A última banana: um experimento de pensamento em probabilidade- Leonardo Barichello

Veja a lição em: http://ed.ted.com/lessons/the-last-banana-a-thought-experiment-in-probability-leonardo-barichello
Imagine um jogo de dados: se o maior número que sair for um, dois, três ou quatro, o jogador 1 ganha. Se o maior número que sair for cinco e seis, o jogador 2 ganha. Quem tem a melhor probabilidade de ganhar o jogo? Leonardo Barichello explica como a probabilidade tem a resposta para este quebra-cabeças.

Lição por Leonardo Barichello, animação por Ace & Son Moving Picture Co, LLC.

Você e um amigo náufrago
estão presos numa ilha deserta

apostando nos dados a última banana.

Vocês combinaram as seguintes regras:

Vocês irão jogar dois dados.

Se o maior número for
um, dois, três ou quatro,

o jogador 1 ganha.

Se o maior número for cinco ou seis,
o jogador 2 ganha.

Vamos tentar mais duas vezes.

Aqui, ganha o jogador 1,

e aqui o jogador 2.

Então qual deles você quer ser?

À primeira vista, parece
que o jogador 1 tem a vantagem,

uma vez que ele ganhará se qualquer
um dos quatro números for o maior,

mas, na verdade,

o jogador 2 tem aproximadamente 56%
de chance de ganhar cada jogo.

Uma maneira de ver isso é listar todas
as combinações possíveis que existem

jogando dois dados,

e depois contar os que
cada jogador ganha.

Estas são as possibilidades
para os dados amarelos.

Estas são as possibilidades
para os dados azuis.

Cada célula na tabela mostra uma possível
combinação quando você joga os dados.

Se você tirar um quatro
e depois um cinco,

marcamos uma vitória
para o jogador 2.

Um três e um 1 dão a vitória
ao primeiro jogador.

Há 36 combinações possíveis,

cada uma com exatamente a
mesma chance de acontecer.

Os matemáticos chamam isso de
"acontecimentos equiprováveis".

Agora podemos ver por que
a primeira impressão estava errada.

Mesmo que o jogador 1
tivesse quatro números vencedores

e o jogador 2 tivesse apenas dois,

a chance de cada número
ser o maior não é a mesma.

Só há uma chance de 1 em 36
que o número 1 seja o maior.

mas há uma hipótese de 11 em 36
que o número 6 seja o maior.

Então, se tirar alguma
dessas combinações,

o jogador número 1 ganha.

E se saírem as outras combinações,

o jogador número 2 ganha.

Entre as 36 combinações possíveis,

só 16 dão a vitória ao jogador 1
e 20 dão a vitória ao jogador 2.

Você também pode pensar de outra forma.

A única maneira em que
o jogador 1 pode ganhar

é se ambos os dados mostrarem
um, dois, três ou quatro.

Um cinco ou seis significaria
uma vitória para o jogador 2.

A chance de um dado mostrar
um, dois, três ou quatro é de 4 em 6.

Os resultados dos lançamentos de dados
são independentes uns dos outros.

Você pode calcular a probabilidade
conjunta de acontecimentos independentes

multiplicando as suas probabilidades.

Assim a chance de obter um, dois,
três ou quatro nos dois dados

é 4 em 6 vezes 4 em 6,
ou seja, 16 em 36.

Como alguém tem que ganhar,

a chance de o jogador 2 vencer
é de 36 em 36 menos 16 em 36,

ou seja, 20 em 36.

Essas são exatamente as mesmas
probabilidades que calculamos na tabela.

Mas isto não significa que
o jogador 2 vai ganhar,

ou que, se você jogar 36 jogos
como jogador 2, vá ganhar 20 vezes.

Isso porque eventos como
lançamento de dados são aleatórios.

Mesmo que você possa calcular
a probabilidade teórica

de cada resultado,

não obterá os resultados esperados
se examinar apenas alguns acontecimentos.

Mas se repetir esses acontecimentos
aleatórios muitas e muitas vezes,

a frequência de resultados específicos,
como uma vitória do jogador 2,

se aproximará da sua
probabilidade teórica,

do valor que obtivemos,
listando todas as possibilidades

e contando os "uns" em cada resultado.

Portanto, se você ficasse nessa ilha
deserta jogando dados eternamente,

o jogador 2 acabaria
ganhando 56% dos jogos

e o jogador 1 ganharia 44% das vezes.

Mas, nessa altura, claro,
a banana já teria desaparecido.