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Hoy hablaremos del personaje heróico y trágico del Marquis de Condorcet padre del 'social choice'.
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Condorcet nació en 1973 y murió en 1794, desde joven hizo importantes contribuciones a la teoría de las ecuaciones
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diferenciales y al calculo integral. Él es elegido para la Academia Real de la Ciencia y su trabajo le brinda reconocimiento
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mundial, como matemático y como científico. A principios de los 1770's se hace amigo de Vontaire y Turgot.
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Turgot lo introduce al gobierno, y se radicaliza. Recuerda que este es el tiempo en que la revolución americana
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está en planeación, la revolución francesa está por venir, el regimen antiguo esta empezando a deshacerse, todo
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sobre la política y la vida está cambiando y Condorcet quiere ser para de todo ésto.
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El empieza a escribir mucho sobre los asuntos políticos, él se convierte en un proponente de las ideas ilustradas.
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Él apoya a los derechos naturales, a la economía del laissez-faire, él es un abolicionista, es un feminista
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(muy avanzado para su tiempo), el propone reformas para el derecho penal. Recuerda que éste es un tiempo en
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donde la gente es quemada por cosas como lo que se decía blasfemia. Él defendía a la razón y quería que
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la razón y las matemáticas se aplicaran a la política. El promueve la idea del progreso y que la ciencia y la razón
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pueden ayudar a la humanidad a ser mejor y de echo el primer libro de Malthus se escribió en oposición a Condorcet.
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Cuando la revolución industrial estaba por empezar, él se vuelve un amigo de Thomas Jefferson
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y luego de Tom Paine, Tom Paine de hecho vive en su casa después de la revolución de Estados Unidos.
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Condorcet escribe sobre 'la carta de derechos' y lo importante que esta es, y él influencia la adopción de
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la carta de derechos humanos en America. Él luego toma un papel de líder en la revolución francesa.
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En términos de las ciencias sociales él tiene dos contribuciones importantes que sumadas lo hacen el padre de 'social choice'
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y de hecho el padre de lo que resultaron ser las dos ramas de 'social choice'. Primero el teorema del jurado Condorcet
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y luego el análisis matemático de las votaciones que llevó a la paradoja de Condorcet y luego a la condición de
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la independencia de alternativas irrelevantes. Veamos de que se tratan cada una de ellas.
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El teorema de jurado de Condorcet es una teoría basada en información sobre la defensa de la democracia.
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Condorcet dice que si asumes que tienes la opción de elegir uno de dos resultados, y un resultado es objetivamente
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mejor que el otro ¿Qué tan bien funciona la regla de la mayoría gana cuando tienes el mejor resultado obvio?
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Condorcet desarrolla un modelo matemático para contestar ésta pregunta.
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Podemos demostrar el teorema de jurado de Condorcet con este modelo en matematica.
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Vamos a graficar la aptitud del electorado en el eje horizontal, en donde medimos la aptitud del elector
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como la probabilidad de que un votante elegirá el resultado correcto dentro de un rango de 0-100 por ciento.
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En el eje vertical mediremos la probabilidad de que el resultado correcto gane en una elección en donde la mayoría gana.
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Vamos a cambiar el número de electores pero empezaremos con 4. Por ejemplo si cada elector solamente tiene un 50%
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de probabilidad (como un volado) de elegir el resultado correcto y si decidimos que quedan empatados, entonces
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no es sorprendente que la probabilidad de que el resultado correcto gane es solamente un 50%.
