Darles sentido a los números irracionales - Ganesh Pai

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Al igual que muchos héroes de la mitología griega, se decía que el filósofo Hípaso fue castigado a muerte por los dioses. Pero ¿cuál fue su crimen? ¿Asesinó a los huéspedes, o interrumpió un ritual sagrado? No, la transgresión de Hípaso consistió en demostrar matemáticamente lo hasta entonces imposible de demostrar. Ganesh Pai describe la historia y las matemáticas que hay detrás de los números irracionales.

Lección de Ganesh Pai, animación de Anton Trofimov.

Al igual que muchos héroes
de la mitología griega,

se decía que el filósofo Hípaso fue
castigado a muerte por los dioses.

Pero ¿cuál fue su crimen?

¿Asesinó a los huéspedes,

o interrumpió un ritual sagrado?

No, la transgresión de Hípaso
fue una demostración matemática:

el descubrimiento de los
números irracionales.

Hípaso pertenecía a un grupo
llamado matemáticos pitagóricos

que tenía una veneración
religiosa por los números.

Su dicho de "Todo es un número"

sugería que los números eran
los bloques de construcción del universo

y parte de esta creencia era que todo,
desde la cosmología y la metafísica

hasta la música y la moral,
seguía reglas eternas

descriptibles como cocientes de números.

Por lo tanto, cualquier número
podía escribirse como una proporción.

5 como 5/1,

0,5 como 1/2,

etcétera.

Incluso un decimal infinito como este
se podía expresar como 34/45.

Son los que ahora llamamos
números racionales.

Pero Hípaso encontró un número
que viola esta regla armoniosa,

que no se suponía que existiera.

El problema empezó
con una forma sencilla,

un cuadrado en el que cada lado
medía una unidad.

Según el teorema de Pitágoras,

la longitud de la diagonal
sería la raíz cuadrada de 2,

pero por más que lo intentó,

Hípaso no pudo expresarlo
como una fracción de enteros.

Y en vez de rendirse, decidió
demostrar que no era posible.

Hípaso empezó suponiendo que la visión
del mundo de Pitágoras era verdadera,

que la raíz de 2 podría expresarse como
una proporción de dos números enteros.

Etiquetó a estos enteros hipotéticos
como p y q.

Suponiendo que la proporción
se redujo a su forma más simple,

p y q no podían tener
ningún factor común.

Para demostrar que la raíz cuadrada
de 2 no era racional,

Hípaso solo tenía que probar
que p/q no puede existir.

Para esto multiplicó ambos lados
de la ecuación por q

y elevó al cuadrado ambos lados,

eso le dio esta ecuación.

Multiplicar cualquier número
por 2 da un número par,

así que p^2 tenía que ser par.

Eso no podía ser cierto
si p era impar

porque un número impar multiplicado
por sí mismo es siempre impar,

por lo que, entonces, p era par.

Por lo tanto, p podría expresarse
como 2a, donde a es un número entero.

Sustituyendo esto en la ecuación
y simplificando

daba q^2 = 2a^2.

Una vez más, dos veces cualquier
número da un número par,

por lo que q^2 debe haber sido par,

y q debe haber sido par también,

por lo tanto p y q serían pares.

Pero si eso era cierto, entonces
tenían a 2 como factor común,

lo que contradice la declaración inicial,

y así Hípaso concluyó que
no existe tal proporción.

Es una prueba por reducción al absurdo

y, según la leyenda,

los dioses no apreciaron
ser rebatidos.

Curiosamente, si bien no se puede
expresar números irracionales

como proporciones de números enteros,

es posible graficar con precisión
algunos de ellos en la recta numérica.

Ej., la raíz cuadrada de 2.

Formamos un triángulo rectángulo
donde cada lado mide una unidad.

La hipotenusa mide raíz cuadrada de 2,
y puede ampliarse por la línea.

Luego podemos formar otro
triángulo rectángulo

con una base de esa longitud
y una altura de una unidad,

y su hipotenusa sería igual
a la raíz cuadrada de 3,

que puede ampliarse
por la línea, también.

La clave es que decimales y proporciones
son solo formas de expresar números.

La raíz cuadrada de 2 es la hipotenusa
de un triángulo rectángulo

con lados de longitud uno.

Del mismo modo, el famoso
número irracional pi

siempre es igual a lo que representa:

la proporción de la circunferencia
de un círculo a su diámetro.

Aproximaciones como 22/7,

o 355/113 nunca serán exactamente pi.

Nunca sabremos qué le pasó
realmente a Hípaso,

pero sí sabemos que su descubrimiento
revolucionó las matemáticas.

Así que sin importar qué digan los mitos,
no temas a explorar lo imposible.