0:00:13.999,0:00:16.722
Khi tôi vào lớp 4, một ngày [br]giáo viên nói với chúng tôi rằng

0:00:16.746,0:00:19.275
"Có bao nhiêu số chẵn [br]thì có bấy nhiêu con số"

0:00:19.745,0:00:21.098
"Thật sao?", tôi nghĩ.

0:00:21.122,0:00:23.458
Chắc vậy, cả hai đều có rất nhiều,

0:00:23.482,0:00:25.878
nên cứ cho là bằng nhau vậy."

0:00:25.902,0:00:28.933
Nhưng mặt khác, số chẵn chỉ là[br]một phần của số nguyên,

0:00:28.957,0:00:30.584
còn lại là số lẻ,

0:00:30.608,0:00:33.657
như vậy số nguyên nhiều hơn số chẵn,[br]đúng chứ?

0:00:33.681,0:00:35.529
Để hiểu điều thầy tôi đang hướng đến

0:00:35.553,0:00:39.061
trước tiên hãy nghĩ về khái niệm[br]hai tập hợp bằng nhau.

0:00:39.085,0:00:40.989
Điều đó có nghĩa là gì khi tôi nói

0:00:40.989,0:00:44.357
2 bàn tay tôi có số ngón tay bằng nhau

0:00:44.381,0:00:48.015
Dĩ nhiên, tôi có 5 ngón trên mỗi bàn tay,[br]nhưng còn đơn giản hơn thế.

0:00:48.039,0:00:52.490
Tôi không phải đếm, tôi chỉ cần [br]nhìn chúng đối cặp với nhau, 1 đối 1.

0:00:52.514,0:00:54.620
Thật ra, chúng ta đều nghĩ những người cổ đại

0:00:54.644,0:00:58.087
không có từ ngữ để chỉ số lớn hơn 3,

0:00:58.111,0:00:59.483
họ dùng thuật tính này.

0:00:59.507,0:01:02.233
Ví dụ, nếu bạn lùa cừu ra ngoài ăn cỏ,

0:01:02.257,0:01:05.938
bạn có thể biết số cừu ra ngoài bằng cách[br]xếp 1 viên đá cho 1 con,

0:01:05.962,0:01:09.092
và kiểm tra lại từng viên một khi[br]bầy cừu trở về chuồng,

0:01:09.116,0:01:11.909
vậy bạn sẽ biết có mất con nào không[br]mà không cần phải đếm.

0:01:11.933,0:01:15.172
Một ví dụ nữa cho thấy sự đối xứng[br]đơn giản hơn việc đếm,

0:01:15.196,0:01:17.339
Nếu tôi diễn thuyết [br]trong 1 phòng đầy người

0:01:17.363,0:01:19.667
mọi người đều có ghế và không ai đứng,

0:01:19.691,0:01:23.221
tôi sẽ biết số ghế [br]đúng bằng số người trong phòng,

0:01:23.245,0:01:25.771
mặc dù tôi không biết [br]số lượng là bao nhiêu.

0:01:25.795,0:01:28.938
Vậy, ý nghĩa thật sự [br]khi nói 2 tập hợp bằng nhau

0:01:28.962,0:01:30.690
là các phần tử trong 2 tập hợp đó

0:01:30.714,0:01:32.943
có thể được đối cặp với nhau[br]theo kiểu 1 đối 1.

0:01:32.967,0:01:34.634
Thầy giáo lớp 4 của tôi đã liệt kê

0:01:34.658,0:01:37.999
số nguyên thành 1 hàng,[br]và bên dưới là số gấp đôi nó.

0:01:38.023,0:01:40.892
Như các bạn thấy, [br]hàng dưới gồm các số chẵn

0:01:40.916,0:01:42.457
và chúng ta có thể xếp 1 đối 1.

0:01:42.481,0:01:45.386
Đấy chính là, "có bao nhiêu số chẵn [br]thì có bấy nhiêu con số."

0:01:45.410,0:01:47.700
Nhưng điều làm chúng ta bế tắc

0:01:47.724,0:01:50.834
là thật ra số chẵn dường như[br]chỉ là một phần của số nguyên.

0:01:51.227,0:01:52.681
Liệu có thuyết phục được bạn,

0:01:52.705,0:01:54.880
rằng số ngón trên [br]tay phải và tay trái

0:01:54.904,0:01:56.630
của tôi là khác nhau?

