Comment peut-on jouer du Rubik's Cube ?
Pas jouer avec, mais y jouer, comme d'un piano ?
Cette question n'a pas beaucoup de sens de prime abord,
mais un pan des mathématiques abstraites appelé théorie des groupes y répond.
Écoutez avec attention.
En maths, un groupe est une collection particulière d'éléments.
Par exemple, un ensemble d'entiers,
ou les faces d'un Rubik's Cube,
n'importe quoi,
du moment qu'ils suivent quatre règles spécifiques ou axiomes.
Axiome un :
toute opération du groupe doit être fermée ou limitée aux seuls éléments du groupe.
Dans notre carré, chaque opération que nous faisons,
comme le tourner dans un sens, ou l'autre,
on arrive toujours à un élément du groupe.
Axiome deux :
peu importe où sont les parenthèses quand on fait une seule opération du groupe,
on arrive toujours au même résultat.
En d'autres mots, si nous tournons notre carré deux fois, puis une fois,
c'est la même chose que une fois, puis deux,
ou pour des nombres, un plus deux est pareil que deux plus un.
Axiome trois :
pour toute opération, il y a un élément de notre groupe appelé identité.
Quand on l'applique à un autre élément du groupe.
nous obtenons toujours le même élément.
Donc pour l'opération 'tourner le carré' et 'ajouter des entiers',
notre identité ici est zéro,
ce n'est pas très excitant.
Axiome quatre :
tous les éléments du groupe ont un élément appelé son inverse, aussi dans le groupe.
Quand les deux éléments sont liés ensemble en utilisant l'opération du groupe,
ils donnent comme résultat l'élément identité, zéro.
donc on peut dire qu'ils s'annulent l'un l'autre.
Alors, tout ça est bien et bon, mais quel est le but ?
Eh bien, quand on va au-delà de ces règles de base,
des propriétés intéressantes émergent.
Par exemple, étendons notre carré en un Rubik's Cube entier.
C'est toujours un groupe qui répond à tous nos axiomes,
mais avec beaucoup plus d'éléments maintenant
et plus d'opérations.
Nous pouvons tourner chaque ligne et colonne de chaque face.
Chaque position est appelée une permutation,
et plus un groupe a d'éléments, plus il existe de permutations possibles.
Un Rubik's Cube a plus de 43 quintillions de permutations,
donc essayer de le résoudre au hasard ne va pas marcher si bien.
Mais en utilisant la théorie des groupes, nous pouvons analyser le cube
et déterminer une séquence de permutations qui donnera une solution.
Et en fait, c'est exactement ce que la plupart des solutions font,
même en codant la théorie des groupes qui recense les rotations.
Et ce n'est pas que pour résoudre des puzzles.
La théorie des groupes et profondément ancrée dans la musique, aussi.
Un moyen de visualiser un accord est d'écrire ensemble les douze notes
et de dessiner un carré avec elles.
Nous pouvons commencer sur n'importe quelle note. Prenons la plus haute, do.
L'accord résultant est appelé un accord de septième diminué.
Maintenant cet accord est un groupe dont les éléments sont ces 4 notes.
L'opération que nous pouvons faire dessus est d'échanger une note avec une autre.
En musique, ça s'appelle une inversion,
et c'est l'équivalent de l'addition de tout à l'heure.
Chaque inversion change le son de l'accord,
mais ça ne cesse jamais d'être une septième diminuée.
En d'autres mots, cela répond à l'axiome un.
Les compositeurs utilise l'inversion pour manipuler une séquence d'accord
pour éviter une ligne musicale maladroite.
Sur une portée, une inversion ressemble à ça.
Mais nous pouvons aussi la superposer à notre carré et obtenir ça.
Alors, si on couvrait tout le Rubik's Cube de notes
pour que chaque face du cube résolu soit un accord harmonieux,
on pourrait exprimer la solution comme une ligne musicale
qui change doucement de discordante à harmonieuse
et jouer du Rubik's Cube, si vous voulez.