksperimen pikiran yang terkenal

untuk menunjukkan betapa sulitnya
memahami konsep ketakhinggaan.

Bayangkan sebuah hotel
yang jumlah kamarnya tak hingga

dan seorang manajer sif malam
yang sangat giat bekerja.

Suatu malam,
Hotel Tak Hingga sangat penuh,

sudah habis dipesan
dengan jumlah tamu tak terbatas.

Seorang pria masuk ke hotel itu
dan meminta kamar.

Bukannya menolak, manajer itu
memutuskan menyediakan kamar untuknya.

Caranya?

Mudah, dia minta tamu di Kamar Satu
pindah ke Kamar Dua,

tamu di Kamar Dua pindah
ke Kamar Tiga, dan seterusnya.

Setiap tamu pindah dari kamar "n"
ke kamar "n + 1".

Karena jumlah kamarnya tak hingga,
ada kamar baru untuk setiap tamu yang ada.

Ini membuat Kamar Satu kosong
untuk tamu baru itu.

Proses ini bisa diulang
untuk jumlah tamu baru yang terhingga.

Jika, katakanlah, bus wisata menurunkan
40 orang baru yang mencari kamar,

berarti setiap tamu yang ada
tinggal pindah

dari nomor kamar "n"
ke nomor kamar "n+40",

sehingga mengosongkan 40 kamar pertama.

Tapi sekarang,
bus yang besarnya tak hingga

berisi penumpang yang jumlahnya
tak hingga terhitung

berhenti untuk menyewa kamar.

Kuncinya adalah tak hingga yang terhitung.

Bus tak hingga yang berisi
penumpang tak hingga itu

awalnya membuat si manajer bingung,

tapi dia sadar ada cara
untuk tempatkan setiap tamu baru.

Dia meminta tamu di Kamar Satu
pindah ke Kamar Dua.

Lalu dia minta tamu di Kamar Dua
pindah ke Kamar Empat,

tamu di Kamar Tiga pindah
ke Kamar Enam, dan seterusnya.

Setiap tamu pindah
dari kamar "n" ke kamar "2n"--

hanya mengisi kamar
bernomor genap yang tak hingga.

Dengan melakukan ini, dia mengosongkan

semua kamar bernomor ganjil
yang tak hingga,

yang kemudian diambil orang-orang
yang turun dari bus tak hingga itu.

Semua senang, dan bisnis hotel itu
lebih meningkat dari sebelumnya.

Sebenarnya, peningkatannya
sama persis dengan sebelumnya,

menghasilkan uang tak hingga semalam.

Kabar tersiar tentang hotel
yang luar biasa ini.

Orang-orang berdatangan dari mana-mana.

Suatu malam, terjadi hal yang tak terduga.

Manajer sif malam melongok ke luar

dan melihat barisan tak hingga
berisi bus besar tak hingga,

setiap bus berisi jumlah penumpang
tak hingga yang terhitung.

Dia bisa lakukan apa?

Jika dia tak bisa beri mereka
kamar, hotel itu akan rugi

uang yang jumlahnya tak hingga,

dan dia pasti akan dipecat.

Untungnya, dia ingat sekitar tahun 300 SM,

Euclid buktikan bahwa bilangan prima
berjumlah tak hingga.

Jadi, untuk selesaikan
tugas yang tampak mustahil,

yaitu mencari ranjang tak hingga
untuk bus tak hingga

berisi turis tak hingga
yang kelelahan ini,

manajer itu memberi setiap tamu yang ada

bilangan prima pertama, yaitu dua,

pangkat nomor kamar mereka saat ini.

Jadi, penghuni Kamar Tujuh saat ini

pindah ke kamar nomor dua pangkat tujuh,

yaitu Kamar 128.

Manajer itu kemudian membawa
penumpang bus tak hingga pertama

dan memberi nomor kamar berupa
bilangan prima berikutnya, yaitu tiga,

pangkat nomor kursi mereka di bus.

Jadi, orang di kursi nomor tujuh
di bus pertama

masuk ke kamar nomor tiga pangkat tujuh

atau kamar nomor 2.187.

Ini berlanjut untuk seluruh bus pertama.

Penumpang di bus kedua

diberi pangkat dari bilangan prima
yang berikutnya, yaitu lima.

Bus berikutnya, pangkat dari tujuh.

Setiap bus berikutnya:

pangkat dari 11, pangkat dari 13,
pangkat dari 17, dan seterusnya.

Karena setiap angka ini

hanya memiliki satu
dan pangkat bilangan asli

dari bilangan prima mereka sebagai faktor,

tak ada nomor kamar yang tumpang tindih.

Semua penumpang bus menyebar ke kamar

dengan skema penetapan kamar unik
berdasarkan bilangan prima unik.

Dengan begini, manajer itu bisa menampung
setiap penumpang di setiap bus.

Tapi akan banyak kamar yang kosong,

seperti Kamar Enam

karena enam bukan pangkat
dari bilangan prima apa pun.

Untungnya, atasannya
tak begitu pandai berhitung.

Jadi, pekerjaannya aman.

Strategi manajer itu hanya berhasil

karena meski jelas merupakan
mimpi buruk logistik,

Hotel Tak Hingga hanya berurusan
dengan tak hingga tingkat terendah,

yaitu tak hingga terhitung
dari bilangan asli:

satu, dua, tiga, empat, dan seterusnya.

Georg Cantor menyebut
tingkat tak hingga ini bilangan alef.

Kita gunakan bilangan asli
untuk nomor kamar dan nomor kursi di bus.

Untuk tak hingga
yang levelnya lebih tinggi,

seperti bilangan riil tak hingga,

strategi terstruktur ini tak berhasil lagi

karena setiap angka tak mungkin
dimasukkan secara sistematis.

Hotel Tak Hingga Bilangan Riil

memiliki kamar nomor negatif di basemen,

kamar pecahan--

sehingga penghuni Kamar 1/2 selalu curiga

kamarnya lebih kecil
dari penghuni Kamar Satu--

Kamar Akar Kuadrat,
seperti Kamar Akar Kuadrat dari Dua,

dan Kamar Pi,

yang para tamunya mengharapkan
makanan penutup gratis.

Manajer bermartabat mana
yang mau bekerja di sana

meski gajinya tak hingga?

Tapi di Hotel Tak Hingga Hilbert,

yang tak pernah ada lowongan
dan selalu ada kamar lebih,

skenario yang dihadapi manajer
yang rajin dan mungkin terlalu ramah itu

mengingatkan kita betapa sulitnya
bagi pikiran kita yang relatif terbatas

untuk memahami konsep sebesar tak hingga.

Mungkin Anda bisa bantu mengatasi
masalah ini setelah tidur nyenyak.

Tapi sejujurnya, kami mungkin ingin
Anda pindah kamar pukul 02.00.