0:01:56.654,0:01:57.669
Dĩ nhiên là không.

0:01:57.693,0:01:59.536
Thật vô nghĩa nếu cố đối ứng

0:01:59.560,0:02:01.603
các phần tử bằng phương pháp vớ vẩn,[br]

0:02:01.603,0:02:03.165
không giúp chỉ ra được điều gì.

0:02:03.165,0:02:04.674
Nếu bạn tìm ra được 1 cách

0:02:04.674,0:02:06.978
để các thành phần của 2 tập hợp đối ứng,

0:02:07.002,0:02:09.895
thì ta nói 2 tập hợp đó bằng nhau[br]về số lượng phần tử.

0:02:10.332,0:02:12.487
Bạn có thể liệt kê [br]ra hết các phân số không ?

0:02:12.511,0:02:15.170
Có thể rất khó [br]bởi có rất nhiều phân số!

0:02:15.194,0:02:16.795
Và không rõ cái nào xếp đầu tiên,

0:02:16.805,0:02:19.658
hay làm sao chúng ta chắc rằng [br]chúng đã được liệt kê đầy đủ.

0:02:19.658,0:02:21.918
Tuy nhiên, có 1 cách thông minh

0:02:21.942,0:02:24.115
có thể dùng để liệt kê hết các phân số.

0:02:24.139,0:02:27.985
Được Georg Cantor áp dụng đầu tiên[br]vào cuối những năm 1800.

0:02:28.009,0:02:31.017
Đầu tiên, ta xếp tất cả phân số[br]theo kiểu mạng lưới.

0:02:31.041,0:02:32.131
Tất cả đều ở đây.

0:02:32.155,0:02:35.912
Ví dụ, bạn có thể tìm được 117/243,

0:02:35.936,0:02:38.996
ở hàng thứ 117 và cột thứ 243.

0:02:39.020,0:02:40.821
Bây giờ ta liệt kê

0:02:40.845,0:02:44.245
từ phần trên cùng bên trái[br]và lượn về trước theo đường chéo,

0:02:44.269,0:02:46.596
bỏ qua bất kì phân số nào, như 2/2,

0:02:46.620,0:02:49.453
bằng giá trị với số mà ta đã chọn rồi.

0:02:49.453,0:02:51.751
Vậy là ta có bảng liệt kê [br]tất cả các phân số,

0:02:51.751,0:02:53.698
nghĩa là ta có phép đối ứng 1-1

0:02:53.722,0:02:55.800
giữa những số nguyên với phân số,

0:02:55.818,0:02:58.673
mặc dù ta nghĩ [br]hẳn là có nhiều phân số hơn.

0:02:58.733,0:03:01.330
Vâng, đây là phần thật sự rất thú vị.

0:03:01.354,0:03:03.559
Có thể bạn biết [br]không phải tất cả các số thực

0:03:03.559,0:03:06.491
- k phải tất cả các con số nằm trên tia số -[br]đều là phân số.

0:03:06.515,0:03:08.662
Căn 2 và số Pi là một ví dụ.

0:03:08.686,0:03:11.313
Bất cứ con số nào giống như thế [br]được gọi là số vô tỉ.

0:03:11.313,0:03:13.064
Không phải vì lộn xộn gì,

0:03:13.088,0:03:16.102
mà bởi vì phân số là [br]tỷ số giữa các số nguyên,

0:03:16.126,0:03:17.593
nên gọi nó là số hữu tỷ;

0:03:17.617,0:03:20.828
có nghĩa phần còn lại [br]không phải số hữu tỷ, là số vô tỷ.

0:03:20.852,0:03:24.694
Nó chính là những số thập phân vô hạn [br]và không lặp lại.

0:03:24.718,0:03:26.853
Vậy, ta có thể ghép cặp 1-1

0:03:26.877,0:03:29.606
giữa tất cả các số nguyên và số thập phân,

0:03:29.630,0:03:31.342
gồm cả số hữu tỷ và số vô tỷ không?

0:03:31.342,0:03:34.654
Nghĩa là, liệu ta có thể liệt kê[br]tất cả các số chữ số thập phân?

0:03:34.654,0:03:36.188
Candor nói rằng bạn không thể.

0:03:36.212,0:03:39.509
Không phải vì chúng ta không biết cách,[br]mà là không thể làm nổi.

