群論101:如何像彈鋼琴一樣演奏魔術方塊 - 麥可史塔夫
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0:07 - 0:10你會如何玩魔術方塊呢？
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0:10 - 0:13你可知道玩魔術方塊
與彈鋼琴有相同的原理 -
0:13 - 0:16聽起來似乎不太合理
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0:16 - 0:21但是可以在一個名為
群論的數學領域找到答案 -
0:21 - 0:23請容我好好解釋
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0:23 - 0:27在數學裡，「群」指的是
特定元素的集合 -
0:27 - 0:29可以是一組整數
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0:29 - 0:30也可以是一組魔術方塊的面板
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0:30 - 0:32或任何東西
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0:32 - 0:37只要他們符合以下四個公理
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0:37 - 0:38公理1：封閉性
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0:38 - 0:44任兩個元素作用後
仍屬於這個集合內 -
0:44 - 0:47以魔術方塊為例
無論你怎麼轉動 -
0:47 - 0:49像是讓它朝一邊轉
或另一邊轉 -
0:49 - 0:52最終結果仍為群內的元素
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0:52 - 0:54公理2：結合律
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0:54 - 0:58當進行操作時
不管將括號放在哪裡 -
0:58 - 1:01結果會依舊相同
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1:01 - 1:05換種說法， 若我們將魔術方塊
順時針轉兩次，然後再轉一次 -
1:05 - 1:08結果會與順時針轉一次
然後再轉兩次相同 -
1:08 - 1:13以數字來說 1+2=2+1
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1:13 - 1:14公理3：單位元素
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1:14 - 1:19「群」必須有一個單位元素
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1:19 - 1:21當「群」中的任一個元素
與此單位元素作用時 -
1:21 - 1:23依舊會得到原本的元素
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1:23 - 1:27所以對轉方塊或數字加法來說
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1:27 - 1:29這個單位元素稱為 0
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1:29 - 1:32聽起來不怎麼特別
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1:32 - 1:33公理4：反元素
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1:33 - 1:38群中的每一個元素
都必須有一個反元素 -
1:38 - 1:42當這兩個元素一起作用時
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1:42 - 1:45都會得到單位元素 0
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1:45 - 1:49所以他們是被彼此消除的
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1:49 - 1:52一切都很順利
但是這些有什麼關聯呢？ -
1:52 - 1:55嗯，在深入這些基本規則後
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1:55 - 1:58一些有趣的性質漸漸浮現
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1:58 - 2:03例如當我們把群論
還原回魔術方塊 -
2:03 - 2:07將發現它仍然符合四個基本公理
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2:07 - 2:10只是增加了適當的元素
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2:10 - 2:12和適當的操作
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2:12 - 2:17我們可以旋轉各面的行及列
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2:17 - 2:19每種狀態都稱為是一種「排列」
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2:19 - 2:24一個群有更越多元素
就有更多種排列方式 -
2:24 - 2:28一個普通魔術方塊裡
排列方式就有4千3百億兆種 -
2:28 - 2:32所以要隨意破解它並不容易
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2:32 - 2:36然而，利用群論
我們可以分析魔術方塊的運作 -
2:36 - 2:41而且確定有特別的公式可以破解
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2:41 - 2:44事實上，那就是大部分人所用的技巧
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2:44 - 2:50甚至用群論一一解釋
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2:50 - 2:52而群論不只有利於解謎
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2:52 - 2:57群論也深深嵌入音樂中
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2:57 - 3:01辨識和弦的一個辦法
就是寫出12個音名 -
3:01 - 3:04然後把他們圍成一圈
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3:04 - 3:08從任何一個音開始都行
但我先用第一個C來示範 -
3:08 - 3:13連成的和弦叫做減七和弦
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3:13 - 3:17那現在這個和弦變成一群
以四個音組成的元素 -
3:17 - 3:22我們可以將最底下的音符移到最上方
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3:22 - 3:24在音樂上被稱作轉位
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3:24 - 3:27這與我們之前做的加法是ㄧ樣的
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3:27 - 3:30每次轉位都改變了和弦的聲音
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3:30 - 3:34但它從來不改變減七和弦的本質
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3:34 - 3:38換句話說，它滿足公理1
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3:38 - 3:42作曲家利用轉位來操縱和弦的序列
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3:42 - 3:51並避免不均勻或不和諧的和弦
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3:51 - 3:55在樂譜上，轉位看起來像這樣
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3:55 - 4:00我們還可以套用在魔術方塊上
變成這樣 -
4:00 - 4:04如果你將整個魔術方塊
都賦予音名 -
4:04 - 4:10使得魔術方塊的每一面
都是和諧的和弦 -
4:10 - 4:13你就可以將解出的方式
以「和弦」的方式呈現 -
4:13 - 4:17逐漸由不協調轉為和諧
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4:17 - 4:21如果你喜歡
就來「演奏」魔術方塊吧！
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- 群論101:如何像彈鋼琴一樣演奏魔術方塊 - 麥可史塔夫
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數學解釋宇宙的運作，從粒子物理學、工程到經濟學，甚至還和音樂息息相關，他們的共同點竟然扯上了魔術方塊。Michael Staff 教我們如何像彈鋼琴一樣「演奏」魔術方塊。
課程由 Michael Staff 提供
動畫由Shixie提供 - Video Language:
- English
- Team:
closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 04:37
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