WEBVTT

00:00:14.023 --> 00:00:16.382
Одного разу, коли я був у четвертому класі, мій вчитель сказав нам:

00:00:16.382 --> 00:00:19.299
"Парних чисел існує стільки ж, як і звичайних".

00:00:19.299 --> 00:00:25.264
"Справді?" - подумав я. Ну, так, справді, існує безмежна кількість як і парних чисел, так і звичайних, тому я припускаю, що їхня кількість однакова.

00:00:25.264 --> 00:00:30.315
Проте парні числа входять до цілих чисел, а усі непарні числа - ні,

00:00:30.315 --> 00:00:33.082
тому цілих чисел має бути більше ніж парних, чи не так?

00:00:33.082 --> 00:00:38.732
Щоб зрозуміти, що мій учитель хотів сказати, спочатку поміркуймо, що таке дві множини одного розміру.

00:00:38.732 --> 00:00:44.298
Що я маю на увазі, коли кажу, що у мене така ж кількість пальців на правій руці, як і на лівій?

00:00:44.298 --> 00:00:47.881
Звичайно, у мене є п'ять пальців на кожній руці, але насправді все простіше.

00:00:47.881 --> 00:00:52.514
Я не мушу рахувати, а тільки пересвідчитися, що я можу зіставити їх, один до одного.

00:00:52.514 --> 00:00:56.265
Ми вважаємо, що деякі древні народи, які говорили мовами, котрі не мали слів для позначення

00:00:56.265 --> 00:01:02.264
чисел, більших за три, використовували цей вид магії. Наприклад, якщо ви випустите овець на пашу,

00:01:02.264 --> 00:01:05.782
ви можете відстежити, скільки овець вийшло, відкладаючи один камінь для кожної з них,

00:01:05.782 --> 00:01:09.116
а потім покласти ці камені назад по одному, коли вівці повернуться,

00:01:09.116 --> 00:01:11.933
щоб дізнатися, чи є відсутні, навіть не рахуючи.

00:01:11.933 --> 00:01:15.165
Ще один приклад зіставлення, вагоміший за підрахунок:

00:01:15.165 --> 00:01:19.665
якщо я говорю в переповненому залі, де кожне сидіння заняте, і ніхто не стоїть,

00:01:19.665 --> 00:01:23.199
я знаю, що там є така ж кількість стільців, як і людей в аудиторії,

00:01:23.199 --> 00:01:25.725
хоча я не знаю, скільки там людей чи крісел.

00:01:25.756 --> 00:01:28.440
Отже, коли ми говоримо, що дві множини однакового розміру, ми маємо на увазі,

00:01:28.440 --> 00:01:32.578
що елементи в цих множинах можна певним чином співставити.

00:01:32.578 --> 00:01:37.544
Мій учитель виклав у ряд цілі числа, а під кожне з них - його подвійне значення.

00:01:37.544 --> 00:01:42.481
Як бачите, нижній ряд містить усі парні числа - і все сходиться.

00:01:42.481 --> 00:01:45.341
Тобто парних чисел існує стільки ж, як і звичайних.

00:01:45.341 --> 00:01:50.791
Але нас турбує, що парні числа є лише частиною цілих чисел.

00:01:50.791 --> 00:01:56.474
Та хіба це переконає вас, що я не мають однакової кількості пальців на правій та лівій руках?

00:01:56.474 --> 00:02:00.666
Звичайно,ні. Навіть якщо ви спробуєте співставити елементи, і вам нічого не вийде,

00:02:00.666 --> 00:02:02.565
вас це так легко не переконає.

00:02:02.565 --> 00:02:06.317
Якщо ви зможете знайти чудовий спосіб, згідно з яким елементи двох множин збігатимуться,

00:02:06.317 --> 00:02:09.864
тоді ми скажемо, що ці дві множини мають однакову кількість елементів.

00:02:10.049 --> 00:02:14.787
Чи ви можете скласти список усіх можливих дробів? Це дуже важко, адже дробів чимало!

00:02:14.787 --> 00:02:18.954
І не ясно, який дріб має йти першим. А як упевнитися, що всі дроби є в списку?

