Sự Vô hạn lớn cỡ nào?

Xem toàn bộ nội dung tại: http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity
Sử dụng thuyết đối xứng, mở rộng trí óc- nói về chủ đề "sự vô hạn của tập vô hạn" -- và bằng cách nào khiến những nhà toán học kết luận rằng toán học chứa đựng câu hỏi không lời giải.
Bài dạy tạo bời Dennis Wildfogel, hình ảnh vởi Augenblick Studios.

Khi tôi vào lớp 4, một ngày
giáo viên nói với chúng tôi rằng

"Có bao nhiêu số chẵn
thì có bấy nhiêu con số"

"Thật sao?", tôi nghĩ.

Chắc vậy, cả hai đều có rất nhiều,

nên cứ cho là bằng nhau vậy."

Nhưng mặt khác, số chẵn chỉ là
một phần của số nguyên,

còn lại là số lẻ,

như vậy số nguyên nhiều hơn số chẵn,
đúng chứ?

Để hiểu điều thầy tôi đang hướng đến

trước tiên hãy nghĩ về khái niệm
hai tập hợp bằng nhau.

Điều đó có nghĩa là gì khi tôi nói

2 bàn tay tôi có số ngón tay bằng nhau

Dĩ nhiên, tôi có 5 ngón trên mỗi bàn tay,
nhưng còn đơn giản hơn thế.

Tôi không phải đếm, tôi chỉ cần
nhìn chúng đối cặp với nhau, 1 đối 1.

Thật ra, chúng ta đều nghĩ những người cổ đại

không có từ ngữ để chỉ số lớn hơn 3,

họ dùng thuật tính này.

Ví dụ, nếu bạn lùa cừu ra ngoài ăn cỏ,

bạn có thể biết số cừu ra ngoài bằng cách
xếp 1 viên đá cho 1 con,

và kiểm tra lại từng viên một khi
bầy cừu trở về chuồng,

vậy bạn sẽ biết có mất con nào không
mà không cần phải đếm.

Một ví dụ nữa cho thấy sự đối xứng
đơn giản hơn việc đếm,

Nếu tôi diễn thuyết
trong 1 phòng đầy người

mọi người đều có ghế và không ai đứng,

tôi sẽ biết số ghế
đúng bằng số người trong phòng,

mặc dù tôi không biết
số lượng là bao nhiêu.

Vậy, ý nghĩa thật sự
khi nói 2 tập hợp bằng nhau

là các phần tử trong 2 tập hợp đó

có thể được đối cặp với nhau
theo kiểu 1 đối 1.

Thầy giáo lớp 4 của tôi đã liệt kê

số nguyên thành 1 hàng,
và bên dưới là số gấp đôi nó.

Như các bạn thấy,
hàng dưới gồm các số chẵn

và chúng ta có thể xếp 1 đối 1.

Đấy chính là, "có bao nhiêu số chẵn
thì có bấy nhiêu con số."

Nhưng điều làm chúng ta bế tắc

là thật ra số chẵn dường như
chỉ là một phần của số nguyên.

Liệu có thuyết phục được bạn,

rằng số ngón trên
tay phải và tay trái

của tôi là khác nhau?

Dĩ nhiên là không.

Thật vô nghĩa nếu cố đối ứng

các phần tử bằng phương pháp vớ vẩn,

không giúp chỉ ra được điều gì.

Nếu bạn tìm ra được 1 cách

để các thành phần của 2 tập hợp đối ứng,

thì ta nói 2 tập hợp đó bằng nhau
về số lượng phần tử.

Bạn có thể liệt kê
ra hết các phân số không ?

Có thể rất khó
bởi có rất nhiều phân số!

Và không rõ cái nào xếp đầu tiên,

hay làm sao chúng ta chắc rằng
chúng đã được liệt kê đầy đủ.

Tuy nhiên, có 1 cách thông minh

có thể dùng để liệt kê hết các phân số.

Được Georg Cantor áp dụng đầu tiên
vào cuối những năm 1800.

Đầu tiên, ta xếp tất cả phân số
theo kiểu mạng lưới.

Tất cả đều ở đây.

Ví dụ, bạn có thể tìm được 117/243,

ở hàng thứ 117 và cột thứ 243.

Bây giờ ta liệt kê

từ phần trên cùng bên trái
và lượn về trước theo đường chéo,

bỏ qua bất kì phân số nào, như 2/2,

bằng giá trị với số mà ta đã chọn rồi.

Vậy là ta có bảng liệt kê
tất cả các phân số,

nghĩa là ta có phép đối ứng 1-1

giữa những số nguyên với phân số,

mặc dù ta nghĩ
hẳn là có nhiều phân số hơn.

Vâng, đây là phần thật sự rất thú vị.

Có thể bạn biết
không phải tất cả các số thực

- k phải tất cả các con số nằm trên tia số -
đều là phân số.

Căn 2 và số Pi là một ví dụ.

Bất cứ con số nào giống như thế
được gọi là số vô tỉ.

Không phải vì lộn xộn gì,

mà bởi vì phân số là
tỷ số giữa các số nguyên,

nên gọi nó là số hữu tỷ;

có nghĩa phần còn lại
không phải số hữu tỷ, là số vô tỷ.

Nó chính là những số thập phân vô hạn
và không lặp lại.

Vậy, ta có thể ghép cặp 1-1

giữa tất cả các số nguyên và số thập phân,

gồm cả số hữu tỷ và số vô tỷ không?

