De quantas maneiras conseguimos dispor um baralho de cartas? — Yannay Khaikin

Vejam a lição completa em: http://ed.ted.com/lessons/how-many-ways-can-you-arrange-a-deck-of-cards-yannay-khaikin

Um baralho. Cinquenta e duas cartas. Quantos arranjos? Vejamos assim: De cada vez que seguramos um baralho bem baralhado, quase de certeza estamos a segurar um arranjo de cartas que nunca existiu e que poderá nunca existir novamente. Yannay Khaikin explica como os factoriais nos permitem determinar o número exacto (muito grande) de permutações, num baralho tradicional de cartas.

Lição de Yannay Khaikin, animação de The Moving Company Animation Studio.

Tire uma carta,
qualquer carta.

Na verdade, tire todas e olhe para elas.

Este baralho tradicional de 52 cartas
é usado há séculos.

Todos os dias, milhares como ele

são baralhados
em casinos por todo o mundo,

e de cada vez, muda-se a ordem das cartas.

E no entanto, sempre que temos
um baralho bem baralhado

como este,

é quase certo que estamos a segurar

uma ordem de cartas

que nunca existiu em toda a história.

Como é que isto é possível?

A resposta reside em
quantas ordens diferentes

de 52 cartas, ou quaisquer objectos,
são possíveis.

Bom, 52 pode não parecer um número grande,

mas vamos começar com um mais pequeno.

Admitamos que temos quatro pessoas
a tentarem sentar-se

em quatro cadeiras numeradas.

De quantas formas se podem sentar?

Para começar,
todas as quatro pessoas se podem sentar

na primeira cadeira.

É feita uma escolha,

e apenas sobram três pessoas em pé.

Após a segunda pessoa se sentar,

apenas sobram duas pessoas como candidatas

para a terceira cadeira.

E após a terceira pessoa se sentar,

a última pessoa não tem escolha

a não ser sentar-se na quarta cadeira.

Se escrevermos à mão
todas as ordens possíveis,

ou permutações,

parece que existem 24 formas

de quatro pessoas se sentarem
em quatro cadeiras,

mas quando lidamos com números maiores,

isto pode demorar um bocado.

Então, vamos ver se existe
uma maneira mais rápida.

Partindo do início,

podemos ver que cada uma
das quatro opções iniciais

para a primeira cadeira,

leva a três opções para a segunda,

e cada uma dessas opções

leva a mais duas para a terceira cadeira.

Então, em vez de contar cada cenário final
de forma individual,

podemos multiplicar o número de opções
para cada cadeira:

quatro vezes três vezes dois vezes um

para alcançar o mesmo resultado de 24.

Surge um padrão interessante.

Começamos pelo número de objectos
que estamos a baralhar,

quatro neste caso,

e multiplicamos sucessivamente
por inteiros mais pequenos

até atingirmos o um.

Isto é uma descoberta emocionante.

Tão emocionante
que os matemáticos decidiram

simbolizar este tipo de cálculo,

conhecido por factorial,

com um ponto de exclamação.

Regra geral, o factorial
de qualquer número inteiro positivo

é calculado pelo produto

do mesmo inteiro

por todos os inteiros
mais pequenos, até um.

No nosso exemplo simples,

o número de formas que quatro pessoas

se podem sentar em cadeiras

é dado por quatro factorial,

que é igual a 24.

Voltemos ao nosso baralho.

Tal como havia quatro factorial formas

de baralhar as pessoas,

existem 52 factorial formas

de baralhar 52 cartas.

Felizmente,
não temos de calcular isto à mão.

Basta inserir a função na calculadora,

e ela mostra que o número

de formas possíveis

é 8.07 x 10 elevado a 67,

ou aproximadamente
oito seguido de 67 zeros.

Quão grande é este número?

Bom, se uma permutação de 52 cartas

fosse escrita a cada segundo,

começando há 13,8 mil milhões
de anos atrás,

quando se pensa que o "Big Bang" ocorreu,

ainda hoje se estava a escrever

e continuaria por milhões de anos.

De facto, existem mais formas possíveis

de dispor este simples
baralho de cartas

do que átomos na Terra.

Da próxima vez que for
a sua vez de baralhar,

pare um pouco para se lembrar

que está a segurar algo

que pode nunca ter existido

e que poderá nunca existir novamente.