群论101：怎样像钢琴一样“演奏”魔方 - 迈克尔·斯塔夫

完整课程：http://ed.ted.com/lessons/group-theory-101-how-to-play-a-rubik-s-cube-like-a-piano-michael-staff

数学解释宇宙的运行——从粒子物理到工程和经济。数学甚至与音乐联系紧密，而这一切又与魔方有关联。迈克尔·斯塔夫教你怎样用群论“演奏”魔方——就像弹钢琴那样。

课程：迈克尔·斯塔夫，动画：Shixie。

你怎样玩魔方呢？

我指的不是简单地摆弄它，而是像弹钢琴一样“演奏”它。

这个问题起初看起来不符合常理，

但在一个被称为“群论”的抽象数学领域中有这个问题的答案，

容我好好解释——

在数学中，一个“群”指的是一些元素的特定集合。

可能是一组整数，

或是魔方的面，

亦或是任何东西，

只要他们符合特定的四条原则，或公理。

公理一：封闭性。

群的所有“动作”必须仅限于组内的元素。

在图中的框里，你所做的任何操作，

比如将其转向一个方向，

得到的最终结果仍是组内的一个元素。

公理二：结合律。

当我们在对群做一个操作时，无论我们在哪里加括号，

结果都不会变化。

换种说法，如果我们把魔方的一个面向右转动两次，再向右转动一次，

这和先向右转动一次再转动两次得到的结果是一样的。

从数字上来说，就像一加二等于二加一。

公理三：单位元。

针对每一个操作，组中都有一个元素被称为“单位元”。

当我们将其特征赋予组中任何一个元素，

我们仍然得到原来的那个元素。

针对于魔方的面和整数这两个组合，

他们的单位元都是 0。

听起来并不是挺令人激动。

公理四：逆元。

群组中的任何一个元素都能在同一群组中找到一个“逆元”。

当这两个相反的元素相加后，

得到的结果是单位元（零）。

所以可以说他们抵消对方。

这就是四条针对群组的公理，可是意义在哪里呢？

当我们越过这些四条基本的规则，

一些有趣的现象就涌现了出来。

举个例子，我们把方块拓展至一个标准的魔方。

这是一个符合我们所有公理的“群”―—

尽管我们现在有了相当多的元素，

以及更多的操作选择。

我们可以转动每一面的各行各列。

每一种不同的情况叫做一种排列，

当群中的元素越多，可能的排列就越多。

一个魔方拥有超过43×10的21次幂种排列可能。

所以尝试胡乱地解开它可行不通。

然而，我们可以利用群论来分析魔方，

然后尝试找出一组特定的排列最终来解开魔方。

事实上，这正是大多数复原魔方的人所干的事，

他们甚至用一种群论标记来记录转动的次数。

群论不仅仅局限于解开谜题。

群论也被深深地嵌入音乐中。

把一个和弦可视化的方法之一是写出全部十二个音符，

并使他们围成一圈。

我们可以从任何一个音符开始，比如从最上边的C开始。

所得到的和弦叫做“减七和弦”。

这个和弦是一个由这四个音符元素组成的群。

我们所能对其进行的操作是将最底部的音符放置到最顶端。

在音乐中，我们称之为“转位”。

这与我们之前所做的加法是等价的。

每一个转位都改变了和弦的声音，

但它一直是减七和弦。

换句话说，它符合公理一。

作曲家们用和弦转位来操作一个和弦序列，

用于避免不匀称或是不和谐的和声。

在乐谱上，和弦转位看起来是这样，

但我们还可以将其覆盖在这些方块上。

如果你将整个魔方都赋予音符，

每一面复原后的魔方都是和声的和弦，

将解魔方的步骤以“和声的进行”的形式表现出来，

音色会逐渐地由不和谐转为悦耳。

“演奏”魔方吧！如果你喜欢。