O que é um vetor? - David Huynh

Ver a lição completa em: http://ed.ted.com/lessons/what-is-a-vector-david-huynh

Físicos, controladores de tráfego aéreo e criadores de videojogos têm em comum pelo menos uma coisa: os vetores. Mas o que exatamente eles são, e por que são importantes? David Huynh explica como os vetores são um exemplo primordial da elegância, da beleza e da utilidade fundamental da matemática.

Lição de David Huynh, animação de Anton Trofimov.

Físicos, controladores de tráfego aéreo
e criadores de videojogos

todos têm em comum
pelo menos uma coisa: os vetores.

O que exatamente eles são
e por que são importantes?

Para responder, precisamos primeiro
entender as grandezas escalares.

Uma grandeza escalar
é uma grandeza com magnitude.

Ela nos diz quanto existe de alguma coisa.

A distância entre você e um banco

e o volume e a temperatura
da bebida em seu copo

são demonstrados
através de grandezas escalares.

As grandezas vetoriais
também possuem magnitude,

além de uma informação
adicional: a direção.

Para chegar ao banco,

você precisa saber a que distância
e em que direção ele está;

não só a distância, mas o deslocamento.

O que torna os vetores especiais
e úteis em diversas áreas

é que eles não mudam
com base em perspectiva,

mas permanecem invariáveis
ao sistema de coordenadas.

Mas o que isso quer dizer?

Digamos que você e um amigo estejam
mudando sua barraca de lugar.

Vocês ficam em lados opostos
e, portanto, olham em direções opostas.

Seu amigo dá dois passos
para a direita e três para a frente,

enquanto você dá dois passos
para a esquerda e três para trás.

Embora pareça que vocês estão
se movendo de forma diferente,

vocês acabam andando
a mesma distância na mesma direção,

seguindo o mesmo vetor.

Independentemente do lado que olhem

ou de que sistema de coordenadas
vocês utilizem no chão,

o vetor não muda.

Vamos usar o famoso sistema
cartesiano de coordenadas,

com seus eixos x e y.

Chamamos essas duas direções
de coordenadas-base

porque são usadas para descrever
tudo que colocamos no gráfico.

Digamos que a barraca comece no ponto
de origem e termine no ponto B.

A seta que conecta os dois pontos
é o vetor da origem ao ponto B.

Quando seu amigo pensa
em pra onde tem que se mover,

ele pode usar a representação
matemática 2x + 3y,

ou pode pensar no que chamamos de matriz.

Como vocês estão olhando lados opostos,

suas bases de coordenadas
apontam em direções opostas,

o que podemos chamar
de x linha e y linha,

e seus movimentos
podem ser escritos assim,

ou com essa matriz.

Se olharmos as duas matrizes,
obviamente não são iguais,

mas, sozinhas, não descrevem
perfeitamente um vetor.

Cada uma delas precisa de uma base
para ter contexto,

e quando damos o contexto,

vemos que elas estão, na verdade,
descrevendo o mesmo vetor.

Podemos ver os elementos dessas matrizes
como letras individuais.

Assim como uma sequência de letras
só se torna uma palavra

no contexto de uma determinada língua,

uma matriz ganha significado
enquanto vetor

quando associada
a uma base de coordenadas.

Assim como palavras diferentes em duas
línguas podem ter o mesmo significado,

representações diferentes de duas bases
podem descrever o mesmo vetor.

O vetor é a essência
daquilo que está sendo comunicado,

independentemente da linguagem
usada para descrevê-lo.

As grandezas escalares também têm essa
propriedade de invariância coordenativa.

Na verdade, todas as grandezas
com essa propriedade

pertencem a um grupo chamado de tensores.

Vários tipos de tensores trazem
diferentes quantidades de informação.

Isso significa que há algo capaz
de conter mais informação que os vetores?

Absolutamente.

Digamos que esteja criando um videojogo

e você queira criar um modelo realista
do comportamento da água.

Mesmo que haja forças agindo na mesma
direção e com a mesma magnitude,

dependendo da orientação delas,
você poderá ver ondas ou redemoinhos.

Quando a força, que é um vetor,
se combina com outro vetor, de orientação,

temos uma grandeza física
chamada de tensão,

que é um exemplo
de tensor de segunda ordem.

Esses tensores também são usados fora
dos videojogos com objetivos diversos,

que incluem simulações científicas,
design automotivo

e exames de imagem cerebrais.

A família das escalares,
dos vetores e dos tensores

nos mostra uma forma relativamente simples
de entender ideias e interações complexas

e, sendo assim, são um ótimo exemplo
da elegância, da beleza

e da utilidade essencial da matemática.