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De la misma manera no estarías muy sorprendido que si cada elector individual tiene un 55% de probabilidades de
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elegir el resultado correcto, o sea que son un poquito mejor que un volado, entonces en un grupo de 4 electores,
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el resultado de la mayoría va a ser casi un 55% pero fíjate en lo siguiente: veamos lo que pasa cuando incrementamos
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al número de electores. Bueno muy muy rápido, mientras incrementamos el número de electores, la probabilidad
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de que el resultado de la mayoría es el resultado correcto cerca de 100%. Así que fíjate que incluso cuando cada elector
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individualmente tiene una probabilidad de elegir el resultado correcto de solamente .55, la probabilidad de que
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el resultado correcto es elegido por la mayoría es mas cerca a un 85%. De hecho mientras el número de electores
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continúa subiendo, la probabilidad de que el resultado correcto es elegido, incluso cuando cada elector no está muy
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seguro, la probabilidad de que la mayoría elija el resultado correcto se acercará cada vez al 100%.
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Será mas cercano cada vez al 100%. Ahora aquí hay otra consecuencia de la que Condorcet seguramente
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sabía. Comparemos el mandato de un rey con la regla de la mayoría. Supongamos que el rey es mas competente.
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¿Quién será mejor, la mayoría o un rey con mucha aptitud? Volvamos al caso cuando teníamos 100 electores,
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y nota que incluso cuando cada elector tiene una probabilidad de elegir el resultado correcto de solo .55, 55% la
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probabilidad de que la mayoría elija el resultado correcto es de un 85%. Eso quiere decir que si el rey tiene competencia
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de menos de 85%, es mejor usar la ley de la mayoría. Así que si un lugar se rige por grupos de personas ignorantes o
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casi ignorantes, de hecho puede ser muy inteligente. Ésto se convertiría después en 'la sabiduría de las masas'.
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Cuando tienes a muchas personas en las masas y cuando las personas en esas masas tiene una oportunidad que
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sobrepase el resultado aleatorio de elegir el resultado correcto, las masas son muy propensas a elegir el resultado correcto,
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mas propensas de hecho que la probabilidad de que lo haga un rey. Así que el teorema de jurado de Condorcet, fue
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una defensa matemática de la ley de la mayoría. La información sobre la defensa de la democracia de Condorcet
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lo llevó a preguntarse algo diferente. Asumamos que no hay una mejor opción objetivamente hablando, en el sentido que
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incluso si suponemos que los electores tienen información perfecta, tu no tendrías una elección unánime.
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¿Cómo entonces deberían elegir? Cual es la mejor opción entre tres o mas resultados, cuando las preferencias
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entre los electores difieren. Ésto llevó a Condorcet a desarrollar algunas paradojas de las elecciones dentro de grupos.
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Condorcet fue llevado a sus descubrimientos cuando notó que muchos sistema de votación común tenían propiedades
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no deseadas. Aquí hay un ejemplo moderno de la elección a gobernador en Minnesota de 1998, famosa porque
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llevó a la elección de Jesse 'el cuerpo' Ventura, el lucahdor, como gobernador.
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Éste es un posible reconstrucción de las preferencias de electorado. 35% de las personas tenían a Coleman
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como su primera opción, Humphrey como segunda opción y Ventura al final.
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28% tenían a Humphrey como primer opción, Coleman como segunda opción y Ventura como última opción.
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20% tenían a Ventura, Coleman y luego Humphrey y el 17% a Ventura, Humphrey y Coleman al final.
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Ahora, dada la elección de regla de la mayoría Ventura ganó la elección, porque tenía 37% de los votos comparado con
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Coleman a 35% y Humphrey a 28%. Ahora lo que Condorcet se pregunta es que si éste es un buen resultado, ¿fue ésta una
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buena representación de lo que los electores querían? En este caso él hubiera contestado que no. ¿Porque no?
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Bueno supón que ponemos a Coleman en una competencia entre dos, entonces en éste caso Coleman hubiera
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hecho pedazos a Ventura, 63% de los votos contra un 37% de Ventura. ¿Porque? Bueno porque si nada mas hubiera
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sido Coleman contra Ventura, eso es si Humphrey no hubiera estado en la elección, la mayoría de los electores de
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Humphrey tenían a Coleman como segunda opción así que los votos de Humphrey se hubieran ido con Coleman,
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dándole a Coleman una ventaja devastadora sobre Ventura. Supón por el contrario que Coleman no estuviera en la
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elección y que fuera Humphrey contra Ventura, en ése caso Humphrey de nuevo hubiera hecho pedazos a Ventura.
