WEBVTT

00:00:14.023 --> 00:00:16.382
Cuando estaba en cuarto de primaria, mi maestro nos dijo un día:

00:00:16.382 --> 00:00:19.299
"Hay tantos números pares como números.

00:00:19.299 --> 00:00:25.264
"¿De verdad?", me dije. Pues sí, hay infinitos en cada caso, así que supongo que habrá una misma cantidad de ambos.

00:00:25.264 --> 00:00:30.315
Pero, por otra parte, los pares son sólo parte de los números enteros; también están los impares,

00:00:30.315 --> 00:00:33.082
así que tiene que haber más números enteros que pares, ¿no?

00:00:33.082 --> 00:00:38.732
Para ver lo que mi maestro quería decir, pensemos primero en lo que significa que dos conjuntos tengan el mismo tamaño.

00:00:38.732 --> 00:00:44.298
¿Qué quiero decir cuando afirmo que tengo el mismo número de dedos en mi mano derecha que en la izquierda?

00:00:44.298 --> 00:00:47.881
Está claro que tengo cinco dedos en cada una, pero la cosa es aún más sencilla.

00:00:47.881 --> 00:00:52.514
No tengo que contar, me basta con establecer una correspondencia uno a uno entre los dedos de ambas manos.

00:00:52.514 --> 00:00:56.265
De hecho, creemos que algunos pueblos antiguos que hablaban idiomas que carecían de palabras

00:00:56.265 --> 00:01:02.264
para números mayores de tres usaban este tipo de recurso. Por ejemplo, si sacas las ovejas a pastar desde el redil,

00:01:02.264 --> 00:01:05.782
puedes llevar la cuenta de cuántas salieron apartando una piedra por cada una de ellas

00:01:05.782 --> 00:01:09.116
y volviéndolas a juntar una a una cuando las ovejas vuelven.

00:01:09.116 --> 00:01:11.933
Así sabrías si falta alguna sin tener realmente que contar.

00:01:11.933 --> 00:01:15.165
Otro ejemplo de que las correspondencias son más básicas que contar es el siguiente:

00:01:15.165 --> 00:01:19.665
si hablo ante un auditorio lleno a rebosar, en el que todos los asientos están ocupados y nadie está de pie,

00:01:19.665 --> 00:01:23.199
sé que hay el mismo número de sillas que de personas en el público,

00:01:23.199 --> 00:01:25.725
aunque no sepa cuántas hay de unas ni de otras.

00:01:25.756 --> 00:01:28.440
Así que, lo que realmente queremos decir cuando afirmamos que dos conjuntos tienen el mismo tamaño

00:01:28.440 --> 00:01:32.578
es que entre los elementos de ambos conjuntos se puede establecer alguna correspondencia uno a uno.

00:01:32.578 --> 00:01:37.544
Mi maestro de cuarto nos mostró los números enteros en fila, y debajo de cada uno de ellos su doble.

00:01:37.544 --> 00:01:42.481
Como pueden ver, la fila de abajo contiene todos los números pares, y tenemos una correspondencia uno a uno.

00:01:42.481 --> 00:01:45.341
Así que hay tantos números pares como números.

00:01:45.341 --> 00:01:50.791
Pero lo que aún nos incomoda es que parece que los números pares son solo una parte de todos los enteros.

00:01:50.791 --> 00:01:56.474
Pero, ¿convence esto de que no tengo los mismos dedos en la mano derecha y en la izquierda?

00:01:56.474 --> 00:02:00.666
Por supuesto que no. No importa si uno intenta establecer la correspondencia de alguna manera que no sea válida,

00:02:00.666 --> 00:02:02.565
eso no nos convence de nada.

00:02:02.565 --> 00:02:06.317
Si uno encuentra una manera de que los elementos de ambos conjuntos se correspondan entre sí uno a uno,

00:02:06.317 --> 00:02:09.864
entonces decimos que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos.

00:02:10.049 --> 00:02:14.787
¿Pueden hacer una lista de todas las fracciones? Puede que sea difícil, ¡son muchas!

00:02:14.787 --> 00:02:18.954
Y no es nada evidente por cuál empezar, o cómo asegurarnos de que en la lista están todas.

