La teoria dei gruppi: Come giocare con il cubo di Rubik come se fosse un pianoforte - Michael Staff

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La matematica spiega come funziona l'universo, dalla fisica delle particelle all'ingegneria e all'economia. La matematica è strettamente collegata anche alla musica, e il loro terreno comune ha a che fare con il cubo di Rubik. Michael Staff ci spiega come la Teoria dei Gruppi ci insegna a giocare con il cubo di Rubik come se fosse un pianoforte.

Lesson by Michael Staff, animation by Shixie.

Come risolvere il cubo di Rubik?

Non come giocarci,
ma come usarlo nel modo corretto?

A prima vista questa domanda
non sembra avere molto senso,

ma un ramo della matematica astratta,
chiamato Teoria dei Gruppi,

conosce la risposta;
la scoprirete anche voi.

In matematica, un gruppo è
un insieme specifico di elementi

come una serie di numeri interi,

una faccia del cubo di Rubik

o qualsiasi altra cosa,

purché seguano quattro
regole specifiche o assiomi.

Assioma numero uno:

ogni operazione deve essere limitata
ai soli elementi che lo compongono.

Quindi, nel nostro quadrato,
per ogni mossa che compi,

come ruotarlo in un senso o nell'altro,

finirai sempre con l'avere
un elemento del gruppo.

Assioma numero due:

non importa dove mettiamo le parentesi
quando lavoriamo su un'operazione singola:

avremo sempre lo stesso risultato.

In altre parole, se ruotiamo il quadrato
due volte a destra, poi un'altra,

è come ruotarlo prima una volta e poi due.

Lo stesso vale per i numeri:
1+2 è uguale a 2+1.

Assioma numero tre:

in ciascuna operazione, un elemento
del gruppo è chiamato Identità.

Quando lo si applica a qualsiasi
elemento del gruppo

otteniamo ancora lo stesso elemento.

Quindi, sia ruotando il quadrato
che aggiungendo i numeri interi

l'identità che otteniamo qui è zero,

nulla di emozionante in fin dei conti.

Assioma numero quattro:

ciascun elemento ha, all'interno
del gruppo, un elemento chiamato inverso.

Quando i due vengono uniti
con l'operazione di addizione dei gruppi,

l'elemento identità risulta zero.

Si può quindi affermare che
l'uno annulli l'altro.

Per ora tutto bene,
ma qual è lo scopo di ognuno?

Beh, se andiamo oltre
queste regole basilari

emergono alcune proprietà interessanti.

Per esempio, dal nostro quadrato
passiamo al cubo di Rubik completo.

Questo è ancora un insieme
che soddisfa tutti i nostri aforismi,

visto ora con un numero decisamente
maggiore di elementi

e di operazioni.

Possiamo far ruotare ogni riga,
ogni colonna e ogni faccia.

Ciascuna posizione assume
il nome di permutazione:

più elementi sono contenuti in un gruppo,
più permutazioni possibili ci sono.

Un cubo di Rubik possiede
più di 43 quintilioni di permutazioni:

perciò tentare di risolverlo a random
non è la strategia corretta.

Tuttavia, attraverso la teoria dei gruppi,
possiamo analizzare il cubo

e determinare così una sequenza di
permutazioni che si traduca in soluzione.

Ed è esattamente ciò che
molti risolutori fanno

sfruttando la notazione della teoria
dei gruppi, che indica le rotazioni.

Non vale solo per risolvere
i rompicapi.

La teoria dei gruppi è fortemente
radicata anche nella musica.

Un modo per immaginarsi gli accordi
è quello di scrivere le 12 note musicali

e racchiuderle in un quadrato.

Possiamo iniziare con qualsiasi nota,
ma scegliamo la C che si trova in alto.

L'accordo che ne deriva è chiamato
accordo di settima diminuito.

Questo accordo non è altro che un insieme
i cui elementi sono queste quattro note.

L'operazione che possiamo fare su di esso
è spostare in alto la nota in basso.

In musica questo viene detto inversione

ed è uguale all'addizione precedente.

Ogni inversione cambia
il suono dell'accordo

ma non smette di essere
un accordo di settima diminuito.

In altre parole soddisfa
l'assioma numero uno.

I compositori sfruttano l'inversione
per modificare la sequenza di accordi

ed evitare una sequenza isolata
con un suono sgradevole.

In un pentagramma musicale,
un'inversione appare così.

Ma possiamo anche ricoprirlo
con il nostro quadrato ed ottenere questo.

Quindi, se dovessi ricoprire tutto il
cubo di Rubick con le note musicali

così che ogni faccia del cubo risolto
sia un accordo armonioso,

potresti esprimere la soluzione
con una sequenza di accordi

che gradualmente dalla disarmonia
si avvicina all'armonia:

allora, se ne sei capace,
puoi risolvere il cubo di Rubick.