Lý thuyết nhóm 101: Làm thế nào để chơi Rubik như chơi đàn piano - Michael Staff

Xem trọn bài giảng tại: http://ed.ted.com/lessons/group-theory-101-how-to-play-a-rubik-s-cube-like-a-piano-michael-staff

Toán học giải thích sự vận động của vũ trụ, từ vậy lý lượng tử cho đến kĩ thuật hay kinh tế. Nó thậm chí còn có liên hệ với âm nhạc, và có vài điểm liên quan đến việc giải quyết 1 cục rubik. Michael Staff giải thích cách mà lý thuyết nhóm dạy chúng ta chơi rubik như chơi đàn piano

Làm thế nào để bạn có thể
chơi 1 khối Rubik?

Không phải là chơi với nó,
mà là chơi nó như một cây piano ?

Câu hỏi đó nghe như
chẳng có ý nghĩa gì cả,

Nhưng toán học trừu tượng lại gọi
đây là lí thuyết nhóm có câu trả lời,

nếu bạn có đủ kiên nhẫn.

Trong toán học, nhóm là
một tập hợp các thành phần riêng biệt.

Đó có thể là một tập các số nguyên,

bề mặt của một khối Rubik,

hoặc bất cứ cái gì,

miễn là chúng tuân theo
4 quy luật hoặc tiên đề xác định.

Tiên đề 1 :

tất cả các nhóm thao tác phải được tách ra
thành một nhóm nguyên tố duy nhất

Vì vậy trong mỗi ô vuông,
bất cứ thao tác nào bạn thực hiện

như xoay nó theo hướng này hay
hướng kia,

bạn sẽ vẫn hoàn thành với
một phần của nhóm.

Tiên đề 2 :

Dù ta có để các dấu ngoặc
ở đâu khi thực hiện 1 nhóm phép toán đơn,

ta vẫn nhận được kết quả như nhau.

Nói cách khác, nếu ta xoay 1 ô qua phải 2
lần, rồi qua phải 1 lần nữa,

cũng giống như ta xoay ô qua phải 1 lần,
rồi hai lần nữa,

hoặc với những con số,
một cộng hai cũng giống như hai cộng một.

Tiên đề 3 :

Cho mỗi quá trình, có 1 thành phần
của nhóm gọi là thành phần đồng nhất.

Nếu ghép nó với bất kì
thành phần khác trong nhóm,

chúng ta vẫn được thành phần đó.

Vì vậy với cả hai việc xoay ô vuông
và thêm vào các số nguyên,

sự đồng nhất ở đây là 0,

không thú vị cho lắm.

Tiên đề 4 :

mỗi nhóm thành phần đều có 1 thành phần
mà nghịch đảo của nó cũng ở trong nhóm.

Khi gộp cả hai vào với nhau sử dụng
phép toán cộng vào của nhóm,

kết quả trong thành phần đồng nhất,
là không,

và chúng có thể triệt tiêu cho nhau.

Vậy tất cả điều đó đều đúng,
nhưng làm thế để làm gì?

Thì, khi chúng ta vượt qua
những quy tắc cơ bản,

1 số tính chất thú vị xuất hiện.

Ví dụ, hãy mở rộng ô vuông
thành 1 khối Rubik lập phương hoàn chỉnh.

Nó vẫn là 1 nhóm thỏa tất cả
các tiền đề,

dù hiện tại có nhiều nguyên tố hơn

và nhiều thao tác hơn.

chúng ta có thể dịch chuyển từng hàng
và từng cột của mỗi mặt

Mỗi vị trí được gọi là một hoán vị,

với càng nhiều thành phần, ta có càng
nhiều hoán vị.

Một khối Rubik lập phương có hơn
43 tỉ tỉ tỉ tỉ hoán vị

vì vậy cố gắng giải quyết nó
1 cách ngẫu nhiên sẽ không thật hiệu quả.

Tuy nhiên, với lí thuyết nhóm,
chúng ta có thể phân tích khối lập phương

và thực hiện 1 trình tự hoán vị
cho ra kết quả như ý muốn.

Và trong thực tế, đó chính là cách
nhiều người giải quyết,

thậm chí chỉ dùng 1 kí hiệu
lí thuyết nhóm để xoay.

Điều này không chỉ tốt cho giải đố.

Lý thuyết nhóm cũng có liên quan
sâu sắc với âm nhạc.

Một cách để hình dung về một hợp âm là
viết ra tất cả 12 nốt nhạc

và vẽ một hình vuông nội tiếp.

Ta có thể bắt đầu với bất kì nốt nào,
nhưng hãy chọn C vì nó ở trên cùng.

Kết quả hợp âm đó được gọi là
hợp âm khoảng bảy giảm.

Bây giờ hợp âm này là một nhóm với
thành phần là 4 nốt.

Chúng ta có thể đẩy nốt cuối lên thành
nốt đầu.

trong âm nhạc đó được gọi là thể đảo,

và nó hoàn toàn tương đương cách cũ.

mỗi thể đảo làm thay đổi
âm thanh của hợp âm,

nhưng nó vẫn là hợp âm C khoảng bảy giảm.

Nói cách khác, nó thỏa mãn tiên đề 1.

nhà soạn nhạc sử dụng việc đảo ngược để
tạo nên một chuỗi các hợp âm

tránh những ô vuông hay các vụng âm.

Với chuyên viên nhạc cụ, thể đảo trông như
thế này.

Nhưng chúng ta có thể chồng nó lên 1 ô
và có được thế này.

Vậy, nếu bạn muốn giải quyết khối rubik
của bạn với nốt nhạc,

như thế thì từng mặt khối lập phương
sẽ là một hợp âm,

bạn có thể giải quyết như cách
phát triển hợp âm

bằng việc dần dần di chuyện các khối cho
đến khi hài hòa.

và chơi khối Rubik đó, nếu nó là của bạn.