Одного разу, коли я був у четвертому класі, мій вчитель сказав нам:
"Парних чисел існує стільки ж, як і звичайних".
"Справді?" - подумав я. Ну, так, справді, існує безмежна кількість як і парних чисел, так і звичайних, тому я припускаю, що їхня кількість однакова.
Проте парні числа входять до цілих чисел, а усі непарні числа - ні,
тому цілих чисел має бути більше ніж парних, чи не так?
Щоб зрозуміти, що мій учитель хотів сказати, спочатку поміркуймо, що таке дві множини одного розміру.
Що я маю на увазі, коли кажу, що у мене така ж кількість пальців на правій руці, як і на лівій?
Звичайно, у мене є п'ять пальців на кожній руці, але насправді все простіше.
Я не мушу рахувати, а тільки пересвідчитися, що я можу зіставити їх, один до одного.
Ми вважаємо, що деякі древні народи, які говорили мовами, котрі не мали слів для позначення
чисел, більших за три, використовували цей вид магії. Наприклад, якщо ви випустите овець на пашу,
ви можете відстежити, скільки овець вийшло, відкладаючи один камінь для кожної з них,
а потім покласти ці камені назад по одному, коли вівці повернуться,
щоб дізнатися, чи є відсутні, навіть не рахуючи.
Ще один приклад зіставлення, вагоміший за підрахунок:
якщо я говорю в переповненому залі, де кожне сидіння заняте, і ніхто не стоїть,
я знаю, що там є така ж кількість стільців, як і людей в аудиторії,
хоча я не знаю, скільки там людей чи крісел.
Отже, коли ми говоримо, що дві множини однакового розміру, ми маємо на увазі,
що елементи в цих множинах можна певним чином співставити.
Мій учитель виклав у ряд цілі числа, а під кожне з них - його подвійне значення.
Як бачите, нижній ряд містить усі парні числа - і все сходиться.
Тобто парних чисел існує стільки ж, як і звичайних.
Але нас турбує, що парні числа є лише частиною цілих чисел.
Та хіба це переконає вас, що я не мають однакової кількості пальців на правій та лівій руках?
Звичайно,ні. Навіть якщо ви спробуєте співставити елементи, і вам нічого не вийде,
вас це так легко не переконає.
Якщо ви зможете знайти чудовий спосіб, згідно з яким елементи двох множин збігатимуться,
тоді ми скажемо, що ці дві множини мають однакову кількість елементів.
Чи ви можете скласти список усіх можливих дробів? Це дуже важко, адже дробів чимало!
І не ясно, який дріб має йти першим. А як упевнитися, що всі дроби є в списку?
Однак існує дуже розумний спосіб, завдяки якому ми можемо скласти список усіх дробів.
Цей спосіб розробив Георг Кантор наприкінці 18 століття.
По-перше, ми формуємо із дробів сітку. Із усіх дробів. Наприклад, ви можете знайти 117/243,
у 117-му рядку та 223-му стовпці.
Ми складемо список, починаючи з верхнього лівого кута і повертаючись назад по діагоналі,
пропускаючи будь-які дроби, як-от 2/2, які представляють те ж саме число, котре ми вже вибрали.
Так ми отримали список усіх дробів, тобто співставили
цілі числа та дроби, хоча ми думали, що дробів має бути більше.
Гаразд, а зараз стане справді цікаво.
Ви мабуть знаєте, що не всі дійсні числа - тобто не всі числа на числовій вісі - є дроби.
Наприклад, квадратний корінь з двійки та числа пі.
Будь-яке число на кшталт цього називається ірраціональним. Не тому, що воно божевільне, а тому, що дроби
є коефіцієнтами цілих чисел, і їх називають раціональними числами; а всі інші числа - нераціональні, тобто ірраціональні.
Ірраціональні числа представлені нескінченними, неперіодичними десятковими числами.
Чи можна співставити цілі числа та множину усіх десяткових чисел,
і раціональних, і ірраціональних? Тобто чи можна скласти список усіх десяткових чисел?
