Return to Video

لأي مدى "ما لا نهاية" كبيرة؟

  • 0:14 - 0:17
    عندما كنت في الصف الرابع أخبرنا
    الأستاذ في أحد الأيام
  • 0:17 - 0:19
    "أنه يوجد أعداد زوجية
    بقدر ما يوجد أعداد"
  • 0:20 - 0:21
    "حقاً؟"، فكرت
  • 0:21 - 0:23
    حسنا، أجل، يوجد عدد
    لا نهائي من كليهما،
  • 0:23 - 0:26
    لذلك افترضت أنه يوجد نفس العدد من كليهما
  • 0:26 - 0:29
    ,ولكن الأعداد الزوجية ما هي
    إلا جزء من الأعداد الصحيحة،
  • 0:29 - 0:31
    هناك أيضاً الأعداد الفردية
  • 0:31 - 0:34
    لذلك لابد من أن تكون الأعداد
    الصحيحة أكنر من الزوجية صحيح؟
  • 0:34 - 0:36
    لمعرفة ما كان يقصد أستاذي،
  • 0:36 - 0:39
    بداية دعونا نفكر بما يعنيه أن
    يكون لمجموعتين نفس الحجم.
  • 0:39 - 0:42
    ماذا أقصد عندما أقول أنني
    أملك نفس عدد الأصابع
  • 0:42 - 0:44
    في يدي اليمنى كما هو
    الحال في يدي اليسرى؟
  • 0:44 - 0:48
    بالطبع، لدي خمسة أصابع في كل يد،
    لكن الأمر في الحقيقة أبسط من ذلك.
  • 0:48 - 0:53
    أنا لست بحاجة إلى أن أعد الأصابع،ما أحتاجه
    للتأكد هو مطابقة الأصابع الواحد مع الآخر،
  • 0:53 - 0:55
    في الواقع، نعتقد أن القدماء
  • 0:55 - 0:58
    الذين يتكلمون اللغات التي
    لا تتضمن أرقام أكبر من ثلاثة
  • 0:58 - 0:59
    استخدمو هذا النوع من السحر.
  • 1:00 - 1:02
    على سبيل المثال، إذا تركت
    أغنامك تخرج من الحظيرة لترعى
  • 1:02 - 1:06
    تستطيع تتبع عدد الأغنام الخارجة
    عن طريق تخصيص حجر لكل واحد
  • 1:06 - 1:09
    ووضع هذه الحجارة مره أخرى
    الواحد تلو الآخر عند عودة الأغنام،
  • 1:09 - 1:12
    عندها تعرف إن تم فقدان أي من
    الأغنام دون الحاجة لعدهم.
  • 1:12 - 1:15
    وكمثال آخر على أهمية المطابقة أكثر من العد
  • 1:15 - 1:17
    إذا كنت أتحدث في قاعة مكتظة بالحشود،
  • 1:17 - 1:20
    حيث أن كل المقاعد محجوزة
    ولا يوجد أي شخص واقف،
  • 1:20 - 1:23
    أعلم أنه يوجد نفس العدد من
    المقاعد والناس في الجمهور
  • 1:23 - 1:26
    على الرغم من أنني لا أعرف عدد أي منهما
  • 1:26 - 1:29
    لذلك، ما نعنيه عندما عندما نقول أن
    مجموعتين لهما نفس الحجم،
  • 1:29 - 1:31
    أن العناصر في هاتين المجموعتين
  • 1:31 - 1:33
    من الممكن مقابلتهما واحد تلو
    الآخر بطريقة أو بأخرى
  • 1:33 - 1:35
    أظهر لنا أستاذي في الصف الرابع
  • 1:35 - 1:38
    أن الأعداد الصحيحة ترد في صف واحد وتحتها يوجد صف
    من الأعداد التي تكون ضعفها. (حاصل ضربها بـ 2)
  • 1:38 - 1:41
    كما ترون في الصف السفلي
    يوجد جميع الأعداد الزوجية
  • 1:41 - 1:42
    ولدينا تطابق واحد لواحد.
  • 1:42 - 1:45
    إذاً يوجد أعداد زوجية بقدر
    ما يوجد أعداد صحيحة كلية
  • 1:45 - 1:48
    ولكن الأمر المزعج هو
  • 1:48 - 1:51
    أن الأعداد الزوجية ما هي
    إلا جزء من مجموعة الأعداد الصحيحة
  • 1:51 - 1:53
    لكن هل هذا يقنعك
  • 1:53 - 1:55
    أنني لا أملك نفس عدد الأصابع
  • 1:55 - 1:57
    في يدي اليمنى كما لدي في يدي اليسرى؟
  • 1:57 - 1:58
    بالطبع لا.
