Pada 1920-an,
ahli matematika, Jerman, David Hilbert, merancang eksperimen pikiran yang terkenal
untuk menunjukkan betapa sulitnya memahami konsep ketakhinggaan.
Bayangkan sebuah hotel yang jumlah kamarnya tak hingga
dan seorang manajer sif malam yang sangat giat bekerja.
Suatu malam, Hotel Tak Hingga sangat penuh,
sudah habis dipesan dengan jumlah tamu tak terbatas.
Seorang pria masuk ke hotel itu dan meminta kamar.
Bukannya menolak, manajer itu memutuskan menyediakan kamar untuknya.
Caranya?
Mudah, dia minta tamu di Kamar Satu pindah ke Kamar Dua,
tamu di Kamar Dua pindah ke Kamar Tiga, dan seterusnya.
Setiap tamu pindah dari kamar "n" ke kamar "n + 1".
Karena jumlah kamarnya tak hingga, ada kamar baru untuk setiap tamu yang ada.
Ini membuat Kamar Satu kosong untuk tamu baru itu.
Proses ini bisa diulang untuk jumlah tamu baru yang terhingga.
Jika, katakanlah, bus wisata menurunkan 40 orang baru yang mencari kamar,
berarti setiap tamu yang ada tinggal pindah
dari nomor kamar "n" ke nomor kamar "n+40",
sehingga mengosongkan 40 kamar pertama.
Tapi sekarang, bus yang besarnya tak hingga
berisi penumpang yang jumlahnya tak hingga terhitung
berhenti untuk menyewa kamar.
Kuncinya adalah tak hingga yang terhitung.
Bus tak hingga yang berisi penumpang tak hingga itu
awalnya membuat si manajer bingung,
tapi dia sadar ada cara untuk tempatkan setiap tamu baru.
Dia meminta tamu di Kamar Satu pindah ke Kamar Dua.
Lalu dia minta tamu di Kamar Dua pindah ke Kamar Empat,
tamu di Kamar Tiga pindah ke Kamar Enam, dan seterusnya.
Setiap tamu pindah dari kamar "n" ke kamar "2n"--
hanya mengisi kamar bernomor genap yang tak hingga.
Dengan melakukan ini, dia mengosongkan
semua kamar bernomor ganjil yang tak hingga,
yang kemudian diambil orang-orang yang turun dari bus tak hingga itu.
Semua senang, dan bisnis hotel itu lebih meningkat dari sebelumnya.
Sebenarnya, peningkatannya sama persis dengan sebelumnya,
menghasilkan uang tak hingga semalam.
Kabar tersiar tentang hotel yang luar biasa ini.
Orang-orang berdatangan dari mana-mana.
Suatu malam, terjadi hal yang tak terduga.
Manajer sif malam melongok ke luar
dan melihat barisan tak hingga berisi bus besar tak hingga,
setiap bus berisi jumlah penumpang tak hingga yang terhitung.
Dia bisa lakukan apa?
Jika dia tak bisa beri mereka kamar, hotel itu akan rugi
uang yang jumlahnya tak hingga,
dan dia pasti akan dipecat.
Untungnya, dia ingat sekitar tahun 300 SM,
Euclid buktikan bahwa bilangan prima berjumlah tak hingga.
Jadi, untuk selesaikan tugas yang tampak mustahil,
yaitu mencari ranjang tak hingga untuk bus tak hingga
berisi turis tak hingga yang kelelahan ini,
manajer itu memberi setiap tamu yang ada
bilangan prima pertama, yaitu dua,
pangkat nomor kamar mereka saat ini.
Jadi, penghuni Kamar Tujuh saat ini
pindah ke kamar nomor dua pangkat tujuh,
yaitu Kamar 128.
Manajer itu kemudian membawa penumpang bus tak hingga pertama
dan memberi nomor kamar berupa bilangan prima berikutnya, yaitu tiga,
pangkat nomor kursi mereka di bus.
Jadi, orang di kursi nomor tujuh di bus pertama
masuk ke kamar nomor tiga pangkat tujuh
atau kamar nomor 2.187.
Ini berlanjut untuk seluruh bus pertama.
Penumpang di bus kedua
diberi pangkat dari bilangan prima yang berikutnya, yaitu lima.
Bus berikutnya, pangkat dari tujuh.
Setiap bus berikutnya:
pangkat dari 11, pangkat dari 13, pangkat dari 17, dan seterusnya.
Karena setiap angka ini
hanya memiliki satu dan pangkat bilangan asli
dari bilangan prima mereka sebagai faktor,
tak ada nomor kamar yang tumpang tindih.
Semua penumpang bus menyebar ke kamar
dengan skema penetapan kamar unik berdasarkan bilangan prima unik.
Dengan begini, manajer itu bisa menampung setiap penumpang di setiap bus.
Tapi akan banyak kamar yang kosong,
seperti Kamar Enam
karena enam bukan pangkat dari bilangan prima apa pun.
Untungnya, atasannya tak begitu pandai berhitung.
Jadi, pekerjaannya aman.
Strategi manajer itu hanya berhasil
karena meski jelas merupakan mimpi buruk logistik,
Hotel Tak Hingga hanya berurusan dengan tak hingga tingkat terendah,
yaitu tak hingga terhitung dari bilangan asli:
satu, dua, tiga, empat, dan seterusnya.
Georg Cantor menyebut tingkat tak hingga ini bilangan alef.
Kita gunakan bilangan asli untuk nomor kamar dan nomor kursi di bus.
Untuk tak hingga yang levelnya lebih tinggi,
seperti bilangan riil tak hingga,
strategi terstruktur ini tak berhasil lagi
karena setiap angka tak mungkin dimasukkan secara sistematis.
Hotel Tak Hingga Bilangan Riil
memiliki kamar nomor negatif di basemen,
kamar pecahan--
sehingga penghuni Kamar 1/2 selalu curiga
kamarnya lebih kecil dari penghuni Kamar Satu--
Kamar Akar Kuadrat, seperti Kamar Akar Kuadrat dari Dua,
dan Kamar Pi,
yang para tamunya mengharapkan makanan penutup gratis.
Manajer bermartabat mana yang mau bekerja di sana
meski gajinya tak hingga?
Tapi di Hotel Tak Hingga Hilbert,
yang tak pernah ada lowongan dan selalu ada kamar lebih,
skenario yang dihadapi manajer yang rajin dan mungkin terlalu ramah itu
mengingatkan kita betapa sulitnya bagi pikiran kita yang relatif terbatas
untuk memahami konsep sebesar tak hingga.
Mungkin Anda bisa bantu mengatasi masalah ini setelah tidur nyenyak.
Tapi sejujurnya, kami mungkin ingin Anda pindah kamar pukul 02.00.