Наскільки великим є нескінченно велике число?
-
0:14 - 0:16Одного разу, коли я був у четвертому класі, мій вчитель сказав нам:
-
0:16 - 0:19"Парних чисел існує стільки ж, як і звичайних".
-
0:19 - 0:25"Справді?" - подумав я. Ну, так, справді, існує безмежна кількість як і парних чисел, так і звичайних, тому я припускаю, що їхня кількість однакова.
-
0:25 - 0:30Проте парні числа входять до цілих чисел, а усі непарні числа - ні,
-
0:30 - 0:33тому цілих чисел має бути більше ніж парних, чи не так?
-
0:33 - 0:39Щоб зрозуміти, що мій учитель хотів сказати, спочатку поміркуймо, що таке дві множини одного розміру.
-
0:39 - 0:44Що я маю на увазі, коли кажу, що у мене така ж кількість пальців на правій руці, як і на лівій?
-
0:44 - 0:48Звичайно, у мене є п'ять пальців на кожній руці, але насправді все простіше.
-
0:48 - 0:53Я не мушу рахувати, а тільки пересвідчитися, що я можу зіставити їх, один до одного.
-
0:53 - 0:56Ми вважаємо, що деякі древні народи, які говорили мовами, котрі не мали слів для позначення
-
0:56 - 1:02чисел, більших за три, використовували цей вид магії. Наприклад, якщо ви випустите овець на пашу,
-
1:02 - 1:06ви можете відстежити, скільки овець вийшло, відкладаючи один камінь для кожної з них,
-
1:06 - 1:09а потім покласти ці камені назад по одному, коли вівці повернуться,
-
1:09 - 1:12щоб дізнатися, чи є відсутні, навіть не рахуючи.
-
1:12 - 1:15Ще один приклад зіставлення, вагоміший за підрахунок:
-
1:15 - 1:20якщо я говорю в переповненому залі, де кожне сидіння заняте, і ніхто не стоїть,
-
1:20 - 1:23я знаю, що там є така ж кількість стільців, як і людей в аудиторії,
-
1:23 - 1:26хоча я не знаю, скільки там людей чи крісел.
-
1:26 - 1:28Отже, коли ми говоримо, що дві множини однакового розміру, ми маємо на увазі,
-
1:28 - 1:33що елементи в цих множинах можна певним чином співставити.
-
1:33 - 1:38Мій учитель виклав у ряд цілі числа, а під кожне з них - його подвійне значення.
-
1:38 - 1:42Як бачите, нижній ряд містить усі парні числа - і все сходиться.
-
1:42 - 1:45Тобто парних чисел існує стільки ж, як і звичайних.
-
1:45 - 1:51Але нас турбує, що парні числа є лише частиною цілих чисел.
-
1:51 - 1:56Та хіба це переконає вас, що я не мають однакової кількості пальців на правій та лівій руках?
-
1:56 - 2:01Звичайно,ні. Навіть якщо ви спробуєте співставити елементи, і вам нічого не вийде,
-
2:01 - 2:03вас це так легко не переконає.
-
2:03 - 2:06Якщо ви зможете знайти чудовий спосіб, згідно з яким елементи двох множин збігатимуться,
-
2:06 - 2:10тоді ми скажемо, що ці дві множини мають однакову кількість елементів.
-
2:10 - 2:15Чи ви можете скласти список усіх можливих дробів? Це дуже важко, адже дробів чимало!
-
2:15 - 2:19І не ясно, який дріб має йти першим. А як упевнитися, що всі дроби є в списку?
-
2:19 - 2:24Однак існує дуже розумний спосіб, завдяки якому ми можемо скласти список усіх дробів.
-
2:24 - 2:28Цей спосіб розробив Георг Кантор наприкінці 18 століття.
-
2:28 - 2:36По-перше, ми формуємо із дробів сітку. Із усіх дробів. Наприклад, ви можете знайти 117/243,
-
2:36 - 2:39у 117-му рядку та 223-му стовпці.