  • 1:58 - 2:00
    ليس بالأمر المهم إذا حاولت مطابقة
  • 2:00 - 2:02
    العناصر بطريقة ما
    وهذه الطريقة لم تكن مجدية
  • 2:02 - 2:04
    هذا لا يقنعنا بأي شيء
  • 2:04 - 2:05
    لأنه إذا أمكنك العثور
    على طريقة واحدة
  • 2:05 - 2:07
    بحيث تكون عناصر المجموعتين متطابقتين
  • 2:07 - 2:10
    عندها يمكننا القول أن المجموعتين
    لهما نفس العدد من العناصر.
  • 2:10 - 2:12
    هل تستطيع تقديم قائمة
    من جميع الأعداد الكسرية؟
  • 2:13 - 2:15
    قد يكون من الصعب ذلك،
    حيث يوجد الكثير من الأعداد الكسرية!!
  • 2:15 - 2:17
    وليس من الواضح ما يجب وضعه بداية،
  • 2:17 - 2:19
    أو كيف يتم التأكد من أن القائمة
    تتضمن جميع الأعداد الكسرية
  • 2:19 - 2:22
    ومع ذلك، يوجد طريقة ذكية جداً
  • 2:22 - 2:24
    نستطيع من خلالها إنشاء
    قائمة تتضمنها جميعها
  • 2:24 - 2:28
    لقد تم تحقيق ذلك أول مرة من قبل
    جورج كانتور، في أواخر ١٨٠٠
  • 2:28 - 2:31
    بداية، نضع جميع الأعداد
    الكسرية ضمن مخطط شبكي
  • 2:31 - 2:32
    إنهم جميعا هناك.
  • 2:32 - 2:36
    على سبيل المثال، يمكن أن
    تجد مثلاً العدد 117/243،
  • 2:36 - 2:39
    في السطر رقم 117 والعمود رقم 243.
  • 2:39 - 2:41
    والآن لنضع قائمة بالطريقة التالية
  • 2:41 - 2:44
    وهي البدء من الجانب العلوي الأيسر
    للقائمة والتحرك ذهاباً وإياباً بشكل قطري،
  • 2:44 - 2:47
    وتخطي أي عدد كسري من الشكل 2/2،
  • 2:47 - 2:50
    والذي يمثل الرقم نفسه الذي تم اختياره.
  • 2:50 - 2:52
    وبهكذا نكون قد حصلنا على قائمة
    تتضمن جميع الأعداد الكسرية،
  • 2:52 - 2:54
    مما يعني أننا استطعنا
    إنشاء تطابق واحد لواحد،
  • 2:54 - 2:56
    بين الإعداد الصحيحة والأعداد الكسرية،
  • 2:56 - 2:59
    على الرغم من أننا كنا نعتقد أنه لابد
    من وجود المزيد من الأعداد الكسرية.
  • 2:59 - 3:01
    حسنا، هنا أصبحت الأمور
    مثيرة للاهتمام حقاً.
  • 3:01 - 3:03
    لعلك تعلم أنه ليس جميع الأعداد الحقيقة
  • 3:03 - 3:06
    الممثلة على مستقيم الأعداد هي أعداد كسرية
  • 3:07 - 3:09
    جذر العدد اثنان أو القيمة PI،
    على سبيل المثال
  • 3:09 - 3:11
    أي عدد مثل هذا يطلق عليه غير
    كسري(لا قياسي)
  • 3:11 - 3:13
    ليس لأنها مجنونة، أو شيء من هذا القبيل،
  • 3:13 - 3:16
    ولكن لأن الأعداد الكسرية
    هي نسب الأعداد الصحيحة،
  • 3:16 - 3:18
    لذلك تسمى الأعداد الكسرية
  • 3:18 - 3:21
    مما يعني أن البقية هي أعداد لا منطقية
  • 3:21 - 3:25
    تمثل الأرقام الكسرية باللانهاية
    والأرقام العشرية الغير متكررة
  • 3:25 - 3:27
    لذلك؟ هل نستطيع عمل تطابق واحد لواحد
  • 3:27 - 3:30
    بين الأعداد الصحيحة ومجموعة
    من كل الأعداد العشرية
  • 3:30 - 3:32
    كل من الأعداد الكسرية واللا كسرية؟
  • 3:32 - 3:34
    لذلك هل يمكننا وضع قائمة
    تتضمن جميع الأعداد العشرية
  • 3:34 - 3:36
    أوضح كاندور أنك لا تستطيع.
  • 3:36 - 3:40
    ليس فقط أننا لا نعرف كيف يتم ذلك،
    بل لأنه ليس من الممكن القيام بإحصائها أصلاً.
  • 3:40 - 3:44
    انظر، على فرض أنك تدعي أنه من
    الممكن عمل قائمة تتضمن جميع الأرقام العشرية
  • 3:44 - 3:46
    سأريك أنك لن تنجح،
  • 3:46 - 3:48
    من خلال توليد عدد عشري
    ليس موجوداً ضمن قائمتك.
