无限有多大?- 丹尼斯·瓦弗杰
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0:14 - 0:16我在四年级的时候,
小学老师有一天跟我们说: -
0:16 - 0:19“偶数的个数
和正整数的个数一样多。” -
0:19 - 0:25“真的吗?”我心想。
噢对!两个都是无限多个,所以一样多。 -
0:25 - 0:30但另一方面,偶数只是正整数的一部份,
而奇数就是剩下的部份, -
0:30 - 0:33所以正整数应该要比偶数还多,对吧?
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0:33 - 0:39要了解老师那段话的道理,
我们必须知道两个集合一样大
是什么意思。 -
0:39 - 0:44当我说我左手的手指
和右手的手指一样多时,这意谓着什么? -
0:44 - 0:48当然,两只手都是五根手指,
但是可以更简单一些。 -
0:48 - 0:53我不用去算,我只要知道
我能够将它们“一对一”对应起来。 -
0:53 - 0:56事实上,我们认为古代那些
语言里数字只到三的人们 -
0:56 - 1:02就是用这个技俩。
如果你把你的羊从羊圈里放出去吃草, -
1:02 - 1:06你可以随时知道有几只羊跑出去。
你只要在羊出去时将一颗石子放旁边, -
1:06 - 1:09然后在羊回来的时候
再把石子放回来就好。 -
1:09 - 1:12这样你就不会乱掉,
尽管你没有真的去算羊的数目。 -
1:12 - 1:15另一个“一对一”的例子
比计数更单纯一些。 -
1:15 - 1:20如果在一个拥挤的礼堂里,
每个位子都有人坐而且没人站着, -
1:20 - 1:23这样我就知道
人数跟椅子数一样多, -
1:23 - 1:26虽然说我并不知道
这两者的个数。 -
1:26 - 1:28所以,我们说两个集合一样大时,
它真正的意思就是 -
1:28 - 1:33两集合里的元素
有办法“一对一”对应在一起。 -
1:33 - 1:38所以小学老师将正整数写成一列,
并将数字的两倍写在下面。 -
1:38 - 1:42你可以看到,底部那列
包含了所有的偶数,
这样就有了“一对一”的对应。 -
1:42 - 1:45也就是说,偶数和正整数一样多。
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1:45 - 1:51但依旧困扰着我们的是
偶数只是正整数的一部份这件事实。 -
1:51 - 1:56不过这样能说服你
我左右手手指数目不同吗? -
1:56 - 2:01当然没有!就算有的方法
配对失败,那也没关系, -
2:01 - 2:03因为这并没说服我们什么。
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2:03 - 2:06如果你可以找到一种方法
让两边元素配对起来, -
2:06 - 2:10那我们就说这两个集合个数一样。
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2:10 - 2:15你有办法将分数像正整数那样列出来吗?
这可能有点难,分数有很多! -
2:15 - 2:19而且不太明显哪个要放前面,
或是怎样把它们串起来。 -
2:19 - 2:24不过,有一个办法
我们可以把所有分数依序串起来。 -
2:24 - 2:28这是十九世纪末
数学家康托尔的贡献。 -
2:28 - 2:36首先,我们把分数上下左右对好。
全部的分数都在这。比如说,你可以找到 117/243 -
2:36 - 2:39它在第 117 列第 243 行。
-
2:39 - 2:44现在我们要把它们串起来,
从左上开始,然后
斜对角地串下来、串上去。 -
2:44 - 2:49其中像 2/2 这类之前已经算过的分数
就把它跳掉。 -
2:49 - 2:53因此我们就把分数串成一串了,
这意思是分数 -
2:53 - 2:58和正整数有“一对一”的对应,
虽然我们直觉是分数比较多个。 -
2:58 - 3:01好,这就是有趣的地方了。
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3:01 - 3:06你也许知道用分数没办法表示所有的实数
──也就是那些数线上的数。 -
3:06 - 3:09像是根号 2,还有圆周率 π 这些。
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3:09 - 3:15这类的数字叫作“无理数”。
不只是因为它们很难懂,
而是因为分数包含了 -
3:15 - 3:21所有整数的“比率”,所以被叫“可比的”,
而剩的就被叫作“不可比的”,
也就是“无理的”。 -
3:21 - 3:25无理数可以用无穷小数表示,
而且各位数没有规律。 -
3:25 - 3:29那么,我们可以将正整数和
所有无理、有理的小数 -
3:29 - 3:34“一对一”对应吗?