-
2:39 - 2:44Ми складемо список, починаючи з верхнього лівого кута і повертаючись назад по діагоналі,
-
2:44 - 2:49пропускаючи будь-які дроби, як-от 2/2, які представляють те ж саме число, котре ми вже вибрали.
-
2:49 - 2:53Так ми отримали список усіх дробів, тобто співставили
-
2:53 - 2:58цілі числа та дроби, хоча ми думали, що дробів має бути більше.
-
2:58 - 3:01Гаразд, а зараз стане справді цікаво.
-
3:01 - 3:06Ви мабуть знаєте, що не всі дійсні числа - тобто не всі числа на числовій вісі - є дроби.
-
3:06 - 3:09Наприклад, квадратний корінь з двійки та числа пі.
-
3:09 - 3:15Будь-яке число на кшталт цього називається ірраціональним. Не тому, що воно божевільне, а тому, що дроби
-
3:15 - 3:21є коефіцієнтами цілих чисел, і їх називають раціональними числами; а всі інші числа - нераціональні, тобто ірраціональні.
-
3:21 - 3:25Ірраціональні числа представлені нескінченними, неперіодичними десятковими числами.
-
3:25 - 3:29Чи можна співставити цілі числа та множину усіх десяткових чисел,
-
3:29 - 3:34і раціональних, і ірраціональних? Тобто чи можна скласти список усіх десяткових чисел?
-
3:34 - 3:39Кантор довів, що не можна. Ми не тільки не знаємо як, а й узагалі не можемо цього зробити.
-
3:39 - 3:46Припустимо, що ви стверджуєте, що ви склали список усіх десяткових чисел. Я доведу, що у вас нічого не вийшло:
-
3:46 - 3:48я покажу вам десяткове число, яке не входить до вашого списку.
-
3:48 - 3:51Я почну з одного десяткового розряду.
-
3:51 - 3:55Для першого десяткового розряду мого числа я подивлюсь на перший десятковий розряд вашого першого числа.
-
3:55 - 4:00Якщо це одиниця, я зроблю двійку; якщо ні - то одиницю.
-
4:00 - 4:05Для другого десяткового розряду мого числа я подивлюсь на другий десятковий розряд вашого другого числа.
-
4:05 - 4:09Знову ж таки, якщо у вас одиниця, в мене буде двійка, якщо ж ні, то одиниця.
-
4:09 - 4:14Бачите, як це відбувається? Десяткове число, яке я утворив, не може бути в вашому списку.
-
4:14 - 4:21Чому? Чи може це бути ваше 143-тє число? Ні, тому що 143 розряд мого десяткового числа
-
4:21 - 4:25відрізняється від 143-го розряду вашого 143 числа. Я так це зробив.
-
4:25 - 4:29Ваш список ще не завершений. Він не містить мого десяткового числа.
-
4:29 - 4:34Хоч який список ви мені дасте, я утворю десяткове число, якого ще немає в цьому списку.
-
4:34 - 4:37Так ми дійшли неймовірного висновку:
-
4:37 - 4:43з десяткових чисел не можна укласти список. Вони утворюють більшу нескінченність, ніж цілі числа.
-
4:43 - 4:49Тому хоча ми знайомі з кількома ірраціональними числами, як-от квадратним коренем двійки та числа пі,
-
4:49 - 4:52нескінченність всіх iрраціональних чисел більша за нескінченність дробів.
-
4:52 - 4:57Хтось сказав, що раціональні числа - дроби - це немов зірки в нічному небі;
-
4:57 - 5:01а ірраціональні - немов темрява.
-
5:01 - 5:07Кантор також пояснив, що у будь-якій нескінченній множині формування нової множини з підмножин початкової множини
-
5:07 - 5:12представлятиме більшу нескінченність, ніж початкова множина. Це означає, що як тільки у вас з'явилась одна нескінченність,
-
5:12 - 5:18ви завжди можете зробити більшу нескінченність, створивши множину з усіх підмножин першої множини. А потім ще більшу,
-
5:18 - 5:22створивши множину з усіх підмножин тієї множини. І так далі.
