0:00:13.920,0:00:16.722
عندما كنت في الصف الرابع أخبرنا[br]الأستاذ في أحد الأيام

0:00:16.746,0:00:19.275
"أنه يوجد أعداد زوجية[br]بقدر ما يوجد أعداد"

0:00:19.745,0:00:21.098
"حقاً؟"، فكرت

0:00:21.122,0:00:23.458
حسنا، أجل، يوجد عدد [br]لا نهائي من كليهما،

0:00:23.482,0:00:25.878
لذلك افترضت أنه يوجد نفس العدد من كليهما[br]

0:00:25.902,0:00:28.933
,ولكن الأعداد الزوجية ما هي[br]إلا جزء من الأعداد الصحيحة،

0:00:28.957,0:00:30.584
هناك أيضاً الأعداد الفردية

0:00:30.608,0:00:33.657
لذلك لابد من أن تكون الأعداد[br]الصحيحة أكنر من الزوجية صحيح؟

0:00:33.681,0:00:35.529
لمعرفة ما كان يقصد أستاذي،

0:00:35.553,0:00:39.061
بداية دعونا نفكر بما يعنيه أن [br]يكون لمجموعتين نفس الحجم.

0:00:39.085,0:00:41.885
ماذا أقصد عندما أقول أنني[br]أملك نفس عدد الأصابع

0:00:41.909,0:00:44.357
في يدي اليمنى كما هو [br]الحال في يدي اليسرى؟

0:00:44.381,0:00:48.015
بالطبع، لدي خمسة أصابع في كل يد،[br]لكن الأمر في الحقيقة أبسط من ذلك.

0:00:48.039,0:00:52.850
أنا لست بحاجة إلى أن أعد الأصابع،ما أحتاجه [br]للتأكد هو مطابقة الأصابع الواحد مع الآخر،

0:00:52.850,0:00:54.620
في الواقع، نعتقد أن القدماء

0:00:54.644,0:00:58.087
الذين يتكلمون اللغات التي [br]لا تتضمن أرقام أكبر من ثلاثة

0:00:58.111,0:00:59.483
استخدمو هذا النوع من السحر.

0:00:59.507,0:01:02.233
على سبيل المثال، إذا تركت[br]أغنامك تخرج من الحظيرة لترعى

0:01:02.257,0:01:05.938
تستطيع تتبع عدد الأغنام الخارجة [br]عن طريق تخصيص حجر لكل واحد

0:01:05.962,0:01:09.092
ووضع هذه الحجارة مره أخرى[br]الواحد تلو الآخر عند عودة الأغنام،

0:01:09.116,0:01:11.909
عندها تعرف إن تم فقدان أي من [br]الأغنام دون الحاجة لعدهم.

0:01:11.933,0:01:15.172
وكمثال آخر على أهمية المطابقة أكثر من العد

0:01:15.196,0:01:17.339
إذا كنت أتحدث في قاعة مكتظة بالحشود،

0:01:17.363,0:01:19.667
حيث أن كل المقاعد محجوزة[br]ولا يوجد أي شخص واقف،

0:01:19.691,0:01:23.221
أعلم أنه يوجد نفس العدد من [br]المقاعد والناس في الجمهور

0:01:23.245,0:01:25.771
على الرغم من أنني لا أعرف عدد أي منهما[br]

0:01:25.795,0:01:28.938
لذلك، ما نعنيه عندما عندما نقول أن [br]مجموعتين لهما نفس الحجم،

0:01:28.962,0:01:30.690
أن العناصر في هاتين المجموعتين

0:01:30.714,0:01:32.943
من الممكن مقابلتهما واحد تلو[br]الآخر بطريقة أو بأخرى

0:01:32.967,0:01:34.634
أظهر لنا أستاذي في الصف الرابع[br]

0:01:34.658,0:01:37.999
أن الأعداد الصحيحة ترد في صف واحد وتحتها يوجد صف[br]من الأعداد التي تكون ضعفها. (حاصل ضربها بـ 2)

