1
00:00:06,960 --> 00:00:09,600
你會如何玩魔術方塊呢？

2
00:00:09,600 --> 00:00:13,226
你可知道玩魔術方塊
與彈鋼琴有相同的原理

3
00:00:13,226 --> 00:00:15,911
聽起來似乎不太合理

4
00:00:15,911 --> 00:00:20,640
但是可以在一個名為
群論的數學領域找到答案

5
00:00:20,640 --> 00:00:22,609
請容我好好解釋

6
00:00:22,609 --> 00:00:26,719
在數學裡，「群」指的是
特定元素的集合

7
00:00:26,719 --> 00:00:28,545
可以是一組整數

8
00:00:28,545 --> 00:00:30,473
也可以是一組魔術方塊的面板

9
00:00:30,473 --> 00:00:32,075
或任何東西

10
00:00:32,075 --> 00:00:36,571
只要他們符合以下四個公理

11
00:00:36,571 --> 00:00:38,059
公理1：封閉性

12
00:00:38,059 --> 00:00:43,677
任兩個元素作用後
仍屬於這個集合內

13
00:00:43,677 --> 00:00:46,601
以魔術方塊為例
無論你怎麼轉動

14
00:00:46,601 --> 00:00:48,748
像是讓它朝一邊轉
或另一邊轉

15
00:00:48,748 --> 00:00:52,031
最終結果仍為群內的元素

16
00:00:52,031 --> 00:00:53,666
公理2：結合律

17
00:00:53,666 --> 00:00:57,996
當進行操作時
不管將括號放在哪裡

18
00:00:57,996 --> 00:01:00,599
結果會依舊相同

19
00:01:00,599 --> 00:01:05,040
換種說法， 若我們將魔術方塊
順時針轉兩次，然後再轉一次

20
00:01:05,040 --> 00:01:08,058
結果會與順時針轉一次
然後再轉兩次相同

21
00:01:08,058 --> 00:01:12,586
以數字來說 1+2=2+1

22
00:01:12,586 --> 00:01:14,254
公理3：單位元素

23
00:01:14,254 --> 00:01:18,855
「群」必須有一個單位元素

24
00:01:18,855 --> 00:01:21,290
當「群」中的任一個元素
與此單位元素作用時

25
00:01:21,290 --> 00:01:23,449
依舊會得到原本的元素

26
00:01:23,449 --> 00:01:26,857
所以對轉方塊或數字加法來說

27
00:01:26,857 --> 00:01:29,267
這個單位元素稱為 0

28
00:01:29,267 --> 00:01:31,777
聽起來不怎麼特別

29
00:01:31,777 --> 00:01:33,225
公理4：反元素

30
00:01:33,225 --> 00:01:38,302
群中的每一個元素
都必須有一個反元素

31
00:01:38,302 --> 00:01:42,253
當這兩個元素一起作用時

32
00:01:42,253 --> 00:01:45,111
都會得到單位元素 0

33
00:01:45,111 --> 00:01:48,843
所以他們是被彼此消除的

34
00:01:48,843 --> 00:01:52,439
一切都很順利
但是這些有什麼關聯呢？

35
00:01:52,439 --> 00:01:55,303
嗯，在深入這些基本規則後

36
00:01:55,303 --> 00:01:57,842
一些有趣的性質漸漸浮現

37
00:01:57,842 --> 00:02:03,041
例如當我們把群論
還原回魔術方塊

38
00:02:03,041 --> 00:02:06,643
將發現它仍然符合四個基本公理

39
00:02:06,643 --> 00:02:09,821
只是增加了適當的元素

40
00:02:09,821 --> 00:02:12,073
和適當的操作

41
00:02:12,073 --> 00:02:16,664
我們可以旋轉各面的行及列

42
00:02:16,664 --> 00:02:19,035
每種狀態都稱為是一種「排列」

43
00:02:19,035 --> 00:02:23,596
一個群有更越多元素
就有更多種排列方式

44
00:02:23,596 --> 00:02:28,222
一個普通魔術方塊裡
排列方式就有4千3百億兆種

45
00:02:28,222 --> 00:02:32,450
所以要隨意破解它並不容易

46
00:02:32,450 --> 00:02:35,974
然而，利用群論
我們可以分析魔術方塊的運作

47
00:02:35,974 --> 00:02:40,982
而且確定有特別的公式可以破解

48
00:02:41,004 --> 00:02:44,474
事實上，那就是大部分人所用的技巧

49
00:02:44,474 --> 00:02:49,572
甚至用群論一一解釋

50
00:02:49,572 --> 00:02:51,601
而群論不只有利於解謎

51
00:02:51,601 --> 00:02:56,575
群論也深深嵌入音樂中

52
00:02:56,575 --> 00:03:00,977
辨識和弦的一個辦法
就是寫出12個音名

53
00:03:00,977 --> 00:03:03,642
然後把他們圍成一圈

54
00:03:03,642 --> 00:03:08,364
從任何一個音開始都行
但我先用第一個C來示範

55
00:03:08,364 --> 00:03:12,605
連成的和弦叫做減七和弦

56
00:03:12,605 --> 00:03:17,193
那現在這個和弦變成一群
以四個音組成的元素

57
00:03:17,193 --> 00:03:21,881
我們可以將最底下的音符移到最上方

58
00:03:21,881 --> 00:03:24,357
在音樂上被稱作轉位

59
00:03:24,357 --> 00:03:27,247
這與我們之前做的加法是ㄧ樣的

60
00:03:27,247 --> 00:03:30,169
每次轉位都改變了和弦的聲音

61
00:03:30,169 --> 00:03:33,899
但它從來不改變減七和弦的本質

62
00:03:33,899 --> 00:03:37,661
換句話說，它滿足公理1

63
00:03:37,661 --> 00:03:41,582
作曲家利用轉位來操縱和弦的序列

64
00:03:41,582 --> 00:03:51,327
並避免不均勻或不和諧的和弦

65
00:03:51,327 --> 00:03:54,768
在樂譜上，轉位看起來像這樣

66
00:03:54,768 --> 00:03:59,986
我們還可以套用在魔術方塊上
變成這樣

67
00:03:59,986 --> 00:04:04,484
如果你將整個魔術方塊
都賦予音名

68
00:04:04,484 --> 00:04:09,538
使得魔術方塊的每一面
都是和諧的和弦

69
00:04:09,538 --> 00:04:13,098
你就可以將解出的方式
以「和弦」的方式呈現

70
00:04:13,098 --> 00:04:16,949
逐漸由不協調轉為和諧

71
00:04:16,949 --> 00:04:20,581
如果你喜歡
就來「演奏」魔術方塊吧！