0:03:40.045,0:03:43.900
Xem nào, ví dụ bạn đã lập một bảng liệt kê[br]tất cả các số thập phân.

0:03:43.924,0:03:46.142
Tôi sẽ chỉ ra rẳng bạn đã không thành công

0:03:46.166,0:03:48.932
bằng cách viết thêm một con số[br]chưa có trong bảng của bạn.

0:03:48.932,0:03:50.795
Tôi sẽ viết lần lượt từng chữ số một.

0:03:50.819,0:03:52.968
Với chữ số thập phân đầu tiên,

0:03:52.968,0:03:55.970
tôi sẽ nhìn chữ số thập phân đầu tiên[br]trong số đầu tiên của bạn.

0:03:55.970,0:03:58.408
Nếu nó là 1, tôi viết số của tôi là 2,

0:03:58.432,0:04:00.388
nếu khác thì tôi viết là 1.

0:04:00.412,0:04:02.520
Với vị trí thứ 2 trong con số của tôi,

0:04:02.544,0:04:05.021
tôi sẽ nhìn vào vị trí thứ 2 [br]trong con số của bạn.

0:04:05.045,0:04:07.670
Một lần nữa, nếu số của bạn là 1,[br]thì tôi viết lại là 2,

0:04:07.670,0:04:09.894
nếu khác thì tôi viết là 1.

0:04:09.918,0:04:11.221
Nhìn thử xem ?

0:04:11.245,0:04:14.320
Số thập phân mà tôi đưa ra không thể có [br]trong danh sách của bạn.

0:04:14.320,0:04:17.531
Tại sao? [br]Nó có thể là con số thứ 143 của bạn không?

0:04:17.555,0:04:20.713
Không, vì trong chữ số thập phân của tôi[br]ở vị trí 143

0:04:20.737,0:04:24.374
khác với vị trí thứ 143 [br]trong con số thứ 143 của bạn.

0:04:24.398,0:04:25.965
Tôi đã cố tình làm thế.

0:04:25.989,0:04:27.466
Danh sách của bạn luôn thiếu.

0:04:27.490,0:04:29.484
Nó không có con số của tôi.

0:04:29.508,0:04:32.407
Và bất kể danh sách của bạn thế nào,[br]tôi có thể làm tương tự,

0:04:32.427,0:04:35.360
và tạo ra 1 con số hoàn toàn mới [br]không có trong danh sách đó.

0:04:35.360,0:04:37.885
Vậy chúng ta đối mặt với [br]kết luận đáng kinh ngạc này:

0:04:37.885,0:04:40.084
Số thập phân [br]không thể xếp vào bảng liệt kê.

0:04:40.108,0:04:44.026
Nó là một tập vô hạn lớn hơn[br]so với tập vô hạn của số nguyên.

0:04:44.050,0:04:46.812
Nên dù ta đã quen với một vài số vô tỷ,

0:04:46.836,0:04:48.617
như căn 2 và pi,

0:04:48.641,0:04:50.134
thì tập vô hạn của số vô tỷ

0:04:50.158,0:04:52.594
thật sự vẫn lớn hơn[br]tập vô hạn của các phân số.

0:04:52.618,0:04:54.387
Có ai đó từng nói rằng số hữu tỷ

0:04:54.411,0:04:57.335
-- nếu phân số --[br]giống như ngôi sao trên bầu trời đêm.

0:04:57.998,0:05:01.033
Thì số vô tỉ chính là bóng tối.

0:05:01.033,0:05:03.664
Cantor cũng chỉ ra rằng,[br]đối với bất kì tập vô hạn nào,

0:05:03.688,0:05:07.094
việc thiết lập một tập vô hạn mới[br]từ các tập con của tập hợp gốc

0:05:07.118,0:05:10.386
sẽ cho ra một tập vô hạn lớn hơn tập gốc.

0:05:10.410,0:05:12.403
Nghĩa là, khi bạn có 1 tập vô hạn,

0:05:12.403,0:05:14.561
bạn luôn có thể tạo ra [br]một tập vô hạn lớn hơn

0:05:14.561,0:05:16.966
từ các tập con của tập đầu tiên.

0:05:16.990,0:05:18.496
Và thậm chí là tập hợp lớn hơn

0:05:18.496,0:05:20.939
bằng cách tạo ra từ các tập con[br]và chính tập đó nữa.

