Értsük meg az irracionális számokat!

A teljes leckét lásd: http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai
Mint a görög mítoszok sok hőséről, Hippasos filozófusról is azt tartják, hogy az istenek halállal büntették. De hát mi volt a bűne? Megölte a vendégeit, vagy megzavarta a szent szertartást? Nem, Hippasos vétke egy odáig bebizonyíthatatlan dolog matematikai bizonyítása volt. Ganesh Pai elmondja az irracionális számok történetét és a velük kapcsolatos matekot.

Mint a görög legendák sok hőséről,

Hippasos filozófusról is azt tartják,
hogy az istenek halállal büntették.

De hát mi volt a bűne?

Megölte a vendégeit,

vagy megzavarta a szent szertartást?

Nem, Hippasos vétke
egy matematikai bizonyítás:

az irracionális számok fölfedezése volt.

Hippasos a püthagoreus matematikusok
csoportjához tartozott,

akik vallásos hódolattal viseltettek
a számok iránt.

Kijelentésük, hogy "Minden csak szám"

arra utalt, hogy a számok
az Univerzum építőkövei,

és e hiedelem része,
hogy a kozmológiától a metafizikáig

és a zenéig meg az erkölcsig
minden örök szabályokat követ,

amelyek számok hányadosaként írható le.

Így minden szám hányadosként írható le.

Az 5 az 5/1 alakban,

a 0,5 az 1/2 alakban

és így tovább.

Még a végtelen tizedestört, pl. ez,
pontosan kifejezhető 34/45 alakban.

Ezeket racionális számoknak hívjuk.

De Hippasos talált egy számot,
amely megsérti e harmonikus szabályt,

amelynek a létezését nem feltételezték.

Az ügy egy közönséges idommal,

olyan négyzettel kezdődött,
amelynek oldalai egységnyiek.

A Püthagorasz-tétel szerint

az átló hossza négyzetgyök kettő lesz,

de Hippasos bárhogy is próbálkozott, nem
tudta kifejezni két szám hányadosaként.

De kitartó volt, és úgy döntött, hogy
bebizonyítja: a feladat megoldhatatlan.

Hippasos kezdetben föltételezte,
hogy a püthagoraszi fölfogás igaz,

miszerint a gyök kettő kifejezhető
két szám hányadosaként.

Ezeket a föltételezett egész számokat
p-nek és q-nak nevezte el.

Ha a hányadost teljesen egyszerűsítettük,

p-nek és q-nak nem lehet
már közös tényezője.

Hogy bebizonyítsa a gyök kettőről,
hogy nem racionális szám,

Hippasosnak csupán azt kellett
bizonyítania, hogy p/q nem létezhet.

Ezért az egyenlet mindkét oldalát
megszorozta q-val,

és négyzetre is emelte.

Ezt az egyenletet kapta.

Bármely számot kettővel megszorozva
páros számot kapunk,

ezért a p²-nek páros számnak kell lennie.

De ez nem lehet igaz, ha p páratlan szám,

mert bármely páratlan szám
önmagával szorozva mindig páratlant ad,

ezért p is páros szám.

Ezért p kifejezhető 2a-ként,
ahol a egy egész szám.

Ezt az egyenletbe behelyettesítve
és egyszerűsítve

az eredmény q² = 2a².

Még egyszer: bármely szám kettővel
szorozva mindig páros számot ad,

ezért q²-nek párosnak kell lennie,

és q-nak is párosnak kell lennie,

így mind a q, mind a p páros szám.

De ha ez igaz, akkor mindkettőben
a 2 közös tényező,

ami ellentmond az eredeti állításnak.

Hippasos így következtette ki,
hogy nem létezik ilyen hányados.

Ezt nevezik indirekt bizonyításnak.

A legenda szerint az istenek

nem tűrték, hogy ellentmondjanak nekik.

Érdekes, hogy bár az irracionális számok
nem fejezhetők ki

egész számok hányadosaként,

de a számegyenesen némelyikük
pontosan elhelyezhető.

Nézzük például a gyök 2-t.

Rajzoljunk egy egységnyi befogójú
derékszögű háromszöget.

Az átfogója gyök 2 hosszúságú,
amit rámérhetünk a számegyenesre.

Rajzolhatunk egy gyök 2 befogójú

és egy egységnyi befogójú
derékszögű háromszöget;

ennek az átfogója gyök 3 lesz.

Ezt is rámérhetjük a számegyenesre.

A lényeg: a tizedes tört és a hányados
csak a számok egyfajta kifejezésmódja.

A gyök 2 egyszerűen az egységnyi befogójú

derékszögű háromszög átfogója.

A híres irracionális szám, a pi,

pontosan egyenlő egy kör kerületének

és átmérőjének hányadosával.

A közelítések, pl. a 22/7

vagy a 355/113 soha nem
pontosan egyenlő pi-vel.

Nem tudjuk, hogy valójában
mi történt Hippasossal,

de azt viszont igen, hogy fölfedezése
forradalmasította a matematikát.

Szóljon bárhogyan is a legenda,
ne féljünk fölfedezni a lehetetlent!