-
5:22 - 5:26Отож існує нескінченне число нескінченно великих чисел різних розмірів.
-
5:26 - 5:31Якщо ця теорія збиває вас з пантелику, то ви не одні такі. Деякі найвидатніші математики часів Кантора
-
5:31 - 5:35були дуже засмучені через це. Вони намагалися зробити різні нескінченні числа зайвими, щоб
-
5:35 - 5:38математика могла обійтися без них.
-
5:38 - 5:42Кантора за це обливали брудом, і він так цим перейнявся, що страждав від затяжної депресії
-
5:42 - 5:46та не раз за останню половину свого життя потрапляв до божевільні.
-
5:46 - 5:51Але врешті-решт його ідеї перемогли. Сьогодні їх вважають фундаментальними та величними.
-
5:51 - 5:56Усі математики прийняли його ідеї, і тепер їх вивчає кожен студент математичного коледжу,
-
5:56 - 5:58а я пояснив вам їх всього за декілька хвилин.
-
5:58 - 6:01Коли-небудь, можливо, вони стануть загальними знаннями.
-
6:01 - 6:06Але це ще не все. Ми тільки-що зазначили, що множина десяткових чисел - тобто дійсних чисел — це
-
6:06 - 6:10нескінченність більша, ніж множина цілих чисел. Кандора цікавило, чи існують нескінченності
-
6:10 - 6:14різних розмірів між цими двома нескінченностями . Він не думав, що це можливо, проте зміг це довести.
-
6:14 - 6:18Гіпотеза Кандора відома під назвою континуум-гіпотези.
-
6:18 - 6:24У 1900 знаний математик Девід Гілберт назвав континуум-гіпотезу найважливішою
-
6:24 - 6:26нерозв'язаною задачею в математиці.
-
6:26 - 6:32Розв'язок цієї задачі з'явився у 20 столітті, несподівано зруйнувавши усталену парадигму.
-
6:32 - 6:38У 1920 році Курт Ґодел заявив, що неможливо довести, що гіпотеза-континуум хибна.
-
6:38 - 6:43У 1960-х роках Пол Джей Коген стверджував, що неможливо довести те, що гіпотеза-континуум правдива.
-
6:43 - 6:48А це свідчить про те, що в математиці все-таки існують питання, на які неможливо дати відповідь.
-
6:48 - 6:50Дуже приголомшливий висновок.
-
6:50 - 6:53Математику справедливо вважають вершиною людської думки,
-
6:53 - 6:57але тепер ми знаємо, що навіть математика має певні обмеження.
-
6:57 - 7:01Та все ж, математика складається з воістино дивовижних речей, над якими варто задуматись.
- Title:
- Наскільки великим є нескінченно велике число?
- Speaker:
- Dennis Wildfogel
- Description:
-
Подивитись цілий урок можна за цим посиланням: http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity
Використовуючи основу теорії множин, дізнайтеся про приголомшливе поняття "нескінченності нескінченностей" - і про те, як через нього математики дійшли висновку, що навіть математика містить нерозв'язні питання.
Урок - Денніс Вілдфоґел, анімація - Ауґенблік Студіос.
- Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 07:13
Hanna Leliv approved Ukrainian subtitles for How big is infinity? | ||
Hanna Leliv edited Ukrainian subtitles for How big is infinity? | ||
Hanna Leliv edited Ukrainian subtitles for How big is infinity? | ||
Hanna Leliv accepted Ukrainian subtitles for How big is infinity? | ||
Hanna Leliv edited Ukrainian subtitles for How big is infinity? | ||
Hanna Leliv edited Ukrainian subtitles for How big is infinity? | ||
Hanna Leliv edited Ukrainian subtitles for How big is infinity? | ||
Julia Dankovych edited Ukrainian subtitles for How big is infinity? |