也就是,我们可以将所有小数串起来吗? -
3:34 - 3:39康托尔证明了这行不通。
不只想不到办法,而是真的没办法。 -
3:39 - 3:46来看看,如果你声称你把小数串好了。
我要来告诉你这是不可能的, -
3:46 - 3:48因为我要找一个你那串那面没有的小数。
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3:48 - 3:51我要在小数点后一个一个位数决定。
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3:51 - 3:55我要用你那串的第 1 个数字的第 1 位数
来决定我的第 1 位数。 -
3:55 - 4:00如果它是 1,我的就是 2;否则我的就是 1。
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4:00 - 4:05再用你的第 2 个数字的第 2 位数
来决定我的第 2 位数。 -
4:05 - 4:09一样,如果你的是 1,我的就是 2;
否则我的就是 1。 -
4:09 - 4:14看出怎么算下去了吗?
我找到的这个小数,不可能在你那串里。 -
4:14 - 4:21为什么?比如它和你的
第 143 个数会一样吗?
不可能,因为第 143 位数里, -
4:21 - 4:25你的和我的不一样。
这是我特别挑的。 -
4:25 - 4:29你没串成功。
没有串到所有小数。 -
4:29 - 4:34而不论你怎么串,我都可以做同样的事,
然后找到一个你那串里没出现的小数。 -
4:34 - 4:37所以我们得到了
令人讶异的结论: -
4:37 - 4:43所有小数没办法串成一串。
它的“无限大”比正整数的“无限大”还大。 -
4:43 - 4:49所以,尽管你只熟悉几个无理数,
像是根号 2 和圆周率 π, -
4:49 - 4:52无理数的“无限大”实际上也比
分数的“无限大”还要大。 -
4:52 - 4:57有人曾这样比喻:
有理数,或者说分数,就像天空的星星; -
4:57 - 5:01而无理数就像是无尽的黑暗。
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5:01 - 5:07康托尔同时也证明任何无穷大的集合,
只要把它的所有子集都搜集起来, -
5:07 - 5:12新的集合的“无限大”就比原本的还大。
意思是说,只要你有一种“无限大” -
5:12 - 5:18那你就可以用它的所有子集
来做出比它更“无限大”的集合。 -
5:18 - 5:22接着再用这集合做出更加“无限大”的集合。
不断做下去。 -
5:22 - 5:26所以,“无限大”之间也是有分不同的大小。
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5:26 - 5:31如果你觉得这令人不适,这并不奇怪。
一些康托尔那年代的伟大数学家 -
5:31 - 5:35也对这观念非常反感。
他们试着要把无限这观念抽离, -
5:35 - 5:38让数学可以
没有无限也能运作。 -
5:38 - 5:42康托尔甚至受到人身攻击,
严重到让他饱受忧郁之苦, -
5:42 - 5:46并且在精神疗院渡过后半余生。
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5:46 - 5:51不过他的想法最终得到肯定。
今天,这观念被认为是基础并重要的。 -
5:51 - 5:56所有数学研究者都接受这观念,
每个数学系都也都在教, -
5:56 - 5:58而我刚刚已经花了几分钟来解释。
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5:58 - 6:01也许有一天,这会变成大家的常识。
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6:01 - 6:06还有一点。我们刚刚指出
小数,也就是实数, -
6:06 - 6:10比正整数的“无限大”还多。
康托尔在想两个“无限大”之间 -
6:10 - 6:14是否还有不同层级的“无限大”。
我们不这么认为,但也没办法证明。 -
6:14 - 6:18康托尔的猜想变成
有名的“连续统假说”。 -
6:18 - 6:24在 1900 年,大数学家希尔伯特
把连续统假说列为 -
6:24 - 6:26数学里最重要的未解问题。
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6:26 - 6:32这问题在 20 世纪露出一些端倪,
但是结果和超乎预期,并跌破大家眼镜。 -
6:32 - 6:38在 1920 年代,哥德尔证明了
你不可能证明连续统假说是错的。 -
6:38 - 6:43接着在 1960 年代,寇恩证明了
你不可能证明连续统假说是对的。 -
6:43 - 6:48合在一起,这些结果告诉你
数学里也有一些不能回答的问题。 -
6:48 - 6:50这是一个很令人震惊的结论。
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6:50 - 6:53数学被公认是人类逻辑的结晶,
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6:53 - 6:57但现在我们知道
就算是数学也有它的极限。 -
6:57 - 7:01还有就是,数学里有一些值得我们思考,
而且很令人着迷的道理。
- Title:
- 无限有多大?- 丹尼斯·瓦弗杰
- Speaker:
- Dennis Wildfogel
- Description:
-
完整课程详见:http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity
让我们使用集理论的基本原理,探索“无限之无限”的困难概念,并且了解它是如何导致数学家得出一下结论:数学本身含有无法解答的问题。
课程:丹尼斯·瓦弗杰,动画制作:Augenblick 动画工作室
- Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 07:13
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