Насколько велика бесконечность?
-
0:14 - 0:17Когда я был в четвёртом классе,
мой учитель как-то сказал: -
0:17 - 0:20«Чётных чисел существует
столько же, сколько и всех чисел». -
0:20 - 0:21«Правда?» — подумал я.
-
0:21 - 0:23Ну да, и тех, и других бесконечно много,
-
0:23 - 0:26поэтому полагаю,
что их одинаковое число. -
0:26 - 0:29Но чётные числа —
всего лишь часть всех целых чисел, -
0:29 - 0:31не содержащая нечётных чисел,
-
0:31 - 0:34то есть целых чисел
должно быть больше, чем чётных? -
0:34 - 0:36Чтобы понять,
что имел в виду мой учитель, -
0:36 - 0:39давайте задумаемся над тем,
что означает равенство двух множеств. -
0:39 - 0:42Что я подразумеваю, когда говорю,
что у меня равное число пальцев -
0:42 - 0:44как на правой, так и на левой руке?
-
0:44 - 0:48Конечно, на каждой руке
у меня по пять пальцев, но всё ещё проще. -
0:48 - 0:52Считать мне не надо,
мне лишь требуется соединить обе руки. -
0:53 - 0:55В древности,
когда люди говорили на языках, -
0:55 - 0:58в которых не было слов
для чисел больше чем 3, -
0:58 - 1:00им приходилось
проделывать схожие трюки. -
1:00 - 1:03Например, когда выгоняешь
овец из загона на пастбище, -
1:03 - 1:06можно сосчитать, сколько овец
ушло пастись, отложив по камню на овцу. -
1:06 - 1:09Когда oвцы вернутся, то камни
можно будет опять положить на место -
1:09 - 1:12и узнать таким образом,
все ли овцы на месте, даже не считая их. -
1:12 - 1:15Ещё один пример сравнения
более действенного, чем подсчёт: -
1:15 - 1:17если я выступаю в аудитории,
-
1:17 - 1:20где свободных мест нет
и никто из слушателей не слушает стоя, -
1:20 - 1:23я знаю, что там то же
количество стульев, что и людей, -
1:23 - 1:26хотя мне даже не надо считать
ни стулья, ни присутствующих. -
1:26 - 1:29Таким образом, когда мы говорим,
что два множества равны, это означает, -
1:29 - 1:32что количество элементов в этих множествах
-
1:32 - 1:33можно сопоставить друг с другом.
-
1:33 - 1:35В 4-ом классе учитель
продемонстрировал это, -
1:35 - 1:38выписав все целые числа в ряд,
а под ними — их удвоенные значения. -
1:38 - 1:41Теперь видно,
что в нижнем ряду все числа чётные, -
1:41 - 1:42а мы сопоставляли один к одному.
-
1:42 - 1:45То есть чётных чисел столько же,
сколько и всех чисел. -
1:45 - 1:48Но нам по-прежнему не даёт покоя тот факт,
-
1:48 - 1:51что чётные числа
являются лишь частью всех чисел. -
1:51 - 1:53Но поверите ли вы в то,
-
1:53 - 1:55что у меня не столько же пальцев
-
1:55 - 1:57на правой, сколько на левой руке?
-
1:57 - 1:58Конечно, нет.
-
1:58 - 2:00Неважно, что у вас не получится
-
2:00 - 2:02как-то сопоставить элементы,
-
2:02 - 2:04это всё равно ничего нам не докажет.
-
2:04 - 2:05А если у вас получится
-
2:05 - 2:07каким-то образом сопоставить
две группы предметов, -
2:07 - 2:10тогда говорят, что в обеих группах
равное число предметов. -
2:10 - 2:12Вы можете составить список всех дробей?
-
2:13 - 2:15Это нелегко,
ведь дробей существует множество! -
2:15 - 2:17И непонятно, что записать вначале
-
2:17 - 2:19и как сделать так,
чтобы все они попали в список. -
2:19 - 2:22Однако существует очень умный способ
-
2:22 - 2:24сделать список всех дробей.
-
2:24 - 2:28Впервые в конце XIX века
это проделал Георг Кантор. -
2:28 - 2:31Вначале все дроби записываются в таблицу.
-
2:31 - 2:32Вот они все.
-
2:32 - 2:36Например, скажем, 117/243
-
2:36 - 2:39пишем в 117-й ряд 223-й колонки.
