-
...
-
Do které množiny patří číslo 3,4028,
-
ve kterém se číslice 28 pořád opakují?
-
A před tím, než na to odpovíme,
zamysleme se nad tím,
-
co to znamená.
-
A zvlášť, co znamená ta čárka tady nahoře.
-
Ta čárka nahoře znamená, že
ta 28 se prostě
-
pořád do nekonečna opakuje.
-
Takže bych to číslo mohl vyjádřit jako
3,4028, a 28 se
-
pořád opakuje.
-
Opakuje se pořád a pořád dokola.
-
Mohl bych je psát do nekonečna.
-
Je zřejmě snazší napsat
tady nad 28 tu čárku
-
a říci, že se to pořád opakuje.
-
Zamysleme se teď,
do které číselné množiny to patří.
-
Ta nejširší číselná množina, kterou jsme
se doposud zabývali, jsou
-
reálná čísla.
-
A toto rozhodně k reálným číslům patří.
-
Reálná čísla je v podstatě celá
-
osa čísel, kterou používáme.
-
A 3,4028 s periodou
patří někam sem.
-
Když toto je -1, toto je 0, 1, 2, 3, 4.
-
3,4028 je trochu více než 3,4 a trochu
-
méně než 3,41.
-
Bylo by právě někde tady.
-
Takže rozhodně je na číselné ose.
-
Je to reálné číslo.
-
Takže je rozhodně reálné.
-
Je to určitě reálné číslo.
-
Méně zřejmá je otázka, zda je to
-
racionální číslo.
-
Pamatujte, racionální číslo je takové
číslo, které může být vyjádřeno
-
jako racionální výraz nebo jako zlomek.
-
Kdybych Vám řekl, že 'p' je racionální,
znamená to, že číslo 'p'
-
může být vyjádřeno jako zlomek
dvou celých čísel.
-
To znamená, že 'p' může
být vyjádřeno jako zlomek dvou
-
celých čísel, m/n.
-
Takže otázkou je, můžeme toto
vyjádřit jako zlomek
-
dvou celých čísel?
-
Nebo jinak, můžeme to
-
vyjádřit jako zlomek?
-
Abychom to udělali,
vyjádřeme to jako zlomek.
-
Definujme 'x' rovno tomuto číslu.
-
Tedy 'x' se rovná 3,4028 s periodou.
-
Zamysleme se nad tím,
kolik je 10000 krát 'x'.
-
10000 krát 'x' chci
z toho důvodu, že tady chci
-
posunout desetinnou čárku úplně doprava.
-
Tedy 10000 krát 'x'.
-
Kolik se to bude rovnat?
-
No, pokaždé, když
násobíte mocninou 10, posouváte
-
desetinnou čárku doprava.
-
10000 je 10 na čtvrtou.
-
Takže je to jako posunout desetinnou čárku
-
o čtyři místa doprava.
-
1, 2, 3, 4.
-
Takže to bude 34028.
-
Ale těch 28 se pořád opakuje.
-
Takže se nám ta 28 bude
pořád a pořád
-
a pořád opakovat.
-
Jen se všechny posunuly
o pět míst doleva kolem
-
desetinné čárky.
-
Můžete se tak na to dívat.
-
Dává to smysl.
-
Je to skoro 3 a 1/2.
-
Když to vynásobíte 10000,
dostanete skoro 35000.
-
Takže to je 10000 krát 'x'.
-
Teď se zamysleme
také nad 100 krát 'x'.
-
A celé to cvičení je tu o tom,
že chci dostat dvě čísla,
-
která když je odečtu
a jsou vyjádřena s 'x',
-
ta opakující se část zmizí.
-
Pak s nimi může počítat jako
s normálními čísly.
-
Takže se zamysleme,
kolik je 100 krát 'x'.
-
100 krát 'x'.
-
To posune desetinnou čárku.
-
Pamatujte, že ta byla prvně tady.
-
Posune ji to doprava o dvě místa.