00:02:18.954 --> 00:02:23.988
Однак існує дуже розумний спосіб, завдяки якому ми можемо скласти список усіх дробів.

00:02:23.988 --> 00:02:27.786
Цей спосіб розробив Георг Кантор наприкінці 18 століття.

00:02:27.786 --> 00:02:35.805
По-перше, ми формуємо із дробів сітку. Із усіх дробів. Наприклад, ви можете знайти 117/243,

00:02:35.805 --> 00:02:39.020
у 117-му рядку та 223-му стовпці.

00:02:39.020 --> 00:02:44.287
Ми складемо список, починаючи з верхнього лівого кута і повертаючись назад по діагоналі,

00:02:44.287 --> 00:02:49.270
пропускаючи будь-які дроби, як-от 2/2, які представляють те ж саме число, котре ми вже вибрали.

00:02:49.270 --> 00:02:53.320
Так ми отримали список усіх дробів, тобто співставили

00:02:53.320 --> 00:02:58.369
цілі числа та дроби, хоча ми думали, що дробів має бути більше.

00:02:58.369 --> 00:03:00.870
Гаразд, а зараз стане справді цікаво.

00:03:00.870 --> 00:03:06.263
Ви мабуть знаєте, що не всі дійсні числа - тобто не всі числа на числовій вісі - є дроби.

00:03:06.263 --> 00:03:08.586
Наприклад, квадратний корінь з двійки та числа пі.

00:03:08.586 --> 00:03:14.620
Будь-яке число на кшталт цього називається ірраціональним. Не тому, що воно божевільне, а тому, що дроби

00:03:14.620 --> 00:03:20.852
є коефіцієнтами цілих чисел, і їх називають раціональними числами; а всі інші числа - нераціональні, тобто ірраціональні.

00:03:20.852 --> 00:03:24.718
Ірраціональні числа представлені нескінченними, неперіодичними десятковими числами.

00:03:24.718 --> 00:03:29.386
Чи можна співставити цілі числа та множину усіх десяткових чисел,

00:03:29.386 --> 00:03:33.903
і раціональних, і ірраціональних? Тобто чи можна скласти список усіх десяткових чисел?

00:03:33.903 --> 00:03:39.352
Кантор довів, що не можна. Ми не тільки не знаємо як, а й узагалі не можемо цього зробити.

00:03:39.352 --> 00:03:46.166
Припустимо, що ви стверджуєте, що ви склали список усіх десяткових чисел. Я доведу, що у вас нічого не вийшло:

00:03:46.166 --> 00:03:48.220
я покажу вам десяткове число, яке не входить до вашого списку.

00:03:48.220 --> 00:03:50.819
Я почну з одного десяткового розряду.

00:03:50.819 --> 00:03:55.436
Для першого десяткового розряду мого числа я подивлюсь на перший десятковий розряд вашого першого числа.

00:03:55.436 --> 00:04:00.302
Якщо це одиниця, я зроблю двійку; якщо ні - то одиницю.

00:04:00.302 --> 00:04:04.569
Для другого десяткового розряду мого числа я подивлюсь на другий десятковий розряд вашого другого числа.

00:04:04.569 --> 00:04:09.186
Знову ж таки, якщо у вас одиниця, в мене буде двійка, якщо ж ні, то одиниця.

00:04:09.186 --> 00:04:13.585
Бачите, як це відбувається? Десяткове число, яке я утворив, не може бути в вашому списку.

00:04:13.585 --> 00:04:20.737
Чому? Чи може це бути ваше 143-тє число? Ні, тому що 143 розряд мого десяткового числа

00:04:20.737 --> 00:04:25.336
відрізняється від 143-го розряду вашого 143 числа. Я так це зробив.

00:04:25.336 --> 00:04:29.220
Ваш список ще не завершений. Він не містить мого десяткового числа.

00:04:29.220 --> 00:04:34.386
Хоч який список ви мені дасте, я утворю десяткове число, якого ще немає в цьому списку.

00:04:34.386 --> 00:04:37.219
Так ми дійшли неймовірного висновку:

00:04:37.219 --> 00:04:43.286
з десяткових чисел не можна укласти список. Вони утворюють більшу нескінченність, ніж цілі числа.