0:01:38.023,0:01:40.892
كما ترون في الصف السفلي[br]يوجد جميع الأعداد الزوجية

0:01:40.916,0:01:42.457
ولدينا تطابق واحد لواحد.[br]

0:01:42.481,0:01:45.386
إذاً يوجد أعداد زوجية بقدر[br]ما يوجد أعداد صحيحة كلية

0:01:45.410,0:01:47.700
ولكن الأمر المزعج هو [br]

0:01:47.724,0:01:51.203
أن الأعداد الزوجية ما هي[br]إلا جزء من مجموعة الأعداد الصحيحة

0:01:51.227,0:01:52.681
لكن هل هذا يقنعك[br]

0:01:52.705,0:01:54.880
أنني لا أملك نفس عدد الأصابع[br]

0:01:54.904,0:01:56.630
في يدي اليمنى كما لدي في يدي اليسرى؟[br]

0:01:56.654,0:01:57.669
بالطبع لا.[br]

0:01:57.693,0:01:59.536
ليس بالأمر المهم إذا حاولت مطابقة [br]

0:01:59.560,0:02:01.729
العناصر بطريقة ما[br]وهذه الطريقة لم تكن مجدية

0:02:01.753,0:02:03.515
هذا لا يقنعنا بأي شيء[br]

0:02:03.539,0:02:04.730
لأنه إذا أمكنك العثور[br]على طريقة واحدة

0:02:04.754,0:02:06.978
بحيث تكون عناصر المجموعتين متطابقتين[br]

0:02:07.002,0:02:09.895
عندها يمكننا القول أن المجموعتين[br]لهما نفس العدد من العناصر.

0:02:10.472,0:02:12.487
هل تستطيع تقديم قائمة[br]من جميع الأعداد الكسرية؟

0:02:12.511,0:02:15.170
قد يكون من الصعب ذلك، [br]حيث يوجد الكثير من الأعداد الكسرية!!

0:02:15.194,0:02:17.071
وليس من الواضح ما يجب وضعه بداية، [br]

0:02:17.095,0:02:19.238
أو كيف يتم التأكد من أن القائمة [br]تتضمن جميع الأعداد الكسرية

0:02:19.262,0:02:21.918
ومع ذلك، يوجد طريقة ذكية جداً[br]

0:02:21.942,0:02:24.115
نستطيع من خلالها إنشاء[br]قائمة تتضمنها جميعها

0:02:24.139,0:02:27.985
لقد تم تحقيق ذلك أول مرة من قبل [br]جورج كانتور، في أواخر ١٨٠٠

0:02:28.009,0:02:31.017
بداية، نضع جميع الأعداد[br]الكسرية ضمن مخطط شبكي

0:02:31.041,0:02:32.131
إنهم جميعا هناك.[br]

0:02:32.155,0:02:35.912
على سبيل المثال، يمكن أن[br]تجد مثلاً العدد 117/243،

0:02:35.936,0:02:38.996
في السطر رقم 117 والعمود رقم 243.

0:02:39.020,0:02:40.821
والآن لنضع قائمة بالطريقة التالية

0:02:40.845,0:02:44.245
وهي البدء من الجانب العلوي الأيسر[br]للقائمة والتحرك ذهاباً وإياباً بشكل قطري،

0:02:44.269,0:02:46.596
وتخطي أي عدد كسري من الشكل 2/2،

0:02:46.620,0:02:49.659
والذي يمثل الرقم نفسه الذي تم اختياره.

0:02:49.683,0:02:51.561
وبهكذا نكون قد حصلنا على قائمة[br]تتضمن جميع الأعداد الكسرية،

0:02:51.585,0:02:53.698
مما يعني أننا استطعنا[br]إنشاء تطابق واحد لواحد،

0:02:53.722,0:02:55.800
بين الإعداد الصحيحة والأعداد الكسرية،

0:02:55.818,0:02:59.199
على الرغم من أننا كنا نعتقد أنه لابد[br]من وجود المزيد من الأعداد الكسرية.

