Plus Grand Commun Diviseur

4 exercices où il faut déterminer le PGCD de deux nombres en les factorisant.

Parlons du plus grand commun diviseur.

Ou plus grand facteur commun.

Il faut que vous sachiez que quand on vous demande

quel est le PGCD (plus grand commun diviseur) de 12 et 8,

c'est comme si on vous demandait
quel est le PGFC (plus grand facteur commun) de 12 et 8.

C'est un "C" pour "commun".

Je ne sais pas pourquoi il est si moche.

C'est donc la même question.

En fait, un diviseur est un nombre par lequel on peut diviser,

et un facteur...
c'est aussi un nombre par lequel on peut diviser.

Donc, un diviseur et un facteur
sont sensiblement la même chose.

Maintenant que ceci est réglé,

quel est le PGCD,

ou le PGFC, de 12 et 8 ?

La méthode est assez simple :

on détermine d'abord les facteurs de ces deux nombres.

Quels sont les facteurs de 12 ?

1 est un facteur.
2 est aussi un facteur de 12.

3 est un facteur de 12.

4 est un facteur de 12.

5 n'est pas un facteur de 12.

6 est un facteur de 12. : 12 = 2 x 6.

Et, évidemment, 12 est un facteur de 12..

1 x 12 = 12.

Voici la liste des facteurs de 12.

Quels sont les facteurs de 8 ?

1 est un facteur de 8.

2 est un facteur de 8.

3 n'est pas un facteur de 8.

4 est un facteur de 8.

Et le dernier facteur, qui accompagne le 1, est le 8.

Nous avons donc la liste des facteurs de 12 et de 8.

Quels sont les facteurs communs à 12 et à 8 ?

1 est un facteur commun.

Ce qui n'est pas vraiment remarquable.

Tous les nombres entiers,

tous les entiers naturels ont en commun le facteur 1.

Ils ont en commun le facteur 2

et ils ont en commun le facteur 4.

Mais nous ne voulons pas seulement
trouver un facteur commun,

nous voulons trouver le plus grand facteur commun.

Les facteurs communs sont 1 ; 2 et 4.

Quel est le plus grand d'entre eux ?

C'est assez évident :

c'est 4.

Le PGFC de 12 et 8 est donc 4.

Je l'écris, pour bien insister :

Le PGFC de 12 et 8 est 4.

On peut aussi formuler ça différemment :

le PGCD de 12 et 8 est 4.

Ce logiciel fait des siennes.

Prenons un autre exemple.

Quel est le plus grand commun diviseur de 25 et 20 ?

Utilisons la même méthode.

Quels sont les facteurs de 25 ?

Il y a le 1.

2 n'est pas un facteur.

3 n'est pas un facteur.

4 n'est pas un facteur.

5 est un facteur.

25 = 5 x 5.

Et 25 est un facteur.

On remarque qu'il n'a que trois facteurs.

Je vous laisse réfléchir au fait qu'il n'a que trois facteurs,

alors que la plupart des nombres
ont un nombre pair de facteurs.

Faisons maintenant la liste des facteurs de 20.

Les facteurs de 20 sont 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 et 20.

Et si on regarde ça de plus près,

on voit que 1 est commun, ce qui est normal.

Ils ont également comme facteur commun...

Vous l'avez trouvé : 5.

Donc, le PGCD, ou PGFC,

de 25 et 20 est le 5.

Prenons un autre exemple.

Quel est le plus grand facteur commun de 5 et 12 ?

Quels sont les facteurs de 5 ?

C'est facile :

1 et 5,

parce que c'est un nombre premier.

Il n'a que deux facteurs : 1 et lui-même.

Quels sont les facteurs de 12 ?

12 a beaucoup de facteurs :

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12.

Le seul facteur qu'ils ont en commun est donc le 1.

Voilà qui est plutôt décevant...

Le PGFC de 5 et 12 est 1.

Je vais vous apprendre un terme technique :

quand le PGFC de deux nombres est 1,

ils sont premiers entre eux.

Ce qui est plutôt logique,

puisqu'un nombre premier n'a que 1 et lui-même
comme facteurs.

Et deux nombres premiers entre eux,

sont des nombres dont le PGFC est 1.

J'espère que c'est clair.

Prenons un autre exemple.

Quel est le plus grand commun diviseur de 6 et 12 ?

Je sais que j'utilise beaucoup 12,

je vais essayer d'avoir plus d'imagination à l'avenir.

Donc, quel est le PGCD de 6 et 12 ?

Quels sont les facteurs de 6 ?

1 ; 2 ; 3 et 6.

Et les facteurs de 12 sont 1 ; 2 ; 3...

on devrait les connaître par cœur maintenant,

3 ; 4 ; 6 et 12.

1 est un facteur commun aux deux nombres.

2 est également un facteur commun.

3 est également un facteur commun.

Et 6 est également un facteur commun.

Donc, quel est le PGFC ?

C'est le 6.

Voilà qui est intéressant.

Dans cette situation, le PGCD...

Je suis désolé, je passe sans cesse de PGCD à PGFC,

la communauté des mathématiques
devrait en choisir un.

Le PGCD de 6 et 12 est 6.

C'est un des deux nombres en question.

Ce qui est tout à fait logique,

puisque 12 est divisible par 6.

C'est tout pour aujourd'hui.

J'espère que vous êtes prêts à attaquer les exercices

sur le PGCD et les facteurs.

Je pense que je ferai bientôt un autre module,

avec davantage d'exemples.