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Así que lo que tenemos aquí es que en elecciones de pares, Jessey Ventura hubiera perdido contra cualquiera de
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los otros candidatos en ésta elección. En honor a Condorcet, decimos que Jessey Ventura fue un perdedor Condorcet,
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aun que yo no le diría eso a Ventura en su cara. O sea que por 'perdedor Condorcet' nos referimos a un candidato que
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perdería en una elección en parejas contra cualquier otro candidato. Lo que tenemos aquí es que la regla de la mayoría,
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puede elegir a perdedores de Condorcet. La segunda función que vemos aquí es que si suponemos que Coleman
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hubiera competido contra Humphrey, supón que Ventura no hubiera estado en la elección, bueno en ese caso
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Coleman hubiera tenido un 35% de los electores, y sin Ventura en la competencia, 20% de los electores
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hubieran votado por Coleman dándole a Coleman un 55% contra un 45% de Humphrey.
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En otras palabras si hubiera sido Coleman vs Humphrey, Coleman hubiera ganado, y si hubiera sido Coleman
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contra Ventura, Coleman hubiera ganado, así que Coleman era un ganador de Condorcet. Un 'ganador condorcet' es cualquier
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candidato que le gana a cualquier otro candidato en elecciones en pares/ uno contra uno.
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Vemos una vez mas que la regla de la mayoría puede fracasar en la elección de ganadores de Condorcet, puede elegir a
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perdedores de condorcet y puede fallar en la elección de ganadores de condorcet.
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Así que Condorcet pensaba que esto era una mala propiedad de las elecciones y buscó una regla y sugirió que
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un sistema de votos apropiado siempre elegiría a un ganador de condorcet.
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Veamos lo que dijo. Condorcet pensó que el candidato que le ganaba a cualquier otro candidato en elecciones
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uno otra uno, ese candidato debería de elegir la elección y que el ganador de condorcet debería de ser la mejor opción.
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Suena razonable pero Condorcet encontró un problema, consideremos simple ejemplo de 3 electores, votando sobre
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manzanas, plátanos o cocos. El elector 1, prefiere a las manzanas sobre los plátanos y los plátanos sobre los cocos.
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El elector 2 tiene a los plátanos como primera opción, los cocos como segunda y las manzanas como tercera.
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El elector 3 tiene a los cocos y a las manzanas y luego a los plátanos.
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Ahora supongamos que los electores voten solamente entre las manzanas contra los plátanos.
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El elector 1 tiene a las manzanas como su favorita y claro que el elector 1 vota por las manzanas.
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El elector 2 prefiere a los plátanos sobre las manzanas, así que vota por los plátanos.
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Y el elector 3 entre manzanas y plátanos, él prefiere a las manzanas porque las manzanas tienen un mejor ranking,
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así que prefieren a las manzanas. Así que las manzanas ganan las elecciones 2-1.
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Ahora tomemos a los plátanos contra los cocos, por razonamiento similar encuentras que los plátanos ganan
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la elección, los plátanos le ganan a los cocos. Ahora, si las manzanas le ganan a los plátanos y si los plátanos le ganan
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a los cocos, ¿no debería de ser el caso de que los plátanos le ganen a los cosos?
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Las manzanas son mejor que los plátanos, los plátanos son mejor que los cocos ¿no serían mejores los plátanos que
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los cocos? No, de hecho con la elección del grupo, eso no es lo que necesariamente ocurre. Ve, entre las manzanas
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contra los cocos el elector 1 vota por manzanas, el elector 2 vota por los cocos y el elector 3 vota por cocos.
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Así que los cocos ganan y tenemos una falla de la transitividad u otra forma de poner esto es que no hay
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un ganador de condorcet, no hay un candidato que le gana a todos los demás candidatos. A le gana a B,
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B le gana a C, pero C le gana a la A, no hay u candidato que le gane a todos los demás candidatos.