0:02:59.223,0:03:01.330
حسنا، هنا أصبحت الأمور[br]مثيرة للاهتمام حقاً.

0:03:01.354,0:03:03.319
لعلك تعلم أنه ليس جميع الأعداد الحقيقة

0:03:03.343,0:03:06.491
الممثلة على مستقيم الأعداد هي أعداد كسرية

0:03:06.515,0:03:08.662
جذر العدد اثنان أو القيمة PI، [br]على سبيل المثال

0:03:08.686,0:03:11.113
أي عدد مثل هذا يطلق عليه غير[br]كسري(لا قياسي)

0:03:11.137,0:03:13.064
ليس لأنها مجنونة، أو شيء من هذا القبيل،[br]

0:03:13.088,0:03:16.102
ولكن لأن الأعداد الكسرية [br]هي نسب الأعداد الصحيحة،

0:03:16.126,0:03:17.593
لذلك تسمى الأعداد الكسرية

0:03:17.617,0:03:20.828
مما يعني أن البقية هي أعداد لا منطقية

0:03:20.852,0:03:24.694
تمثل الأرقام الكسرية باللانهاية[br]والأرقام العشرية الغير متكررة

0:03:24.718,0:03:26.853
لذلك؟ هل نستطيع عمل تطابق واحد لواحد[br]

0:03:26.877,0:03:29.606
بين الأعداد الصحيحة ومجموعة [br]من كل الأعداد العشرية

0:03:29.630,0:03:31.518
كل من الأعداد الكسرية واللا كسرية؟

0:03:31.542,0:03:34.114
لذلك هل يمكننا وضع قائمة[br]تتضمن جميع الأعداد العشرية

0:03:34.138,0:03:36.188
أوضح كاندور أنك لا تستطيع.

0:03:36.212,0:03:39.509
ليس فقط أننا لا نعرف كيف يتم ذلك، [br]بل لأنه ليس من الممكن القيام بإحصائها أصلاً.

0:03:40.045,0:03:43.900
انظر، على فرض أنك تدعي أنه من[br]الممكن عمل قائمة تتضمن جميع الأرقام العشرية

0:03:43.924,0:03:46.142
سأريك أنك لن تنجح،[br]

0:03:46.166,0:03:48.452
من خلال توليد عدد عشري [br]ليس موجوداً ضمن قائمتك.

0:03:48.476,0:03:50.795
سأقوم بتشكيل الرقم الخاص [br]بي في مكان واحد ووقت واحد

0:03:50.819,0:03:53.144
بالنسبة للخانة الأولى بعد [br]الفاصلة من رقمي العشري

0:03:53.168,0:03:55.930
سأنظر إلى الخانة الأولى[br]من الرقم العشري الأول لديك

0:03:55.954,0:03:58.408
فإذا كان واحداً، سيكون الرقم لدي اثنان

0:03:58.432,0:04:00.388
وإلا سيكون واحد.

0:04:00.412,0:04:02.520
بالنسبة للخانة الثانية بعد الفاصلة لرقمي، [br]

0:04:02.544,0:04:05.021
سأنظر إلى الخانة الثانية[br]بعد الفاصلة من الرقم الثاني لديك.

0:04:05.045,0:04:07.560
وأيضاُ، إذا كان رقمك مساوياً [br]للواحد، سيكون رقمي اثنين،[br]

0:04:07.584,0:04:09.894
وإلا فسيكون رقمي واحد.

