¿Cómo de infinito es el infinito?
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0:14 - 0:16Cuando estaba en cuarto de primaria, mi maestro nos dijo un día:
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0:16 - 0:19"Hay tantos números pares como números.
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0:19 - 0:25"¿De verdad?", me dije. Pues sí, hay infinitos en cada caso, así que supongo que habrá una misma cantidad de ambos.
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0:25 - 0:30Pero, por otra parte, los pares son sólo parte de los números enteros; también están los impares,
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0:30 - 0:33así que tiene que haber más números enteros que pares, ¿no?
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0:33 - 0:39Para ver lo que mi maestro quería decir, pensemos primero en lo que significa que dos conjuntos tengan el mismo tamaño.
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0:39 - 0:44¿Qué quiero decir cuando afirmo que tengo el mismo número de dedos en mi mano derecha que en la izquierda?
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0:44 - 0:48Está claro que tengo cinco dedos en cada una, pero la cosa es aún más sencilla.
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0:48 - 0:53No tengo que contar, me basta con establecer una correspondencia uno a uno entre los dedos de ambas manos.
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0:53 - 0:56De hecho, creemos que algunos pueblos antiguos que hablaban idiomas que carecían de palabras
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0:56 - 1:02para números mayores de tres usaban este tipo de recurso. Por ejemplo, si sacas las ovejas a pastar desde el redil,
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1:02 - 1:06puedes llevar la cuenta de cuántas salieron apartando una piedra por cada una de ellas
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1:06 - 1:09y volviéndolas a juntar una a una cuando las ovejas vuelven.
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1:09 - 1:12Así sabrías si falta alguna sin tener realmente que contar.
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1:12 - 1:15Otro ejemplo de que las correspondencias son más básicas que contar es el siguiente:
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1:15 - 1:20si hablo ante un auditorio lleno a rebosar, en el que todos los asientos están ocupados y nadie está de pie,
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1:20 - 1:23sé que hay el mismo número de sillas que de personas en el público,
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1:23 - 1:26aunque no sepa cuántas hay de unas ni de otras.
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1:26 - 1:28Así que, lo que realmente queremos decir cuando afirmamos que dos conjuntos tienen el mismo tamaño
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1:28 - 1:33es que entre los elementos de ambos conjuntos se puede establecer alguna correspondencia uno a uno.
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1:33 - 1:38Mi maestro de cuarto nos mostró los números enteros en fila, y debajo de cada uno de ellos su doble.
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1:38 - 1:42Como pueden ver, la fila de abajo contiene todos los números pares, y tenemos una correspondencia uno a uno.
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1:42 - 1:45Así que hay tantos números pares como números.
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1:45 - 1:51Pero lo que aún nos incomoda es que parece que los números pares son solo una parte de todos los enteros.
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1:51 - 1:56Pero, ¿convence esto de que no tengo los mismos dedos en la mano derecha y en la izquierda?
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1:56 - 2:01Por supuesto que no. No importa si uno intenta establecer la correspondencia de alguna manera que no sea válida,
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2:01 - 2:03eso no nos convence de nada.
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2:03 - 2:06Si uno encuentra una manera de que los elementos de ambos conjuntos se correspondan entre sí uno a uno,
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2:06 - 2:10entonces decimos que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos.
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2:10 - 2:15¿Pueden hacer una lista de todas las fracciones? Puede que sea difícil, ¡son muchas!
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2:15 - 2:19Y no es nada evidente por cuál empezar, o cómo asegurarnos de que en la lista están todas.
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2:19 - 2:24Sin embargo, existe una manera muy inteligente de construir la lista de todas las fracciones.
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2:24 - 2:28El primero en hacerla fue Georg Cantor, a finales del siglo XIX.
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2:28 - 2:36Primero, ponemos todas las fracciones en una cuadrícula. Están todas. Por ejemplo, encontramos 117/243
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2:36 - 2:39en la fila 117ª y la columna 223ª.
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2:39 - 2:44Ahora creamos la lista empezando por la esquina superior izquierda y recorriéndola diagonalmente una y otra vez,
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2:44 - 2:49saltándonos todas las fracciones, como 2/2, que representan números que ya hemos seleccionado.
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2:49 - 2:53Tenemos así una lista de todas las fracciones, lo que significa que hemos creado una correspondencia uno a uno
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2:53 - 2:58entre los enteros y las fracciones, a pesar de que pensábamos que quizá habría más fracciones.
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2:58 - 3:01Ahora es cuando la cosa se pone realmente interesante.
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3:01 - 3:06Puede que sepan que no todos los números reales —todos los que figuran en la recta numérica— son fracciones.
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3:06 - 3:09Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos o pi.
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3:09 - 3:15Los números como estos se llaman irracionales. No porque estén locos, sino porque las fracciones son
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3:15 - 3:21razones entre números enteros, y por tanto se llaman racionales. Lo que significa que el resto son no racionales, es decir, irracionales.
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3:21 - 3:25Los irracionales se representan mediante un número infinito de decimales que no se repiten.
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3:25 - 3:29¿Podemos establecer una correspondencia uno a uno entre los enteros y el conjunto de todos los decimales,
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3:29 - 3:34racionales e irracionales incluidos? Es decir, ¿podemos hacer una lista de todos los números decimales?
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3:34 - 3:39Cantor demostró que no. No que no supiésemos cómo hacerlo, sino que no se podía hacer.
