1 00:00:06,960 --> 00:00:09,600 Comment peut-on jouer du Rubik's Cube ? 2 00:00:09,600 --> 00:00:13,226 Pas jouer avec, mais y jouer, comme d'un piano ? 3 00:00:13,226 --> 00:00:15,911 Cette question n'a pas beaucoup de sens de prime abord, 4 00:00:15,911 --> 00:00:20,640 mais un pan des mathématiques abstraites appelé théorie des groupes y répond. 5 00:00:20,640 --> 00:00:22,609 Écoutez avec attention. 6 00:00:22,609 --> 00:00:26,719 En maths, un groupe est une collection particulière d'éléments. 7 00:00:26,719 --> 00:00:28,545 Par exemple, un ensemble d'entiers, 8 00:00:28,545 --> 00:00:30,473 ou les faces d'un Rubik's Cube, 9 00:00:30,473 --> 00:00:32,075 n'importe quoi, 10 00:00:32,075 --> 00:00:36,571 du moment qu'ils suivent quatre règles spécifiques ou axiomes. 11 00:00:36,571 --> 00:00:38,059 Axiome un : 12 00:00:38,059 --> 00:00:43,677 toute opération du groupe doit être fermée ou limitée aux seuls éléments du groupe. 13 00:00:43,677 --> 00:00:46,601 Dans notre carré, chaque opération que nous faisons, 14 00:00:46,601 --> 00:00:48,748 comme le tourner dans un sens, ou l'autre, 15 00:00:48,748 --> 00:00:52,031 on arrive toujours à un élément du groupe. 16 00:00:52,031 --> 00:00:53,666 Axiome deux : 17 00:00:53,666 --> 00:00:57,996 peu importe où sont les parenthèses quand on fait une seule opération du groupe, 18 00:00:57,996 --> 00:01:00,599 on arrive toujours au même résultat. 19 00:01:00,599 --> 00:01:05,040 En d'autres mots, si nous tournons notre carré deux fois, puis une fois, 20 00:01:05,040 --> 00:01:08,058 c'est la même chose que une fois, puis deux, 21 00:01:08,058 --> 00:01:12,586 ou pour des nombres, un plus deux est pareil que deux plus un. 22 00:01:12,586 --> 00:01:14,254 Axiome trois : 23 00:01:14,254 --> 00:01:18,855 pour toute opération, il y a un élément de notre groupe appelé identité. 24 00:01:18,855 --> 00:01:21,290 Quand on l'applique à un autre élément du groupe. 25 00:01:21,290 --> 00:01:23,449 nous obtenons toujours le même élément. 26 00:01:23,449 --> 00:01:26,857 Donc pour l'opération 'tourner le carré' et 'ajouter des entiers', 27 00:01:26,857 --> 00:01:29,267 notre identité ici est zéro, 28 00:01:29,267 --> 00:01:31,777 ce n'est pas très excitant. 29 00:01:31,777 --> 00:01:33,225 Axiome quatre : 30 00:01:33,225 --> 00:01:38,302 tous les éléments du groupe ont un élément appelé son inverse, aussi dans le groupe. 31 00:01:38,302 --> 00:01:42,253 Quand les deux éléments sont liés ensemble en utilisant l'opération du groupe, 32 00:01:42,253 --> 00:01:45,111 ils donnent comme résultat l'élément identité, zéro. 33 00:01:45,111 --> 00:01:48,843 donc on peut dire qu'ils s'annulent l'un l'autre. 34 00:01:48,843 --> 00:01:52,439 Alors, tout ça est bien et bon, mais quel est le but ? 35 00:01:52,439 --> 00:01:55,303 Eh bien, quand on va au-delà de ces règles de base, 36 00:01:55,303 --> 00:01:57,842 des propriétés intéressantes émergent. 37 00:01:57,842 --> 00:02:03,041 Par exemple, étendons notre carré en un Rubik's Cube entier. 38 00:02:03,041 --> 00:02:06,643 C'est toujours un groupe qui répond à tous nos axiomes, 39 00:02:06,643 --> 00:02:09,821 mais avec beaucoup plus d'éléments maintenant 40 00:02:09,821 --> 00:02:12,073 et plus d'opérations. 41 00:02:12,073 --> 00:02:16,664 Nous pouvons tourner chaque ligne et colonne de chaque face. 42 00:02:16,664 --> 00:02:19,035 Chaque position est appelée une permutation, 43 00:02:19,035 --> 00:02:23,596 et plus un groupe a d'éléments, plus il existe de permutations possibles. 44 00:02:23,596 --> 00:02:28,222 Un Rubik's Cube a plus de 43 quintillions de permutations, 45 00:02:28,222 --> 00:02:32,450 donc essayer de le résoudre au hasard ne va pas marcher si bien. 46 00:02:32,450 --> 00:02:35,864 Mais en utilisant la théorie des groupes, nous pouvons analyser le cube 47 00:02:35,864 --> 00:02:41,004 et déterminer une séquence de permutations qui donnera une solution. 48 00:02:41,004 --> 00:02:44,474 Et en fait, c'est exactement ce que la plupart des solutions font, 49 00:02:44,474 --> 00:02:49,512 même en codant la théorie des groupes qui recense les rotations. 50 00:02:49,512 --> 00:02:51,711 Et ce n'est pas que pour résoudre des puzzles. 51 00:02:51,711 --> 00:02:56,575 La théorie des groupes et profondément ancrée dans la musique, aussi. 52 00:02:56,575 --> 00:03:00,977 Un moyen de visualiser un accord est d'écrire ensemble les douze notes 53 00:03:00,977 --> 00:03:03,642 et de dessiner un carré avec elles. 54 00:03:03,642 --> 00:03:08,364 Nous pouvons commencer sur n'importe quelle note. Prenons la plus haute, do. 55 00:03:08,364 --> 00:03:12,605 L'accord résultant est appelé un accord de septième diminué. 56 00:03:12,605 --> 00:03:17,193 Maintenant cet accord est un groupe dont les éléments sont ces 4 notes. 57 00:03:17,193 --> 00:03:21,881 L'opération que nous pouvons faire dessus est d'échanger une note avec une autre. 58 00:03:21,881 --> 00:03:24,357 En musique, ça s'appelle une inversion, 59 00:03:24,357 --> 00:03:27,247 et c'est l'équivalent de l'addition de tout à l'heure. 60 00:03:27,247 --> 00:03:30,169 Chaque inversion change le son de l'accord, 61 00:03:30,169 --> 00:03:33,899 mais ça ne cesse jamais d'être une septième diminuée. 62 00:03:33,899 --> 00:03:37,661 En d'autres mots, cela répond à l'axiome un. 63 00:03:37,661 --> 00:03:41,582 Les compositeurs utilise l'inversion pour manipuler une séquence d'accord 64 00:03:41,582 --> 00:03:46,477 pour éviter une ligne musicale maladroite. 65 00:03:51,327 --> 00:03:54,768 Sur une portée, une inversion ressemble à ça. 66 00:03:54,768 --> 00:03:59,986 Mais nous pouvons aussi la superposer à notre carré et obtenir ça. 67 00:03:59,986 --> 00:04:04,484 Alors, si on couvrait tout le Rubik's Cube de notes 68 00:04:04,484 --> 00:04:09,538 pour que chaque face du cube résolu soit un accord harmonieux, 69 00:04:09,538 --> 00:04:13,098 on pourrait exprimer la solution comme une ligne musicale 70 00:04:13,098 --> 00:04:16,949 qui change doucement de discordante à harmonieuse 71 00:04:16,949 --> 00:04:20,581 et jouer du Rubik's Cube, si vous voulez.