0:04:09.918,0:04:11.221
هل ترى كيف تجري الأمور؟

0:04:11.245,0:04:14.220
العدد العشري الذي قمت [br]بتوليده لايمكن أن يتواجد في قائمتك

0:04:14.244,0:04:17.531
لماذا؟ هل يمكن أن يكون الرقم [br]موجوداً في السطر رقم 143؟[br]

0:04:17.555,0:04:20.713
لا، وذلك لأن الخانة [br]رقم 143 من الرقم الخاص بي

0:04:20.737,0:04:24.374
مختلف عن الخانة 143 من الرقم[br]143 في القائمة الخاصة بك

0:04:24.398,0:04:25.965
قمت بذلك بهذه الطريقة.

0:04:25.989,0:04:27.466
القائمة الخاصة بك غير مكتملة.

0:04:27.490,0:04:29.484
لا تحتوي على الرقم العشري الخاص بي.[br]

0:04:29.508,0:04:32.413
وبغض النظر عن القائمة التي[br]ستعطيها لي، أستطيع أن أقوم بذات الشيء،

0:04:32.437,0:04:34.650
وأقوم بتوليد أعداد عشرية [br]غير موجودة في قائمتك.

0:04:34.674,0:04:37.195
لذلك نحن أمام استنتاج مذهل:

0:04:37.219,0:04:40.084
أن الأعداد العشرية لايمكن حصرها ضمن قائمة.[br]

0:04:40.108,0:04:44.026
فهي تمثل لانهاية أكبر من اللانهاية[br]التي تمثلها الأعداد الصحيحة.

0:04:44.050,0:04:46.812
لذلك، وعلى الرغم من أننا نعرف[br]القليل من الأعداد اللاكسرية[br]

0:04:46.836,0:04:48.617
مثل الجذر التربيعي[br]للعدد اثنان والقيمة PI

0:04:48.641,0:04:50.134
اللانهاية من الأعداد الللا كسرية

0:04:50.158,0:04:52.594
في الواقع أكبر من اللانهاية للكسور[br]

0:04:52.618,0:04:54.387
يقول البعض بأن الأعداد الكسرية

0:04:54.411,0:04:57.335
-الكسور- هي كالنجوم في السماء ليلاً

0:04:57.998,0:05:01.119
واللاكسرية هي كالظلمة

0:05:01.143,0:05:03.664
أظهر العالم كانتور أنه لأي مجموعة لانهائية

0:05:03.688,0:05:07.094
تشكل مجموعة جديدة تتكون من جميع المجموعات[br]المتفرعة من المجموعة الأصلية

0:05:07.118,0:05:10.386
تمثل لا نهاية أكبر من تلك المجموعة الأصلية

0:05:10.410,0:05:12.459
وهذا يعني أنه عندما[br]يكون لديك لانهاية واحدة،

0:05:12.483,0:05:14.041
تستطيع دائما إيجاد نهاية أكبر

0:05:14.065,0:05:16.966
عبر تكوين مجموعة من جميع المجموعات[br]الجزئية من المجموعة الأولى الأصلية.

0:05:16.990,0:05:18.406
وعندها أيضاً تكون مجموعة أكبر[br]

0:05:18.430,0:05:20.739
من خلال تكوين مجموعة من [br]جميع المجموعات الجزئية في آن واحد[br]

0:05:20.763,0:05:21.989
وهكذا.

0:05:22.013,0:05:25.601
وأيضاً، يوجد عدد غير منته [br]من النهايات بأحجام مختلفة.[br]

0:05:25.625,0:05:29.090
إذا أزعجتك هذه الفكرة، فأنت لست وحيداً.[br]

0:05:29.114,0:05:31.505
بعض عمالقة الرياضيات في زمن كانتور[br]

0:05:31.529,0:05:33.053
كانوا منزعجين من هذه الأشياء.[br]

0:05:33.077,0:05:35.697
وقد حاولوا جعل هذه النهايات[br]المختلفة لا علاقة لها،[br]

0:05:35.721,0:05:38.013
لكي تعمل الرياضيات بدونهم بطريقة ما.