0:05:20.939,0:05:21.989
Và cứ như thế.

0:05:22.013,0:05:25.601
Vậy, có 1 số tập vô hạn nằm trong[br]tập vô hạn khác, có độ lớn khác nhau.

0:05:25.625,0:05:29.090
Nếu những khái niệm này làm bạn khó chịu,[br]không phải chỉ mình bạn.

0:05:29.114,0:05:31.505
Một số [br]nhà toán học vĩ đại nhất thời Cantor

0:05:31.529,0:05:33.053
đã rất bực mình về điều này.

0:05:33.077,0:05:35.697
Họ cố khiến [br]những điều này không quan trọng nữa,

0:05:35.721,0:05:38.013
để toán học vẫn dùng được [br]mà không cần nó.

0:05:38.037,0:05:40.070
Cantor thậm chí bị lăng mạ,

0:05:40.094,0:05:42.999
và tình hình tệ hại hơn [br]khi ông suy sụp tột độ,

0:05:43.023,0:05:46.183
và trải qua nửa đời còn lại[br]bằng việc lui tới trại tâm thần.

0:05:46.223,0:05:48.662
Nhưng cuối cùng, [br]khái niệm của ông đã chiến thắng.

0:05:48.686,0:05:51.644
Ngày nay, [br]nó là một khái niệm nền tảng quan trọng.

0:05:51.668,0:05:54.099
Tất cả các nhà toán học [br]đã chấp nhận khái niệm này,

0:05:54.099,0:05:56.254
mọi ngành toán cấp đại học [br]đều nghiên cứu nó,

0:05:56.254,0:05:58.327
và tôi đã giải thích cho bạn[br]trong vài phút.

0:05:58.351,0:06:00.844
Một ngày nào đó,[br]chắc chắn chúng sẽ trở nên phổ biến.

0:06:00.868,0:06:02.042
Còn nữa.

0:06:02.066,0:06:04.496
Ta chỉ mới chỉ ra rằng [br]tập hợp số thập phân

0:06:04.520,0:06:06.970
- tức là số thực -[br]có sự vô hạn lớn hơn

0:06:06.994,0:06:08.263
tập hợp số nguyên.

0:06:08.263,0:06:10.480
Candor từng tự hỏi có tồn tại [br]những tập vô hạn

0:06:10.490,0:06:13.134
kích thước khác nhau nằm giữa [br]hai tập vô hạn này không?

0:06:13.134,0:06:15.399
Ông không nghĩ là có,[br]trừ phi chứng minh được.

0:06:15.399,0:06:19.010
Phỏng đoán của Candor được biết đến với tên:[br]"giả thuyết Continuum" (giả thuyết liên tục)

0:06:19.170,0:06:21.859
Năm 1900, một nhà toán học vĩ đại,[br]David Hilbert,

0:06:21.883,0:06:23.634
cho rẳng "giả thuyết continuum"

0:06:23.658,0:06:26.417
là vấn đề chưa lời giải [br]quan trọng nhất trong toán học.

0:06:26.441,0:06:29.254
Thế kỉ 20 đã có những bước tiến [br]trong vấn đề này,

0:06:29.278,0:06:32.236
nhưng theo cách hoàn toàn ngoài mong đợi.

0:06:32.942,0:06:34.899
Vào những năm 1920, Kurt Godel đã chỉ ra

0:06:34.923,0:06:37.923
bạn không bao giờ chứng minh được[br]"giả thuyết continuum" là sai.

0:06:37.947,0:06:40.917
Rồi đến những năm 1960, [br]Paul J.Cohen lại nói rằng

0:06:40.917,0:06:44.027
bạn không bao giờ chứng minh được[br]"giả thuyết continuum" là đúng.

0:06:44.051,0:06:46.200
Tóm lại, những kết quả này cho thấy

0:06:46.224,0:06:48.748
có một câu hỏi không lời giải[br]trong toán học.

0:06:48.772,0:06:50.286
Một kết luận đầy sửng sốt.

0:06:50.310,0:06:53.435
Toán học được cho là đỉnh cao[br]trong lý luận của loài người,

0:06:53.459,0:06:56.568
nhưng giờ ta đã biết ngay cả toán học[br]cũng có giới hạn của nó.

0:06:57.094,0:07:00.809
Dù vậy, toán học luôn có những điều [br]kinh ngạc để chúng ta phải suy nghĩ.