Кантор довів, що не можна. Ми не тільки не знаємо як, а й узагалі не можемо цього зробити.
Припустимо, що ви стверджуєте, що ви склали список усіх десяткових чисел. Я доведу, що у вас нічого не вийшло:
я покажу вам десяткове число, яке не входить до вашого списку.
Я почну з одного десяткового розряду.
Для першого десяткового розряду мого числа я подивлюсь на перший десятковий розряд вашого першого числа.
Якщо це одиниця, я зроблю двійку; якщо ні - то одиницю.
Для другого десяткового розряду мого числа я подивлюсь на другий десятковий розряд вашого другого числа.
Знову ж таки, якщо у вас одиниця, в мене буде двійка, якщо ж ні, то одиниця.
Бачите, як це відбувається? Десяткове число, яке я утворив, не може бути в вашому списку.
Чому? Чи може це бути ваше 143-тє число? Ні, тому що 143 розряд мого десяткового числа
відрізняється від 143-го розряду вашого 143 числа. Я так це зробив.
Ваш список ще не завершений. Він не містить мого десяткового числа.
Хоч який список ви мені дасте, я утворю десяткове число, якого ще немає в цьому списку.
Так ми дійшли неймовірного висновку:
з десяткових чисел не можна укласти список. Вони утворюють більшу нескінченність, ніж цілі числа.
Тому хоча ми знайомі з кількома ірраціональними числами, як-от квадратним коренем двійки та числа пі,
нескінченність всіх iрраціональних чисел більша за нескінченність дробів.
Хтось сказав, що раціональні числа - дроби - це немов зірки в нічному небі;
а ірраціональні - немов темрява.
Кантор також пояснив, що у будь-якій нескінченній множині формування нової множини з підмножин початкової множини
представлятиме більшу нескінченність, ніж початкова множина. Це означає, що як тільки у вас з'явилась одна нескінченність,
ви завжди можете зробити більшу нескінченність, створивши множину з усіх підмножин першої множини. А потім ще більшу,
створивши множину з усіх підмножин тієї множини. І так далі.
Отож існує нескінченне число нескінченно великих чисел різних розмірів.
Якщо ця теорія збиває вас з пантелику, то ви не одні такі. Деякі найвидатніші математики часів Кантора
були дуже засмучені через це. Вони намагалися зробити різні нескінченні числа зайвими, щоб
математика могла обійтися без них.
Кантора за це обливали брудом, і він так цим перейнявся, що страждав від затяжної депресії
та не раз за останню половину свого життя потрапляв до божевільні.
Але врешті-решт його ідеї перемогли. Сьогодні їх вважають фундаментальними та величними.
Усі математики прийняли його ідеї, і тепер їх вивчає кожен студент математичного коледжу,
а я пояснив вам їх всього за декілька хвилин.
Коли-небудь, можливо, вони стануть загальними знаннями.
Але це ще не все. Ми тільки-що зазначили, що множина десяткових чисел - тобто дійсних чисел — це
нескінченність більша, ніж множина цілих чисел. Кандора цікавило, чи існують нескінченності
різних розмірів між цими двома нескінченностями . Він не думав, що це можливо, проте зміг це довести.
Гіпотеза Кандора відома під назвою континуум-гіпотези.
У 1900 знаний математик Девід Гілберт назвав континуум-гіпотезу найважливішою
нерозв'язаною задачею в математиці.
Розв'язок цієї задачі з'явився у 20 столітті, несподівано зруйнувавши усталену парадигму.
У 1920 році Курт Ґодел заявив, що неможливо довести, що гіпотеза-континуум хибна.
У 1960-х роках Пол Джей Коген стверджував, що неможливо довести те, що гіпотеза-континуум правдива.
А це свідчить про те, що в математиці все-таки існують питання, на які неможливо дати відповідь.
Дуже приголомшливий висновок.
Математику справедливо вважають вершиною людської думки,
але тепер ми знаємо, що навіть математика має певні обмеження.
Та все ж, математика складається з воістино дивовижних речей, над якими варто задуматись.