İrrasyonel sayıları anlamak - Ganesh Pai

Dersin tamamı için: http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai

Yunan mitlerindeki pek çok kahraman gibi, filozof Hippasus'un da tanrılar tarafından cezalandırılmış bir ölümlü olduğu rivayet edilir. Peki ama suçu neydi? Konukları mı öldürmüştü, yoksa kutsal bir ritüeli mi bozmuştu? Hayır, Hippasus'un günahı, o zamana dek kanıtlanamayanı matematiksel olarak kanıtlamaktı. Ganesh Pai, irrasyonel sayıların ardında yatan tarihi ve matematiği anlatıyor.

Ders: Ganesh Pai, animasyon: Anton Trofimov.

Yunan mitlerindeki pek çok kahraman
gibi filozof Hippasus'un da

tanrılar tarafından
cezalandırıldığını rivayet edilir.

Peki ama suçu neydi?

Misafirleri mi öldürmüştü?

Yoksa kutsal bir ritüeli mi bölmüştü?

Hayır, Hippasus'un günahı
matematiksel bir kanıttı:

İrrasyonel sayıların keşfi.

Hippasus, sayılara
dinsel bir saygı besleyen

Pisagorcu matematikçiler
adlı topluluğa üyeydi.

"Her şey sayıdır" şeklindeki vecizeleri,

evrenin yapıtaşlarının sayılar olduğunu
ileri sürüyordu.

Evrenbilim ve metafizikten, müziğe ve
ahlak kurallarına kadar her şeyin

sayıların oranları ile tanımlanabilen

ebedi yasaları izlediği de
inançları arasındaydı.

Dolayısıyla, her sayı böyle bir oran
biçiminde yazılabilirdi.

5'i 5/1 olarak,

0,5'i 1/2 olarak yazmak gibi.

Bunun gibi sonsuza uzayan
bir ondalık sayı bile

tam olarak 34/45
olarak ifade edilebilirdi.

Bugün bunların tümüne
rasyonel sayılar diyoruz.

Ama Hippasus bu ahenkli yasayı
ihlal eden bir sayı bulmuştu;

var olmaması gereken bir sayı.

Sorun basit bir şekil ile başladı:

Kenarları 1 birim olan bir kare.

Pisagor Teoremi'ne göre,
köşegen uzunluğu 2'nin karekökü olmalıydı.

Fakat Hippasus ne kadar denese de,

bunu iki tam sayının oranı
biçiminde ifade edemedi.

Vazgeçmek yerine, bunun yapılamayacağını
kanıtlamaya karar verdi.

Hippasus, Pisagorcu dünya görüşünün
doğru olduğunu varsayarak başladı:

Kök 2'yi iki tam sayının oranı
şeklinde yazmak mümkün olsun.

Bu varsayımsal tamsayılara p ve q dedi.

Oranın en basit hâline indirgendiğini ve

p ile q'nun ortak çarpanı
olmadığını varsaydı.

Kök 2'nin rasyonel olmadığını
kanıtlamak için

Hippasus'un p/q'nun var olamayacağını
kanıtlaması gerekiyordu.

Eşitliğin iki tarafını q ile çarpıp

iki tarafın karekökünü aldı

ve bu eşitliği elde etti.

Bir sayıyı 2 ile çarpınca,
sonuç çift sayı çıkar.

O zaman p^2 çift sayı olmalıdır.

Eğer p tek sayı ise bu doğru olamaz,

çünkü bir tek sayının kendisi ile
çarpımı, yine bir tek sayı verir.

Bu nedenle p sayısı da
çift sayı olmalıdır.

O hâlde, a bir tamsayı olmak üzere,
p'yi 2a olarak ifade edebiliriz.

Denkleme bunu yerleştirip sadeleştirince,

q^2 = 2a^2 çıkar.

Yine, herhangi bir sayının 2 ile çarpımı
çift sayı vereceğinden,

q^2 çift sayı olmalıdır.

Dolayısıyla q sayısı da
çift sayı olmalıdır.

Yani hem p, hem de q çift sayıdır.

Fakat eğer bu doğruysa, bir ortak
çarpanları var demektir: 2 sayısı.

Ama bu da başlangıç
ifadesine ters düşüyor.

İşte böylelikle, Hippasus öyle bir oranın
var olmadığı sonucuna ulaştı.

Buna "olmayana ergi"
ile kanıtlamak adı verilir

ve rivayete göre,

tanrılar böyle yadsınmaktan hiç hoşlanmaz.

İşin ilginci, her ne kadar
irrasyonel sayıları

tam sayıların oranı olarak
ifade edemesek de,

bazılarını sayı doğrusunda
çizerek gösterebiliriz.

Kök 2'yi ele alalım.

Tek yapmamız gereken, iki kenarı
1 birim olan bir dik üçgen çizmek.

Hipotenüsün uzunluğu kök 2 olur
ve bu uzunluk eksene yatırılabilir.

Ardından tabanı bu uzunlukta olan ve

yüksekliği 1 birim olan
diğer bir dik üçgen çizebiliriz.

Bu üçgenin hipotenüsü de kök 3 olur

ve uzunluk eksene yatırılabilir.

Buradaki önemli nokta,
ondalık sayıların ve oranların,

sayıları ifade etmenin tek yolu olması.

Kök 2, kenarları 1 birim olan
dik üçgenin hipotenüsüdür.

Benzer biçimde, ünlü irrasyonel sayı pi

her zaman temsil ettiği
şeye eşittir tam olarak:

Bir çemberin çevresinin çapına oranı.

22/7 veya 355/113 gibi yaklaştırmalar,

hiçbir zaman pi'ye eşit olmaz.

Hippasus'a gerçekte ne olduğunu
asla bilemeyeceğiz,

ama bildiğimiz bir şey var ki,
keşfi matematikte devrim yarattı.

O yüzden mitler ne derse desin,
olanaksızın peşine düşmekten çekinmeyin.