Théorie des groupes 101 : Comment jouer du Rubik's Cube comme d'un piano - Michael Staff

Leçon complète sur : ttp://ed.ted.com/lessons/group-theory-101-how-to-play-a-rubik-s-cube-like-a-piano-michael-staff

Les mathématiques expliquent le fonctionnement de l'univers, des particules physiques à l'ingénierie et l'économie. Les maths sont même liées à la musique, et leur point commun a quelque chose à voir avec un Rubik's Cube. Michael Staff explique comment la théorie des groupes peut nous apprendre à jouer du Rubik's Cube comme d'un piano.

Comment peut-on jouer du Rubik's Cube ?

Pas jouer avec,
mais y jouer, comme d'un piano ?

Cette question n'a pas beaucoup de sens
de prime abord,

mais un pan des mathématiques abstraites
appelé théorie des groupes y répond.

Écoutez avec attention.

En maths, un groupe est
une collection particulière d'éléments.

Par exemple, un ensemble d'entiers,

ou les faces d'un Rubik's Cube,

n'importe quoi,

du moment qu'ils suivent
quatre règles spécifiques ou axiomes.

Axiome un :

toute opération du groupe doit être fermée
ou limitée aux seuls éléments du groupe.

Dans notre carré,
chaque opération que nous faisons,

comme le tourner dans un sens,
ou l'autre,

on arrive toujours
à un élément du groupe.

Axiome deux :

peu importe où sont les parenthèses quand
on fait une seule opération du groupe,

on arrive toujours au même résultat.

En d'autres mots, si nous tournons notre
carré deux fois, puis une fois,

c'est la même chose que
une fois, puis deux,

ou pour des nombres, un plus deux
est pareil que deux plus un.

Axiome trois :

pour toute opération, il y a un élément de
notre groupe appelé identité.

Quand on l'applique à
un autre élément du groupe.

nous obtenons toujours le même élément.

Donc pour l'opération 'tourner le carré'
et 'ajouter des entiers',

notre identité ici est zéro,

ce n'est pas très excitant.

Axiome quatre :

tous les éléments du groupe ont un élément
appelé son inverse, aussi dans le groupe.

Quand les deux éléments sont liés ensemble
en utilisant l'opération du groupe,

ils donnent comme résultat
l'élément identité, zéro.

donc on peut dire
qu'ils s'annulent l'un l'autre.

Alors, tout ça est bien et bon,
mais quel est le but ?

Eh bien, quand on va au-delà
de ces règles de base,

des propriétés intéressantes émergent.

Par exemple, étendons
notre carré en un Rubik's Cube entier.

C'est toujours un groupe qui
répond à tous nos axiomes,

mais avec beaucoup plus d'éléments
maintenant

et plus d'opérations.

Nous pouvons tourner chaque ligne
et colonne de chaque face.

Chaque position
est appelée une permutation,

et plus un groupe a d'éléments,
plus il existe de permutations possibles.

Un Rubik's Cube a plus
de 43 quintillions de permutations,

donc essayer de le résoudre au hasard
ne va pas marcher si bien.

Mais en utilisant la théorie des groupes,
nous pouvons analyser le cube

et déterminer une séquence de permutations
qui donnera une solution.

Et en fait, c'est exactement ce que
la plupart des solutions font,

même en codant la théorie des groupes
qui recense les rotations.

Et ce n'est pas que pour
résoudre des puzzles.

La théorie des groupes et profondément
ancrée dans la musique, aussi.

Un moyen de visualiser un accord est
d'écrire ensemble les douze notes

et de dessiner un carré avec elles.

Nous pouvons commencer sur n'importe
quelle note. Prenons la plus haute, do.

L'accord résultant est appelé
un accord de septième diminué.

Maintenant cet accord est un groupe
dont les éléments sont ces 4 notes.

L'opération que nous pouvons faire dessus
est d'échanger une note avec une autre.

En musique, ça s'appelle une inversion,

et c'est l'équivalent de l'addition
de tout à l'heure.

Chaque inversion change le son
de l'accord,

mais ça ne cesse jamais d'être une
septième diminuée.

En d'autres mots, cela répond
à l'axiome un.

Les compositeurs utilise l'inversion
pour manipuler une séquence d'accord

pour éviter une
ligne musicale maladroite.

Sur une portée,
une inversion ressemble à ça.

Mais nous pouvons aussi la superposer
à notre carré et obtenir ça.

Alors, si on couvrait tout le Rubik's Cube
de notes

pour que chaque face du cube résolu
soit un accord harmonieux,

on pourrait exprimer la solution
comme une ligne musicale

qui change doucement
de discordante à harmonieuse

et jouer du Rubik's Cube,
si vous voulez.