-
Tedy 100 krát 'x' by bylo 300...
Napíšu to takhle.
-
Bylo by to 340,28 s periodou.
-
Mohli bychom tu 28 opakovat,
-
ale nemělo by to smysl.
-
Chcete to vždy napsat
po desetinné čárce.
-
Tedy musíme znovu napsat 28,
aby bylo vidět, že se opakuje.
-
Teď je to zajímavé.
-
Tyto dvě čísla jsou jen násobky 'x'.
-
A když odečtu to spodní od horního,
-
co se stane?
-
Ta opakující se část zmizí.
-
Takže do toho.
-
Udělejme to na obou stranách rovnice.
-
Pojďme na to.
-
Na levé straně rovnice,
10000 krát 'x' minus
-
100 krát 'x', to bude 9900 krát 'x'.
-
A na pravé straně rovnice, uvidíme...
ta desetinná část
-
se zruší.
-
Musíme jen přijít na to,
kolik je 34028 minus 340.
-
Vyřešme to tedy.
-
8 je větší než 0,
tedy tu nemusíme
-
nic přeskupovat.
-
2 je menší než 4.
-
Musíme to přeskupit,
ale ještě si
-
nemůžeme půjčit,
protože tu máme 0.
-
A 0 je menší než 3,
musíme to přeskupit
-
nebo si "půjčit".
-
Půjčme si nejdřív od 4.
-
Půjčíme si od 4,
toto bude 3
-
a toto bude 10.
-
A pak ta 2 může půjčit od 10.
-
Tohle bude 9 a toto 12.
-
A teď můžeme odečítat.
-
8 minus 0 je 8.
-
12 minus 4 je 8.
-
9 minus 3 je 6.
-
3 minus nic jsou 3.
-
3 minus nic jsou 3.
-
Tedy 9900 krát 'x' se rovná 33 688.
-
Odečetli jsme 340 od tady toho nahoře.
-
Dostali jsme 33688.
-
Teď, když to to chceme vyřešit pro 'x',
vydělíme
-
obě strany rovnice 9900.
-
Vydělíme levou stranu 9900.
-
Vydělíme pravou stranu 9900.
-
A co nám zbylo?
-
Máme 'x' se rovná
33688 děleno 9900.
-
A co je na tom za problém?
-
No, 'x' bylo toto číslo, 'x' bylo to číslo,
se kterým jsme začali,
-
to číslo, které se pořád opakovalo.
-
Díky tomu, že jsme udělali pár
algebraických úprav
-
a odečtení jednoho násobku
toho čísla od druhého,
-
můžeme to 'x' vyjádřit jako zlomek.
-
Toto není řečeno nejjednodušeji.
Myslím tím, že obě
-
jsou dělitelné 2
a vypadá to, že taky 4.
-
Můžete to teda dát do
nejméně běžného tvaru,
-
ale to je nám jedno.
-
Nám záleží na tom,
že můžeme vyjádřit 'x',
-
můžeme ho vyjádřit jako zlomek.
-
Jako zlomek dvou celých čísel.
-
Takže to číslo je také racionální.
-
Je také racionální.
-
A tento postup, co jsme dělali,
se nevztahuje
-
pouze na toto číslo.
-
Pokaždé, když máte
číslo s periodou, můžete to
-
udělat.
-
Takže obecně, opakující se číslice
jsou racionální.
-
Ty iracionální jsou ty, které se
nikdy vůbec
-
neopakují, jako pí.
-
A ty další věci,
myslím, že je zřejmé,
-
že to není celé číslo.
-
To by to muselo být celé číslo,
-
celek.
-
Takže toto je někde mezi
dvěma celými čísly.
-
Není to přirozené nebo celé kladné číslo,
která jsou někdy uvažována
-
jako podmnožina celých čísel .
-
Není to tedy žádné z nich.
-
Je tedy reálné a racionální.
-
To je vše, co o něm můžeme říci.