  • 3:48 - 3:51
    سأقوم بتشكيل الرقم الخاص
    بي في مكان واحد ووقت واحد
  • 3:51 - 3:53
    بالنسبة للخانة الأولى بعد
    الفاصلة من رقمي العشري
  • 3:53 - 3:56
    سأنظر إلى الخانة الأولى
    من الرقم العشري الأول لديك
  • 3:56 - 3:58
    فإذا كان واحداً، سيكون الرقم لدي اثنان
  • 3:58 - 4:00
    وإلا سيكون واحد.
  • 4:00 - 4:03
    بالنسبة للخانة الثانية بعد الفاصلة لرقمي،
  • 4:03 - 4:05
    سأنظر إلى الخانة الثانية
    بعد الفاصلة من الرقم الثاني لديك.
  • 4:05 - 4:08
    وأيضاُ، إذا كان رقمك مساوياً
    للواحد، سيكون رقمي اثنين،
  • 4:08 - 4:10
    وإلا فسيكون رقمي واحد.
  • 4:10 - 4:11
    هل ترى كيف تجري الأمور؟
  • 4:11 - 4:14
    العدد العشري الذي قمت
    بتوليده لايمكن أن يتواجد في قائمتك
  • 4:14 - 4:18
    لماذا؟ هل يمكن أن يكون الرقم
    موجوداً في السطر رقم 143؟
  • 4:18 - 4:21
    لا، وذلك لأن الخانة
    رقم 143 من الرقم الخاص بي
  • 4:21 - 4:24
    مختلف عن الخانة 143 من الرقم
    143 في القائمة الخاصة بك
  • 4:24 - 4:26
    قمت بذلك بهذه الطريقة.
  • 4:26 - 4:27
    القائمة الخاصة بك غير مكتملة.
  • 4:27 - 4:29
    لا تحتوي على الرقم العشري الخاص بي.
  • 4:30 - 4:32
    وبغض النظر عن القائمة التي
    ستعطيها لي، أستطيع أن أقوم بذات الشيء،
  • 4:32 - 4:35
    وأقوم بتوليد أعداد عشرية
    غير موجودة في قائمتك.
  • 4:35 - 4:37
    لذلك نحن أمام استنتاج مذهل:
  • 4:37 - 4:40
    أن الأعداد العشرية لايمكن حصرها ضمن قائمة.
  • 4:40 - 4:44
    فهي تمثل لانهاية أكبر من اللانهاية
    التي تمثلها الأعداد الصحيحة.
  • 4:44 - 4:47
    لذلك، وعلى الرغم من أننا نعرف
    القليل من الأعداد اللاكسرية
  • 4:47 - 4:49
    مثل الجذر التربيعي
    للعدد اثنان والقيمة PI
  • 4:49 - 4:50
    اللانهاية من الأعداد الللا كسرية
  • 4:50 - 4:53
    في الواقع أكبر من اللانهاية للكسور
  • 4:53 - 4:54
    يقول البعض بأن الأعداد الكسرية
  • 4:54 - 4:57
    -الكسور- هي كالنجوم في السماء ليلاً
  • 4:58 - 5:01
    واللاكسرية هي كالظلمة
  • 5:01 - 5:04
    أظهر العالم كانتور أنه لأي مجموعة لانهائية
  • 5:04 - 5:07
    تشكل مجموعة جديدة تتكون من جميع المجموعات
    المتفرعة من المجموعة الأصلية
  • 5:07 - 5:10
    تمثل لا نهاية أكبر من تلك المجموعة الأصلية
  • 5:10 - 5:12
    وهذا يعني أنه عندما
    يكون لديك لانهاية واحدة،
  • 5:12 - 5:14
    تستطيع دائما إيجاد نهاية أكبر
  • 5:14 - 5:17
    عبر تكوين مجموعة من جميع المجموعات
    الجزئية من المجموعة الأولى الأصلية.
  • 5:17 - 5:18
    وعندها أيضاً تكون مجموعة أكبر
  • 5:18 - 5:21
    من خلال تكوين مجموعة من
    جميع المجموعات الجزئية في آن واحد
  • 5:21 - 5:22
    وهكذا.
  • 5:22 - 5:26
    وأيضاً، يوجد عدد غير منته
    من النهايات بأحجام مختلفة.
  • 5:26 - 5:29
    إذا أزعجتك هذه الفكرة، فأنت لست وحيداً.
  • 5:29 - 5:32
    بعض عمالقة الرياضيات في زمن كانتور
  • 5:32 - 5:33
    كانوا منزعجين من هذه الأشياء.