00:02:18.954 --> 00:02:23.988
Sin embargo, existe una manera muy inteligente de construir la lista de todas las fracciones.

00:02:23.988 --> 00:02:27.786
El primero en hacerla fue Georg Cantor, a finales del siglo XIX.

00:02:27.786 --> 00:02:35.805
Primero, ponemos todas las fracciones en una cuadrícula. Están todas. Por ejemplo, encontramos 117/243

00:02:35.805 --> 00:02:39.020
en la fila 117ª y la columna 223ª.

00:02:39.020 --> 00:02:44.287
Ahora creamos la lista empezando por la esquina superior izquierda y recorriéndola diagonalmente una y otra vez,

00:02:44.287 --> 00:02:49.270
saltándonos todas las fracciones, como 2/2, que representan números que ya hemos seleccionado.

00:02:49.270 --> 00:02:53.320
Tenemos así una lista de todas las fracciones, lo que significa que hemos creado una correspondencia uno a uno

00:02:53.320 --> 00:02:58.369
entre los enteros y las fracciones, a pesar de que pensábamos que quizá habría más fracciones.

00:02:58.369 --> 00:03:00.870
Ahora es cuando la cosa se pone realmente interesante.

00:03:00.870 --> 00:03:06.263
Puede que sepan que no todos los números reales —todos los que figuran en la recta numérica— son fracciones.

00:03:06.263 --> 00:03:08.586
Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos o pi.

00:03:08.586 --> 00:03:14.620
Los números como estos se llaman irracionales. No porque estén locos, sino porque las fracciones son

00:03:14.620 --> 00:03:20.852
razones entre números enteros, y por tanto se llaman racionales. Lo que significa que el resto son no racionales, es decir, irracionales.

00:03:20.852 --> 00:03:24.718
Los irracionales se representan mediante un número infinito de decimales que no se repiten.

00:03:24.718 --> 00:03:29.386
¿Podemos establecer una correspondencia uno a uno entre los enteros y el conjunto de todos los decimales,

00:03:29.386 --> 00:03:33.903
racionales e irracionales incluidos? Es decir, ¿podemos hacer una lista de todos los números decimales?

00:03:33.903 --> 00:03:39.352
Cantor demostró que no. No que no supiésemos cómo hacerlo, sino que no se podía hacer.

00:03:39.352 --> 00:03:46.166
Supongamos que alguien asegura que ha construido una lista de todos los decimales. Voy a demostrar que no es así,

00:03:46.166 --> 00:03:48.220
creando un decimal que no está en la lista.

00:03:48.220 --> 00:03:50.819
Lo haré cifra a cifra.

00:03:50.819 --> 00:03:55.436
Para la primera cifra decimal de mi número, partiré de la primera cifra decimal de ese primer número.

00:03:55.436 --> 00:04:00.302
Si es un uno, la mía será un dos; si no lo es, la mía será un uno.

00:04:00.302 --> 00:04:04.569
Para la segunda cifra de mi número, me fijaré en la segunda cifra decimal de ese segundo número.

00:04:04.569 --> 00:04:09.186
De nuevo, si la de Uds es un uno, la mía será un dos; y si no lo es, la mía será un uno.

00:04:09.186 --> 00:04:13.585
¿Ven cómo funciona? El número decimal que he creado no puede estar en esa lista.

00:04:13.585 --> 00:04:20.737
¿Por qué? ¿Podría ser, pongamos, el número 143º? No, porque la 143ª cifra decimal de mi número

00:04:20.737 --> 00:04:25.336
es distinta de la 143ª cifra de ese 143º número. Así es como la he construido.

00:04:25.336 --> 00:04:29.220
La lista es incompleta. No contiene mi número decimal.

00:04:29.220 --> 00:04:34.386
Y me des la lista que me des, siempre puedo hacer lo mismo y construir un número que no figure en ella.

00:04:34.386 --> 00:04:37.219
Así que llegamos a esta asombrosa conclusión:

00:04:37.219 --> 00:04:43.286
Los números decimales no pueden ponerse en una lista. Representan una infinidad mayor que la de los números enteros.