-
2:39 - 2:41А теперь составим из них список,
-
2:41 - 2:44начав с верхнего левого угла
и двигаясь вверх-вниз по диагонали, -
2:44 - 2:47пропуская такие дроби, как 2/2,
-
2:47 - 2:50равные числам, которые мы уже выбрали.
-
2:50 - 2:52Мы получили список всех дробей,
-
2:52 - 2:54что означает, что у нас в списке
-
2:54 - 2:56каждому целому числу соответствует дробь,
-
2:56 - 2:59несмотря на то, что нам казалось,
что дробей будет больше. -
2:59 - 3:01Вот сейчас будет интересно.
-
3:01 - 3:04Вы наверняка знаете,
что не все действительные числа — -
3:04 - 3:06то есть числа на числовой оси — дроби.
-
3:07 - 3:09Квадратный корень 2
или число Пи, например. -
3:09 - 3:11Каждое подобное число
называется иррациональным. -
3:11 - 3:13Не в смысле «безумное»
или нечто подобное, -
3:13 - 3:16а из-за того, что дроби —
это соотношения целых чисел, -
3:16 - 3:18называемых рациональными,
-
3:18 - 3:21что означает, что остальные
являются нерациональными. -
3:21 - 3:25Иррациональные числа —
это бесконечные десятичные дроби. -
3:25 - 3:27Что ж, можно ли сопоставить
-
3:27 - 3:30целые числа множеству
всех десятичных дробей, -
3:30 - 3:32как рациональных, так и иррациональных?
-
3:32 - 3:35То есть можно ли составить
список всех десятичных чисел? -
3:35 - 3:36Кантор доказал, что нельзя.
-
3:36 - 3:40Не потому, что мы не знаем как,
а потому, что это невозможно. -
3:40 - 3:41Допустим, вы утверждаете,
-
3:41 - 3:44будто составили последовательность
всех десятичных дробей. -
3:44 - 3:46А я докажу вам, что у вас ничего не вышло:
-
3:46 - 3:48я придумаю десятичную дробь,
-
3:48 - 3:50которой в вашей
последовательности не будет. -
3:50 - 3:53В своей десятичной дроби
я буду заменять по очереди один знак. -
3:53 - 3:54Для первого знака моего числа
-
3:54 - 3:56я посмотрю на первый знак
вашего первого числа. -
3:56 - 3:59Если это единица,
у себя я поставлю двойку, -
3:59 - 4:00иначе я ставлю единицу.
-
4:00 - 4:03Для второго разряда моего числа
-
4:03 - 4:05я посмотрю на второе место
вашего второго числа. -
4:05 - 4:08Снова: если у вас единица,
у меня будет двойка, -
4:08 - 4:10иначе я поставлю единицу.
-
4:10 - 4:11Понятно, как я это делаю?
-
4:11 - 4:15Десятичная дробь, которую я создал,
не может оказаться в вашем списке. -
4:15 - 4:18Почему? Что, если она окажется,
например, вашим 143-им числом? -
4:18 - 4:21Нет, потому что на 143-ем месте моей дроби
-
4:21 - 4:24будет число, отличное
от 143-его места вашей 143-й дроби. -
4:24 - 4:26Я выиграл.
-
4:26 - 4:27Ваш список не полон.
-
4:27 - 4:29В нём нет моего десятичного числа.
-
4:30 - 4:32И какое бы число вы ни предложили,
я могу сделать так же -
4:32 - 4:35и придумать числительное,
которого нет в вашем списке. -
4:35 - 4:37Так мы пришли к такому
поразительному выводу: -
4:37 - 4:40невозможно составить
полный список десятичных дробей. -
4:40 - 4:44Они составляют бо́льшую бесконечность,
нежели бесконечность целых чисел. -
4:44 - 4:47Поэтому даже если мы и знаем
всего несколько иррациональных чисел, -
4:47 - 4:49таких как квадратный корень 2 и число Пи,
-
4:49 - 4:51бесконечность иррациональных чисел
-
4:51 - 4:53в самом деле больше
бесконечности дробей. -
4:53 - 4:55Кто-то однажды сказал,
что рациональные числа — -
4:55 - 4:58дроби — как звёзды на ночном небе.
