Físicos, controladores de tráfego aéreo e criadores de videojogos
todos têm em comum pelo menos uma coisa: os vetores.
O que exatamente eles são e por que são importantes?
Para responder, precisamos primeiro entender as grandezas escalares.
Uma grandeza escalar é uma grandeza com magnitude.
Ela nos diz quanto existe de alguma coisa.
A distância entre você e um banco
e o volume e a temperatura da bebida em seu copo
são demonstrados através de grandezas escalares.
As grandezas vetoriais também possuem magnitude,
além de uma informação adicional: a direção.
Para chegar ao banco,
você precisa saber a que distância e em que direção ele está;
não só a distância, mas o deslocamento.
O que torna os vetores especiais e úteis em diversas áreas
é que eles não mudam com base em perspectiva,
mas permanecem invariáveis ao sistema de coordenadas.
Mas o que isso quer dizer?
Digamos que você e um amigo estejam mudando sua barraca de lugar.
Vocês ficam em lados opostos e, portanto, olham em direções opostas.
Seu amigo dá dois passos para a direita e três para a frente,
enquanto você dá dois passos para a esquerda e três para trás.
Embora pareça que vocês estão se movendo de forma diferente,
vocês acabam andando a mesma distância na mesma direção,
seguindo o mesmo vetor.
Independentemente do lado que olhem
ou de que sistema de coordenadas vocês utilizem no chão,
o vetor não muda.
Vamos usar o famoso sistema cartesiano de coordenadas,
com seus eixos x e y.
Chamamos essas duas direções de coordenadas-base
porque são usadas para descrever tudo que colocamos no gráfico.
Digamos que a barraca comece no ponto de origem e termine no ponto B.
A seta que conecta os dois pontos é o vetor da origem ao ponto B.
Quando seu amigo pensa em pra onde tem que se mover,
ele pode usar a representação matemática 2x + 3y,
ou pode pensar no que chamamos de matriz.
Como vocês estão olhando lados opostos,
suas bases de coordenadas apontam em direções opostas,
o que podemos chamar de x linha e y linha,
e seus movimentos podem ser escritos assim,
ou com essa matriz.
Se olharmos as duas matrizes, obviamente não são iguais,
mas, sozinhas, não descrevem perfeitamente um vetor.
Cada uma delas precisa de uma base para ter contexto,
e quando damos o contexto,
vemos que elas estão, na verdade, descrevendo o mesmo vetor.
Podemos ver os elementos dessas matrizes como letras individuais.
Assim como uma sequência de letras só se torna uma palavra
no contexto de uma determinada língua,
uma matriz ganha significado enquanto vetor
quando associada a uma base de coordenadas.
Assim como palavras diferentes em duas línguas podem ter o mesmo significado,
representações diferentes de duas bases podem descrever o mesmo vetor.
O vetor é a essência daquilo que está sendo comunicado,
independentemente da linguagem usada para descrevê-lo.
As grandezas escalares também têm essa propriedade de invariância coordenativa.
Na verdade, todas as grandezas com essa propriedade
pertencem a um grupo chamado de tensores.
Vários tipos de tensores trazem diferentes quantidades de informação.
Isso significa que há algo capaz de conter mais informação que os vetores?
Absolutamente.
Digamos que esteja criando um videojogo
e você queira criar um modelo realista do comportamento da água.
Mesmo que haja forças agindo na mesma direção e com a mesma magnitude,
dependendo da orientação delas, você poderá ver ondas ou redemoinhos.
Quando a força, que é um vetor, se combina com outro vetor, de orientação,
temos uma grandeza física chamada de tensão,
que é um exemplo de tensor de segunda ordem.
Esses tensores também são usados fora dos videojogos com objetivos diversos,
que incluem simulações científicas, design automotivo
e exames de imagem cerebrais.
A família das escalares, dos vetores e dos tensores
nos mostra uma forma relativamente simples de entender ideias e interações complexas
e, sendo assim, são um ótimo exemplo da elegância, da beleza
e da utilidade essencial da matemática.