Come risolvere il cubo di Rubik?
Non come giocarci, ma come usarlo nel modo corretto?
A prima vista questa domanda non sembra avere molto senso,
ma un ramo della matematica astratta, chiamato Teoria dei Gruppi,
conosce la risposta; la scoprirete anche voi.
In matematica, un gruppo è un insieme specifico di elementi
come una serie di numeri interi,
una faccia del cubo di Rubik
o qualsiasi altra cosa,
purché seguano quattro regole specifiche o assiomi.
Assioma numero uno:
ogni operazione deve essere limitata ai soli elementi che lo compongono.
Quindi, nel nostro quadrato, per ogni mossa che compi,
come ruotarlo in un senso o nell'altro,
finirai sempre con l'avere un elemento del gruppo.
Assioma numero due:
non importa dove mettiamo le parentesi quando lavoriamo su un'operazione singola:
avremo sempre lo stesso risultato.
In altre parole, se ruotiamo il quadrato due volte a destra, poi un'altra,
è come ruotarlo prima una volta e poi due.
Lo stesso vale per i numeri: 1+2 è uguale a 2+1.
Assioma numero tre:
in ciascuna operazione, un elemento del gruppo è chiamato Identità.
Quando lo si applica a qualsiasi elemento del gruppo
otteniamo ancora lo stesso elemento.
Quindi, sia ruotando il quadrato che aggiungendo i numeri interi
l'identità che otteniamo qui è zero,
nulla di emozionante in fin dei conti.
Assioma numero quattro:
ciascun elemento ha, all'interno del gruppo, un elemento chiamato inverso.
Quando i due vengono uniti con l'operazione di addizione dei gruppi,
l'elemento identità risulta zero.
Si può quindi affermare che l'uno annulli l'altro.
Per ora tutto bene, ma qual è lo scopo di ognuno?
Beh, se andiamo oltre queste regole basilari
emergono alcune proprietà interessanti.
Per esempio, dal nostro quadrato passiamo al cubo di Rubik completo.
Questo è ancora un insieme che soddisfa tutti i nostri aforismi,
visto ora con un numero decisamente maggiore di elementi
e di operazioni.
Possiamo far ruotare ogni riga, ogni colonna e ogni faccia.
Ciascuna posizione assume il nome di permutazione:
più elementi sono contenuti in un gruppo, più permutazioni possibili ci sono.
Un cubo di Rubik possiede più di 43 quintilioni di permutazioni:
perciò tentare di risolverlo a random non è la strategia corretta.
Tuttavia, attraverso la teoria dei gruppi, possiamo analizzare il cubo
e determinare così una sequenza di permutazioni che si traduca in soluzione.
Ed è esattamente ciò che molti risolutori fanno
sfruttando la notazione della teoria dei gruppi, che indica le rotazioni.
Non vale solo per risolvere i rompicapi.
La teoria dei gruppi è fortemente radicata anche nella musica.
Un modo per immaginarsi gli accordi è quello di scrivere le 12 note musicali
e racchiuderle in un quadrato.
Possiamo iniziare con qualsiasi nota, ma scegliamo la C che si trova in alto.
L'accordo che ne deriva è chiamato accordo di settima diminuito.
Questo accordo non è altro che un insieme i cui elementi sono queste quattro note.
L'operazione che possiamo fare su di esso è spostare in alto la nota in basso.
In musica questo viene detto inversione
ed è uguale all'addizione precedente.
Ogni inversione cambia il suono dell'accordo
ma non smette di essere un accordo di settima diminuito.
In altre parole soddisfa l'assioma numero uno.
I compositori sfruttano l'inversione per modificare la sequenza di accordi
ed evitare una sequenza isolata con un suono sgradevole.
In un pentagramma musicale, un'inversione appare così.
Ma possiamo anche ricoprirlo con il nostro quadrato ed ottenere questo.
Quindi, se dovessi ricoprire tutto il cubo di Rubick con le note musicali
così che ogni faccia del cubo risolto sia un accordo armonioso,
potresti esprimere la soluzione con una sequenza di accordi
che gradualmente dalla disarmonia si avvicina all'armonia:
allora, se ne sei capace, puoi risolvere il cubo di Rubick.