00:04:43.286 --> 00:04:48.641
Así que, aunque sólo estamos acostumbrados a ver unos pocos irracionales, como la raíz de dos o pi,

00:04:48.641 --> 00:04:52.176
la infinidad de todos los irracionales es de hecho mayor que la de las fracciones.

00:04:52.176 --> 00:04:57.359
Alguien dijo una vez que los racionales —las fracciones— son como las estrellas del firmamento;

00:04:57.359 --> 00:05:01.143
y los irracionales son la oscuridad.

00:05:01.143 --> 00:05:06.943
Cantor también demostró que, para cualquier conjunto infinito, se puede crear un infinito mayor que reúna

00:05:06.943 --> 00:05:12.144
todos los subconjuntos del conjunto inicial. Eso significa que, una vez que tengamos un infinito,

00:05:12.144 --> 00:05:18.276
siempre podemos crear uno mayor construyendo el conjunto que engloba a todos los subconjuntos del primero.

00:05:18.276 --> 00:05:21.609
Y uno aún mayor creando el conjunto de todos los subconjuntos de este segundo. Y así sucesivamente.

00:05:21.609 --> 00:05:25.625
Por tanto, hay un número infinito de infinitos de distintos tamaños.

00:05:25.625 --> 00:05:31.092
Si estas ideas les incomodan, no son los únicos. Algunos de los más grandes matemáticos de la época de Cantor

00:05:31.092 --> 00:05:35.425
estaban muy molestos con estas cosas e intentaron hacer que los distintos infinitos fuesen irrelevantes,

00:05:35.425 --> 00:05:37.860
hacer que,, de alguna manera, las matemáticas pudiesen funcionar sin ellos.

00:05:37.860 --> 00:05:42.443
Cantor llegó a ser vilipendiado personalmente, y la situación se complicó tanto que cayó en una profunda depresión

00:05:42.443 --> 00:05:45.910
y pasó la última mitad de su vida entrando y saliendo de centros psiquiátricos,

00:05:45.910 --> 00:05:51.492
Pero, con el tiempo, sus ideas se impusieron y hoy en día se consideran fundamentales y magníficas.

00:05:51.492 --> 00:05:55.740
Todos los matemáticos investigadores las aceptan y se estudian en todas las universidades

00:05:55.740 --> 00:05:58.143
y yo te las he explicado en apenas unos minutos.

00:05:58.143 --> 00:06:00.926
Un día, quizá, formen parte del saber popular.

00:06:00.926 --> 00:06:06.006
Hay más. Acabamos de señalar que el conjunto de números decimales —es decir, los números reales— es una

00:06:06.006 --> 00:06:09.660
infinidad mayor que el conjunto de números enteros. Cantor se planteó si habría infinitos

00:06:09.660 --> 00:06:14.125
de diferentes tamaños entre esos dos. Pensaba que no era así, pero no fue capaz de demostrarlo.

00:06:14.125 --> 00:06:18.275
Esta conjetura de Cantor se conoce como hipótesis del continuo.

00:06:18.275 --> 00:06:23.959
En 1900, el gran matemático David Hilbert destacó la hipótesis del continuo como el más importante

00:06:23.959 --> 00:06:26.441
de los problemas aún por resolver en matemáticas.

00:06:26.441 --> 00:06:32.260
El siglo XX fue testigo de la resolución de este problema, pero de una manera completamente inesperada y disruptiva.

00:06:32.260 --> 00:06:37.892
En los años veinte, Kurt Gödel demostró que no se puede demostrar que la hipótesis del continuo sea falsa.

00:06:37.892 --> 00:06:43.476
Después, en los sesenta, Paul J. Cohen demostró que tampoco se puede probar que sea cierta.

00:06:43.476 --> 00:06:48.425
Juntos, ambos resultados implican que en matemáticas hay preguntas para las que no existe respuesta.

00:06:48.425 --> 00:06:50.310
Una conclusión realmente asombrosa.

00:06:50.310 --> 00:06:53.459
Las matemáticas se consideran, con razón, la cumbre del razonamiento humano

00:06:53.459 --> 00:06:56.592
pero ahora sabemos que incluso las matemáticas tienen sus limitaciones.

00:06:56.592 --> 00:07:00.809
A pesar de lo cual, siguen proporcionando cosas realmente fascinantes en las que pensar.