Когда я был в четвёртом классе, мой учитель как-то сказал:
«Чётных чисел существует столько же, сколько и всех чисел».
«Правда?» — подумал я.
Ну да, и тех, и других бесконечно много,
поэтому полагаю, что их одинаковое число.
Но чётные числа — всего лишь часть всех целых чисел,
не содержащая нечётных чисел,
то есть целых чисел должно быть больше, чем чётных?
Чтобы понять, что имел в виду мой учитель,
давайте задумаемся над тем, что означает равенство двух множеств.
Что я подразумеваю, когда говорю, что у меня равное число пальцев
как на правой, так и на левой руке?
Конечно, на каждой руке у меня по пять пальцев, но всё ещё проще.
Считать мне не надо, мне лишь требуется соединить обе руки.
В древности, когда люди говорили на языках,
в которых не было слов для чисел больше чем 3,
им приходилось проделывать схожие трюки.
Например, когда выгоняешь овец из загона на пастбище,
можно сосчитать, сколько овец ушло пастись, отложив по камню на овцу.
Когда oвцы вернутся, то камни можно будет опять положить на место
и узнать таким образом, все ли овцы на месте, даже не считая их.
Ещё один пример сравнения более действенного, чем подсчёт:
если я выступаю в аудитории,
где свободных мест нет и никто из слушателей не слушает стоя,
я знаю, что там то же количество стульев, что и людей,
хотя мне даже не надо считать ни стулья, ни присутствующих.
Таким образом, когда мы говорим, что два множества равны, это означает,
что количество элементов в этих множествах
можно сопоставить друг с другом.
В 4-ом классе учитель продемонстрировал это,
выписав все целые числа в ряд, а под ними — их удвоенные значения.
Теперь видно, что в нижнем ряду все числа чётные,
а мы сопоставляли один к одному.
То есть чётных чисел столько же, сколько и всех чисел.
Но нам по-прежнему не даёт покоя тот факт,
что чётные числа являются лишь частью всех чисел.
Но поверите ли вы в то,
что у меня не столько же пальцев
на правой, сколько на левой руке?
Конечно, нет.
Неважно, что у вас не получится
как-то сопоставить элементы,
это всё равно ничего нам не докажет.
А если у вас получится
каким-то образом сопоставить две группы предметов,
тогда говорят, что в обеих группах равное число предметов.
Вы можете составить список всех дробей?
Это нелегко, ведь дробей существует множество!
И непонятно, что записать вначале
и как сделать так, чтобы все они попали в список.
Однако существует очень умный способ
сделать список всех дробей.
Впервые в конце XIX века это проделал Георг Кантор.
Вначале все дроби записываются в таблицу.
Вот они все.
Например, скажем, 117/243
пишем в 117-й ряд 223-й колонки.
А теперь составим из них список,
начав с верхнего левого угла и двигаясь вверх-вниз по диагонали,
пропуская такие дроби, как 2/2,
равные числам, которые мы уже выбрали.
Мы получили список всех дробей,
что означает, что у нас в списке
каждому целому числу соответствует дробь,
несмотря на то, что нам казалось, что дробей будет больше.
Вот сейчас будет интересно.
Вы наверняка знаете, что не все действительные числа —
то есть числа на числовой оси — дроби.
Квадратный корень 2 или число Пи, например.
Каждое подобное число называется иррациональным.
Не в смысле «безумное» или нечто подобное,
а из-за того, что дроби — это соотношения целых чисел,
называемых рациональными,
что означает, что остальные являются нерациональными.
Иррациональные числа — это бесконечные десятичные дроби.
Что ж, можно ли сопоставить
целые числа множеству всех десятичных дробей,
как рациональных, так и иррациональных?
То есть можно ли составить список всех десятичных чисел?
Кантор доказал, что нельзя.
Не потому, что мы не знаем как, а потому, что это невозможно.