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3:39 - 3:46Supongamos que alguien asegura que ha construido una lista de todos los decimales. Voy a demostrar que no es así,
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3:46 - 3:48creando un decimal que no está en la lista.
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3:48 - 3:51Lo haré cifra a cifra.
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3:51 - 3:55Para la primera cifra decimal de mi número, partiré de la primera cifra decimal de ese primer número.
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3:55 - 4:00Si es un uno, la mía será un dos; si no lo es, la mía será un uno.
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4:00 - 4:05Para la segunda cifra de mi número, me fijaré en la segunda cifra decimal de ese segundo número.
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4:05 - 4:09De nuevo, si la de Uds es un uno, la mía será un dos; y si no lo es, la mía será un uno.
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4:09 - 4:14¿Ven cómo funciona? El número decimal que he creado no puede estar en esa lista.
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4:14 - 4:21¿Por qué? ¿Podría ser, pongamos, el número 143º? No, porque la 143ª cifra decimal de mi número
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4:21 - 4:25es distinta de la 143ª cifra de ese 143º número. Así es como la he construido.
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4:25 - 4:29La lista es incompleta. No contiene mi número decimal.
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4:29 - 4:34Y me des la lista que me des, siempre puedo hacer lo mismo y construir un número que no figure en ella.
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4:34 - 4:37Así que llegamos a esta asombrosa conclusión:
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4:37 - 4:43Los números decimales no pueden ponerse en una lista. Representan una infinidad mayor que la de los números enteros.
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4:43 - 4:49Así que, aunque sólo estamos acostumbrados a ver unos pocos irracionales, como la raíz de dos o pi,
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4:49 - 4:52la infinidad de todos los irracionales es de hecho mayor que la de las fracciones.
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4:52 - 4:57Alguien dijo una vez que los racionales —las fracciones— son como las estrellas del firmamento;
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4:57 - 5:01y los irracionales son la oscuridad.
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5:01 - 5:07Cantor también demostró que, para cualquier conjunto infinito, se puede crear un infinito mayor que reúna
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5:07 - 5:12todos los subconjuntos del conjunto inicial. Eso significa que, una vez que tengamos un infinito,
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5:12 - 5:18siempre podemos crear uno mayor construyendo el conjunto que engloba a todos los subconjuntos del primero.
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5:18 - 5:22Y uno aún mayor creando el conjunto de todos los subconjuntos de este segundo. Y así sucesivamente.
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5:22 - 5:26Por tanto, hay un número infinito de infinitos de distintos tamaños.
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5:26 - 5:31Si estas ideas les incomodan, no son los únicos. Algunos de los más grandes matemáticos de la época de Cantor
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5:31 - 5:35estaban muy molestos con estas cosas e intentaron hacer que los distintos infinitos fuesen irrelevantes,
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5:35 - 5:38hacer que,, de alguna manera, las matemáticas pudiesen funcionar sin ellos.
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5:38 - 5:42Cantor llegó a ser vilipendiado personalmente, y la situación se complicó tanto que cayó en una profunda depresión
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5:42 - 5:46y pasó la última mitad de su vida entrando y saliendo de centros psiquiátricos,
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5:46 - 5:51Pero, con el tiempo, sus ideas se impusieron y hoy en día se consideran fundamentales y magníficas.
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5:51 - 5:56Todos los matemáticos investigadores las aceptan y se estudian en todas las universidades
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5:56 - 5:58y yo te las he explicado en apenas unos minutos.
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5:58 - 6:01Un día, quizá, formen parte del saber popular.
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6:01 - 6:06Hay más. Acabamos de señalar que el conjunto de números decimales —es decir, los números reales— es una
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6:06 - 6:10infinidad mayor que el conjunto de números enteros. Cantor se planteó si habría infinitos
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6:10 - 6:14de diferentes tamaños entre esos dos. Pensaba que no era así, pero no fue capaz de demostrarlo.
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6:14 - 6:18Esta conjetura de Cantor se conoce como hipótesis del continuo.
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6:18 - 6:24En 1900, el gran matemático David Hilbert destacó la hipótesis del continuo como el más importante
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6:24 - 6:26de los problemas aún por resolver en matemáticas.
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6:26 - 6:32El siglo XX fue testigo de la resolución de este problema, pero de una manera completamente inesperada y disruptiva.
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6:32 - 6:38En los años veinte, Kurt Gödel demostró que no se puede demostrar que la hipótesis del continuo sea falsa.
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6:38 - 6:43Después, en los sesenta, Paul J. Cohen demostró que tampoco se puede probar que sea cierta.
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6:43 - 6:48Juntos, ambos resultados implican que en matemáticas hay preguntas para las que no existe respuesta.
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6:48 - 6:50Una conclusión realmente asombrosa.
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6:50 - 6:53Las matemáticas se consideran, con razón, la cumbre del razonamiento humano
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6:53 - 6:57pero ahora sabemos que incluso las matemáticas tienen sus limitaciones.
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6:57 - 7:01A pesar de lo cual, siguen proporcionando cosas realmente fascinantes en las que pensar.
- Title:
- ¿Cómo de infinito es el infinito?
- Speaker:
- Dennis Wildfogel
- Description:
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Para ver la lección completa: http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity
A partir de los fundamentos de la teoría de conjuntos, explora el alucinante concepto de la «infinidad de infinitos» y cómo llevó a los matemáticos a concluir que las propias matemáticas contienen preguntas sin respuesta.
Lección creada por Dennis Wildfogel, animación de Augenblick Studios.
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- 07:13
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