0:05:38.037,0:05:40.070
حتى أن كانتور كان مذموم شخصياً،[br]

0:05:40.094,0:05:42.999
وقد ساء الوضع بالنسبة له حتى[br]أنه كان يعاني من اكتئاب حاد،[br]

0:05:43.023,0:05:46.309
وقضى النصف الأخير من حياته [br]داخلاً وخارجاً إلى المصحات العقلية.[br]

0:05:46.333,0:05:48.662
ولكن في النهاية، أفكاره هي التي انتصرت.[br]

0:05:48.686,0:05:51.644
حيث تعتبر اليوم هذه الأفكار أساسية ورائعة.[br]

0:05:51.668,0:05:54.245
كل البحوث الرياضياتية وافقت على هذه الأفكار،[br]

0:05:54.269,0:05:56.064
جميع كليات الرياضيات الكبرى [br]يتم تدريس هذه الأفكار ضمنها،

0:05:56.088,0:05:58.327
وقد قمت بشرح هذه الأفكار لكم في بضعة دقائق.[br]

0:05:58.351,0:06:00.844
في يوم من الأيام، ستكون هذه [br]الأفكار معلومات عامة ومشتركة.[br]

0:06:00.868,0:06:02.042
ويوجد المزيد.[br]

0:06:02.066,0:06:04.496
أشرنا فقط إلى مجموعة الأعداد العشرية[br]

0:06:04.520,0:06:06.970
حيث أن الأعداد الحقيقة هي لانهاية أكبر[br]

0:06:06.994,0:06:08.429
من مجموعة الأعداد الصحيحة[br]

0:06:08.453,0:06:10.510
تساءل كاندور فيما إذا كان يوجد لانهايات[br]

0:06:10.534,0:06:12.794
بأحجام مختلفة بين هاتين اللانهاتين.[br]

0:06:12.818,0:06:15.315
وقال أنه لا يعتقد أنه يوجد[br]ولكنه مع ذلك لم يستطع إثبات ذلك.[br]

0:06:15.339,0:06:18.250
أصبحت تخمينات كاندور[br]تعرف بأنها الفرضيات المستمرة[br]

0:06:19.402,0:06:21.859
في عام 1900، الرياضي الكبير دايفيد هيلبيرت[br]

0:06:21.883,0:06:23.634
أدرج الفرضيات المستمرة[br]

0:06:23.658,0:06:26.417
كأكثر المعضلات الرياضية التي لم يتم حلها.[br]

0:06:26.441,0:06:29.254
وقد تم إيجاد حل لهذه المشكلة في القرن العشرين،[br]

0:06:29.278,0:06:32.236
ولكن بطريقة نموذجية غير متوقعة أبداً.[br]

0:06:32.942,0:06:34.899
في العام 1920 أوضح كيرت جودل[br]

0:06:34.923,0:06:37.923
بأنك لن تستطيع أبداً إثبات أن[br]الفرضيات المستمرة غير صحيحة.[br]

0:06:37.947,0:06:41.003
وبعدها، في العام 1960 أوضح بول جي كون [br]

0:06:41.027,0:06:44.027
بأنك لا تستطيع إثبات [br]صحة الفرضيات المستمرة.[br]

0:06:44.051,0:06:46.200
بأخذ الإثباتين معاً، تكون النتيجة[br]

0:06:46.224,0:06:48.748
أنه يوجد أسئلة بلا أجوبة في الرياضيات.[br]

0:06:48.772,0:06:50.286
استنتاج مذهل للغاية.[br]

0:06:50.310,0:06:53.435
حقاً تعتبر الرياضيات هي قمة المنطق البشري،[br]

0:06:53.459,0:06:56.568
ولكننا نعرف الآن أنه حتى[br]الرياضيات لها حدودها.

0:06:57.094,0:07:00.809
لاتزال الرياضيات تمتلك العديد[br]من الأشياء المذهلة لنا لنفكر بها.[br]