Допустим, вы утверждаете,
будто составили последовательность всех десятичных дробей.
А я докажу вам, что у вас ничего не вышло:
я придумаю десятичную дробь,
которой в вашей последовательности не будет.
В своей десятичной дроби я буду заменять по очереди один знак.
Для первого знака моего числа
я посмотрю на первый знак вашего первого числа.
Если это единица, у себя я поставлю двойку,
иначе я ставлю единицу.
Для второго разряда моего числа
я посмотрю на второе место вашего второго числа.
Снова: если у вас единица, у меня будет двойка,
иначе я поставлю единицу.
Понятно, как я это делаю?
Десятичная дробь, которую я создал, не может оказаться в вашем списке.
Почему? Что, если она окажется, например, вашим 143-им числом?
Нет, потому что на 143-ем месте моей дроби
будет число, отличное от 143-его места вашей 143-й дроби.
Я выиграл.
Ваш список не полон.
В нём нет моего десятичного числа.
И какое бы число вы ни предложили, я могу сделать так же
и придумать числительное, которого нет в вашем списке.
Так мы пришли к такому поразительному выводу:
невозможно составить полный список десятичных дробей.
Они составляют бо́льшую бесконечность, нежели бесконечность целых чисел.
Поэтому даже если мы и знаем всего несколько иррациональных чисел,
таких как квадратный корень 2 и число Пи,
бесконечность иррациональных чисел
в самом деле больше бесконечности дробей.
Кто-то однажды сказал, что рациональные числа —
дроби — как звёзды на ночном небе.
А иррациональные числа — это как темнота вокруг них.
Кантор также доказал, что для любого бесконечного множества
можно создать новое множество из подмножеств изначального множества,
представляющее собой ещё бóльшую бесконечность.
Это означает, что, будь у вас бесконечность,
всегда можно получить ещё бóльшую,
создав множество из всех подмножеств изначального множества.
А затем ещё бóльшую,
создав множество из всех подмножеств вашего множества.
И так далее.
Таким образом существует бесконечное число бесконечностей разного размера.
Если вас это не радует, то вы не один такой.
Великих математиков-современников Кантора
ужасно расстраивало такое положение дел.
Они пытались сделать бесконечности несущественными,
чтобы математика как-то обходилась без них.
Даже самого Кантора подвергли очень жёсткой критике,
что очень подорвало его здоровье, он впал в глубочайшую депрессию
и вторую половину жизни часто лечился в психиатрических клиниках.
Но в итоге его идеи победили.
Сегодня его взгляды считаются фундаментальными и важными.
Их полностью разделяют учёные-математики,
студенты-математики изучают его труды,
а я только что объяснил вам их за пару минут.
Возможно, когда-нибудь его идеи станут известны каждому.
Более того!
Мы только что упомянули, что множество десятичных дробей,
то есть действительных чисел, является бо́льшей бесконечностью,
чем множество целых чисел.
Кантора интересовало, существуют ли бесконечности
других размеров между двумя этими бесконечностями.
Он думал, что нет, но не мог это доказать.
Предположение Кантора стало известным под названием континуум-гипотеза.
В 1900 г. великий математик Давид Гильберт
назвал континуум-гипотезу
самой важной нерешённой проблемой математики.
Решение данной проблемы было найдено в XX веке,
однако оно заставило полностью пересмотреть научную парадигму.
В 1920-е годы, Курт Гёдель продемонстрировал,
что никогда не удастся опровергнуть континуум-гипотезу.
Затем, в 1960-е годы, Поль Коэн также продемонстрировал,
что континуум-гипотезу никогда не удастся доказать.
А соединив оба этих результата,
приходим к выводу, что в математике есть неразрешимые вопросы.
Весьма неожиданное умозаключение.
Математика по праву считается апофеозом человеческой мысли,
но теперь мы знаем, что даже у математики есть свои пределы.
Но у математики есть для нас и весьма интересные идеи для размышления.