Nghĩa là, liệu ta có thể liệt kê
tất cả các số chữ số thập phân?

Candor nói rằng bạn không thể.

Không phải vì chúng ta không biết cách,
mà là không thể làm nổi.

Xem nào, ví dụ bạn đã lập một bảng liệt kê
tất cả các số thập phân.

Tôi sẽ chỉ ra rẳng bạn đã không thành công

bằng cách viết thêm một con số
chưa có trong bảng của bạn.

Tôi sẽ viết lần lượt từng chữ số một.

Với chữ số thập phân đầu tiên,

tôi sẽ nhìn chữ số thập phân đầu tiên
trong số đầu tiên của bạn.

Nếu nó là 1, tôi viết số của tôi là 2,

nếu khác thì tôi viết là 1.

Với vị trí thứ 2 trong con số của tôi,

tôi sẽ nhìn vào vị trí thứ 2
trong con số của bạn.

Một lần nữa, nếu số của bạn là 1,
thì tôi viết lại là 2,

nếu khác thì tôi viết là 1.

Nhìn thử xem ?

Số thập phân mà tôi đưa ra không thể có
trong danh sách của bạn.

Tại sao?
Nó có thể là con số thứ 143 của bạn không?

Không, vì trong chữ số thập phân của tôi
ở vị trí 143

khác với vị trí thứ 143
trong con số thứ 143 của bạn.

Tôi đã cố tình làm thế.

Danh sách của bạn luôn thiếu.

Nó không có con số của tôi.

Và bất kể danh sách của bạn thế nào,
tôi có thể làm tương tự,

và tạo ra 1 con số hoàn toàn mới
không có trong danh sách đó.

Vậy chúng ta đối mặt với
kết luận đáng kinh ngạc này:

Số thập phân
không thể xếp vào bảng liệt kê.

Nó là một tập vô hạn lớn hơn
so với tập vô hạn của số nguyên.

Nên dù ta đã quen với một vài số vô tỷ,

như căn 2 và pi,

thì tập vô hạn của số vô tỷ

thật sự vẫn lớn hơn
tập vô hạn của các phân số.

Có ai đó từng nói rằng số hữu tỷ

-- nếu phân số --
giống như ngôi sao trên bầu trời đêm.

Thì số vô tỉ chính là bóng tối.

Cantor cũng chỉ ra rằng,
đối với bất kì tập vô hạn nào,

việc thiết lập một tập vô hạn mới
từ các tập con của tập hợp gốc

sẽ cho ra một tập vô hạn lớn hơn tập gốc.

Nghĩa là, khi bạn có 1 tập vô hạn,

bạn luôn có thể tạo ra
một tập vô hạn lớn hơn

từ các tập con của tập đầu tiên.

Và thậm chí là tập hợp lớn hơn

bằng cách tạo ra từ các tập con
và chính tập đó nữa.

Và cứ như thế.

Vậy, có 1 số tập vô hạn nằm trong
tập vô hạn khác, có độ lớn khác nhau.

Nếu những khái niệm này làm bạn khó chịu,
không phải chỉ mình bạn.

Một số
nhà toán học vĩ đại nhất thời Cantor

đã rất bực mình về điều này.

Họ cố khiến
những điều này không quan trọng nữa,

để toán học vẫn dùng được
mà không cần nó.

Cantor thậm chí bị lăng mạ,

và tình hình tệ hại hơn
khi ông suy sụp tột độ,

và trải qua nửa đời còn lại
bằng việc lui tới trại tâm thần.

Nhưng cuối cùng,
khái niệm của ông đã chiến thắng.

Ngày nay,
nó là một khái niệm nền tảng quan trọng.

Tất cả các nhà toán học
đã chấp nhận khái niệm này,

mọi ngành toán cấp đại học
đều nghiên cứu nó,

và tôi đã giải thích cho bạn
trong vài phút.

Một ngày nào đó,
chắc chắn chúng sẽ trở nên phổ biến.

Còn nữa.

Ta chỉ mới chỉ ra rằng
tập hợp số thập phân

- tức là số thực -
có sự vô hạn lớn hơn

tập hợp số nguyên.

Candor từng tự hỏi có tồn tại
những tập vô hạn

kích thước khác nhau nằm giữa
hai tập vô hạn này không?

Ông không nghĩ là có,
trừ phi chứng minh được.

Phỏng đoán của Candor được biết đến với tên:
"giả thuyết Continuum" (giả thuyết liên tục)

Năm 1900, một nhà toán học vĩ đại,
David Hilbert,

cho rẳng "giả thuyết continuum"

là vấn đề chưa lời giải
quan trọng nhất trong toán học.

Thế kỉ 20 đã có những bước tiến
trong vấn đề này,

nhưng theo cách hoàn toàn ngoài mong đợi.

Vào những năm 1920, Kurt Godel đã chỉ ra

bạn không bao giờ chứng minh được
"giả thuyết continuum" là sai.

Rồi đến những năm 1960,
Paul J.Cohen lại nói rằng

bạn không bao giờ chứng minh được
"giả thuyết continuum" là đúng.

Tóm lại, những kết quả này cho thấy

có một câu hỏi không lời giải
trong toán học.

Một kết luận đầy sửng sốt.

Toán học được cho là đỉnh cao
trong lý luận của loài người,

nhưng giờ ta đã biết ngay cả toán học
cũng có giới hạn của nó.

Dù vậy, toán học luôn có những điều
kinh ngạc để chúng ta phải suy nghĩ.