00:04:43.286 --> 00:04:48.641
Тому хоча ми знайомі з кількома ірраціональними числами, як-от квадратним коренем двійки та числа пі,

00:04:48.641 --> 00:04:52.176
нескінченність всіх iрраціональних чисел більша за нескінченність дробів.

00:04:52.176 --> 00:04:57.359
Хтось сказав, що раціональні числа - дроби - це немов зірки в нічному небі;

00:04:57.359 --> 00:05:01.143
а ірраціональні - немов темрява.

00:05:01.143 --> 00:05:06.943
Кантор також пояснив, що у будь-якій нескінченній множині формування нової множини з підмножин початкової множини

00:05:06.943 --> 00:05:12.144
представлятиме більшу нескінченність, ніж початкова множина. Це означає, що як тільки у вас з'явилась одна нескінченність,

00:05:12.144 --> 00:05:18.276
ви завжди можете зробити більшу нескінченність, створивши множину з усіх підмножин першої множини. А потім ще більшу,

00:05:18.276 --> 00:05:21.609
створивши множину з усіх підмножин тієї множини. І так далі.

00:05:21.609 --> 00:05:25.625
Отож існує нескінченне число нескінченно великих чисел різних розмірів.

00:05:25.625 --> 00:05:31.092
Якщо ця теорія збиває вас з пантелику, то ви не одні такі. Деякі найвидатніші математики часів Кантора

00:05:31.092 --> 00:05:35.425
були дуже засмучені через це. Вони намагалися зробити різні нескінченні числа зайвими, щоб

00:05:35.425 --> 00:05:37.860
математика могла обійтися без них.

00:05:37.860 --> 00:05:42.443
Кантора за це обливали брудом, і він так цим перейнявся, що страждав від затяжної депресії

00:05:42.443 --> 00:05:45.910
та не раз за останню половину свого життя потрапляв до божевільні.

00:05:45.910 --> 00:05:51.492
Але врешті-решт його ідеї перемогли. Сьогодні їх вважають фундаментальними та величними.

00:05:51.492 --> 00:05:55.740
Усі математики прийняли його ідеї, і тепер їх вивчає кожен студент математичного коледжу,

00:05:55.740 --> 00:05:58.143
а я пояснив вам їх всього за декілька хвилин.

00:05:58.143 --> 00:06:00.926
Коли-небудь, можливо, вони стануть загальними знаннями.

00:06:00.926 --> 00:06:06.006
Але це ще не все. Ми тільки-що зазначили, що множина десяткових чисел - тобто дійсних чисел — це

00:06:06.006 --> 00:06:09.660
нескінченність більша, ніж множина цілих чисел. Кандора цікавило, чи існують нескінченності

00:06:09.660 --> 00:06:14.125
різних розмірів між цими двома нескінченностями . Він не думав, що це можливо, проте зміг це довести.

00:06:14.125 --> 00:06:18.275
Гіпотеза Кандора відома під назвою континуум-гіпотези.

00:06:18.275 --> 00:06:23.959
У 1900 знаний математик Девід Гілберт назвав континуум-гіпотезу найважливішою

00:06:23.959 --> 00:06:26.441
нерозв'язаною задачею в математиці.

00:06:26.441 --> 00:06:32.260
Розв'язок цієї задачі з'явився у 20 столітті, несподівано зруйнувавши усталену парадигму.

00:06:32.260 --> 00:06:37.892
У 1920 році Курт Ґодел заявив, що неможливо довести, що гіпотеза-континуум хибна.

00:06:37.892 --> 00:06:43.476
У 1960-х роках Пол Джей Коген стверджував, що неможливо довести те, що гіпотеза-континуум правдива.

00:06:43.476 --> 00:06:48.425
А це свідчить про те, що в математиці все-таки існують питання, на які неможливо дати відповідь.

00:06:48.425 --> 00:06:50.310
Дуже приголомшливий висновок.

00:06:50.310 --> 00:06:53.459
Математику справедливо вважають вершиною людської думки,

00:06:53.459 --> 00:06:56.592
але тепер ми знаємо, що навіть математика має певні обмеження.

00:06:56.592 --> 00:07:00.809
Та все ж, математика складається з воістино дивовижних речей, над якими варто задуматись.