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¿Cómo deberían de elegir los electores entonces? Cuál es el mejor resultado cuando no hay un ganador de
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Condorcet? Condorcet no nada mas dió un ejemplo sobre la falla de la existencia de un ganador de condorcet.
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Él examinó con detalle la razón de ese fenómeno, llevándolo a la falla de la independencia de condiciones alternativas
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irrelevantes, y quizás hablemos sobre ésto algún otro día. ¿Existen sistemas de elecciones en donde un ganador
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de condorcet siempre existe? Esa es una pregunta natural, ¿tienen buenas propiedades esos sistemas?
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Las preguntas como estas fueron las que llevaron al desarrollo del teorema de Arrow, del que también hablaremos otro día.
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Concluyamos hablando de la vida de Condorcet y de su desenlace.
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Condorcet como ya dije era un orador sin miedo de las ideas ilustradas de la razón, libertad de expresión,
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derechos individuales y la ley. Él era un republicano pero se oponía a matar al rey, el era moderado también.
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El criticaba la constitución propuesta por Robespierre y su partido durante la revolución francesa.
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La crítica a Robespierre fue el motivo de una orden arresto. Mientras se escondía Condorcet escribió su trabajo final
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"Un bosquejo sobre una imagen histórica del progreso de la mente humana"
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quizás la mas grande declaración sobre la idea del progreso. En su trabajo final Condorcet explica como es que la ciencia
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y la razón traerá ilustración eventualmente al mundo entero. Él dijo: "que tan bienvenido en el filósofo es esta idea sobre
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la raza humana liberada de todas sus cadenas, soltada de la dominación de la suerte y de los enemigos del progreso,
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avanzando con paso firme en el camino de la verdad, virtud y felicidad! Como es que el espectáculo lo consuela
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de los errores, crímenes e injusticias que todavía contaminan la tierra, de cuales él es frecuentemente la víctima.
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Contemplando ésta imagen él encuentra la recompensa por sus esfuerzos en nombre de la razón y la defensa de la libertad...
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Esta contemplación le deja obtener un asilo en donde los recuerdos de sus perseguidores no pueden seguirlo,
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en donde se olvida de la humanidad atormentada y corrompia por avaricia, miedo o envidia, para vivir en la mente
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con la humanidad restaurada en los derechos y dignidad de su naturaleza, ahí el realmente vive en comunidad con sus amigos,
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en un paradiso que ésta razón ha creado y su amor por la humanidad.
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Sólo un poco después de haber escrito esto cuando los perseguidores lo encontraron y lo metieron a la carcel,
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en donde murió unos días después en las manos de reinado del terror.
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Aquí hay algunas referencias: aquí esta David Williams con Condorcet y la Modernidad que ayuda a ubicar a condorcet
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con un contexto francés, y con menos enfoque en el pensamiento social o en la ciencia social.
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Puedes leer algunos de los trabajos de Condorcet en la 'Online Library of Liberty'.
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Éste artículo por Arnold Urken sobre Condorcet y Jefferson es muy ineresante.
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Este otro por Nitzan y Paroush, Decisiones Colectivas una Visión Económica, desarrolla la información sobre la
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defensa de la democracia y trata algunas preguntas como ¿qué pasa si algunos electores son mejores tomando
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decisiones que otros electores, deberían de obtener mas votos?
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McLean y Urken coleccionaron muchos de los clásicos de la elección social.
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Lewis Carroll de Alicia en el país de las maravillas" también escribió sobre elecciones sociales, Black,
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Condorcet, Arrow, etc. Para una buena introducción de la teoría de elecciones les recomiendo el libro
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por Don Saari "Decisiones y Elecciones" y en MRUniversity encontrarás otro material sobre
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Kenneth Arrow y la teoría de Arrow.
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Gracias