  • 5:33 - 5:36
    وقد حاولوا جعل هذه النهايات
    المختلفة لا علاقة لها،
  • 5:36 - 5:38
    لكي تعمل الرياضيات بدونهم بطريقة ما.
  • 5:38 - 5:40
    حتى أن كانتور كان مذموم شخصياً،
  • 5:40 - 5:43
    وقد ساء الوضع بالنسبة له حتى
    أنه كان يعاني من اكتئاب حاد،
  • 5:43 - 5:46
    وقضى النصف الأخير من حياته
    داخلاً وخارجاً إلى المصحات العقلية.
  • 5:46 - 5:49
    ولكن في النهاية، أفكاره هي التي انتصرت.
  • 5:49 - 5:52
    حيث تعتبر اليوم هذه الأفكار أساسية ورائعة.
  • 5:52 - 5:54
    كل البحوث الرياضياتية وافقت على هذه الأفكار،
  • 5:54 - 5:56
    جميع كليات الرياضيات الكبرى
    يتم تدريس هذه الأفكار ضمنها،
  • 5:56 - 5:58
    وقد قمت بشرح هذه الأفكار لكم في بضعة دقائق.
  • 5:58 - 6:01
    في يوم من الأيام، ستكون هذه
    الأفكار معلومات عامة ومشتركة.
  • 6:01 - 6:02
    ويوجد المزيد.
  • 6:02 - 6:04
    أشرنا فقط إلى مجموعة الأعداد العشرية
  • 6:05 - 6:07
    حيث أن الأعداد الحقيقة هي لانهاية أكبر
  • 6:07 - 6:08
    من مجموعة الأعداد الصحيحة
  • 6:08 - 6:11
    تساءل كاندور فيما إذا كان يوجد لانهايات
  • 6:11 - 6:13
    بأحجام مختلفة بين هاتين اللانهاتين.
  • 6:13 - 6:15
    وقال أنه لا يعتقد أنه يوجد
    ولكنه مع ذلك لم يستطع إثبات ذلك.
  • 6:15 - 6:18
    أصبحت تخمينات كاندور
    تعرف بأنها الفرضيات المستمرة
  • 6:19 - 6:22
    في عام 1900، الرياضي الكبير دايفيد هيلبيرت
  • 6:22 - 6:24
    أدرج الفرضيات المستمرة
  • 6:24 - 6:26
    كأكثر المعضلات الرياضية التي لم يتم حلها.
  • 6:26 - 6:29
    وقد تم إيجاد حل لهذه المشكلة في القرن العشرين،
  • 6:29 - 6:32
    ولكن بطريقة نموذجية غير متوقعة أبداً.
  • 6:33 - 6:35
    في العام 1920 أوضح كيرت جودل
  • 6:35 - 6:38
    بأنك لن تستطيع أبداً إثبات أن
    الفرضيات المستمرة غير صحيحة.
  • 6:38 - 6:41
    وبعدها، في العام 1960 أوضح بول جي كون
  • 6:41 - 6:44
    بأنك لا تستطيع إثبات
    صحة الفرضيات المستمرة.
  • 6:44 - 6:46
    بأخذ الإثباتين معاً، تكون النتيجة
  • 6:46 - 6:49
    أنه يوجد أسئلة بلا أجوبة في الرياضيات.
  • 6:49 - 6:50
    استنتاج مذهل للغاية.
  • 6:50 - 6:53
    حقاً تعتبر الرياضيات هي قمة المنطق البشري،
  • 6:53 - 6:57
    ولكننا نعرف الآن أنه حتى
    الرياضيات لها حدودها.
  • 6:57 - 7:01
    لاتزال الرياضيات تمتلك العديد
    من الأشياء المذهلة لنا لنفكر بها.
Title:
لأي مدى "ما لا نهاية" كبيرة؟
Speaker:
Dennis Wildfogel
Description:

باستخدام أساسيات نظرية المجموعات، واستكشاف مفهوم العقل والانحناء من "انهائية اللامتناهي" - وكيف أنها أدت الى استنتاج علماء الرياضيات بأن الرياضيات في حد ذاتها تحتوي على أسئلة مفحمة.

الدرس من قبل دينيس وايلد فوغل، ، والرسوم المتحركة من قبل استديوهات Augenblick .

شاهد الدرس كاملا:
http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity
more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
07:13
Retired user approved Arabic subtitles for How big is infinity?
Retired user edited Arabic subtitles for How big is infinity?
Retired user edited Arabic subtitles for How big is infinity?
Retired user edited Arabic subtitles for How big is infinity?
Retired user accepted Arabic subtitles for How big is infinity?
Retired user edited Arabic subtitles for How big is infinity?
Retired user edited Arabic subtitles for How big is infinity?
Retired user declined Arabic subtitles for How big is infinity?
Show all

Arabic subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.