-
4:58 - 5:01А иррациональные числа —
это как темнота вокруг них. -
5:01 - 5:04Кантор также доказал,
что для любого бесконечного множества -
5:04 - 5:08можно создать новое множество
из подмножеств изначального множества, -
5:08 - 5:10представляющее собой
ещё бóльшую бесконечность. -
5:10 - 5:13Это означает,
что, будь у вас бесконечность, -
5:13 - 5:14всегда можно получить ещё бóльшую,
-
5:14 - 5:17создав множество из всех подмножеств
изначального множества. -
5:17 - 5:18А затем ещё бóльшую,
-
5:18 - 5:21создав множество
из всех подмножеств вашего множества. -
5:21 - 5:22И так далее.
-
5:22 - 5:26Таким образом существует бесконечное
число бесконечностей разного размера. -
5:26 - 5:29Если вас это не радует,
то вы не один такой. -
5:29 - 5:32Великих математиков-современников Кантора
-
5:32 - 5:33ужасно расстраивало
такое положение дел. -
5:33 - 5:36Они пытались сделать
бесконечности несущественными, -
5:36 - 5:38чтобы математика
как-то обходилась без них. -
5:38 - 5:41Даже самого Кантора
подвергли очень жёсткой критике, -
5:41 - 5:44что очень подорвало его здоровье,
он впал в глубочайшую депрессию -
5:44 - 5:47и вторую половину жизни
часто лечился в психиатрических клиниках. -
5:47 - 5:49Но в итоге его идеи победили.
-
5:49 - 5:52Сегодня его взгляды считаются
фундаментальными и важными. -
5:52 - 5:54Их полностью разделяют учёные-математики,
-
5:54 - 5:56студенты-математики изучают его труды,
-
5:56 - 5:58а я только что объяснил
вам их за пару минут. -
5:58 - 6:01Возможно, когда-нибудь
его идеи станут известны каждому. -
6:01 - 6:02Более того!
-
6:02 - 6:05Мы только что упомянули,
что множество десятичных дробей, -
6:05 - 6:08то есть действительных чисел,
является бо́льшей бесконечностью, -
6:08 - 6:09чем множество целых чисел.
-
6:09 - 6:11Кантора интересовало,
существуют ли бесконечности -
6:11 - 6:14других размеров
между двумя этими бесконечностями. -
6:14 - 6:16Он думал, что нет, но не мог это доказать.
-
6:16 - 6:19Предположение Кантора стало известным
под названием континуум-гипотеза. -
6:19 - 6:22В 1900 г. великий математик Давид Гильберт
-
6:22 - 6:24назвал континуум-гипотезу
-
6:24 - 6:27самой важной
нерешённой проблемой математики. -
6:27 - 6:29Решение данной проблемы
было найдено в XX веке, -
6:29 - 6:32однако оно заставило полностью
пересмотреть научную парадигму. -
6:32 - 6:35В 1920-е годы,
Курт Гёдель продемонстрировал, -
6:35 - 6:38что никогда не удастся
опровергнуть континуум-гипотезу. -
6:38 - 6:41Затем, в 1960-е годы,
Поль Коэн также продемонстрировал, -
6:41 - 6:44что континуум-гипотезу
никогда не удастся доказать. -
6:44 - 6:46А соединив оба этих результата,
-
6:46 - 6:49приходим к выводу, что в математике
есть неразрешимые вопросы. -
6:49 - 6:51Весьма неожиданное умозаключение.
-
6:51 - 6:54Математика по праву считается
апофеозом человеческой мысли, -
6:54 - 6:57но теперь мы знаем, что даже у математики
есть свои пределы. -
6:57 - 7:01Но у математики есть для нас и весьма
интересные идеи для размышления.
- Title:
- Насколько велика бесконечность?
- Speaker:
- Dennis Wildfogel
- Description:
-
Урок целиком: http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity
Применяя фундаментальные положения теории множества, откройте для себя завораживающее понятие «бесконечности бесконечностей», а также то, как математики сделали вывод о наличии неразрешимых проблем в самой математической науке.
Урок: Деннис Вильдфогель, анимация: Augenblick Studios.
- Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 07:13
Retired user approved Russian subtitles for How big is infinity? | ||
Retired user edited Russian subtitles for How big is infinity? | ||
Retired user edited Russian subtitles for How big is infinity? | ||
Retired user edited Russian subtitles for How big is infinity? | ||
Retired user edited Russian subtitles for How big is infinity? | ||
Retired user edited Russian subtitles for How big is infinity? | ||
Retired user edited Russian subtitles for How big is infinity? | ||
Retired user edited Russian subtitles for How big is infinity? |