¿De cuántas maneras se puede barajar un mazo de cartas? - Yannay Khaikin

Ver la lección completa en: http://ed.ted.com/lessons/how-many-ways-can-you-arrange-a-deck-of-cards-yannay-khaikin

Un mazo. Cincuenta y dos cartas. ¿Cuántas combinaciones? Vamos a ponerlo de esta manera: Cada vez que tomas un mazo bien barajado, es casi seguro que tengas en tus manos una combinación de cartas que nunca antes existió y podría no volver a existir. Yannay Khaikin explica cómo los factoriales nos permiten precisar la cantidad exacta (muy grande) de permutaciones en un mazo de cartas.

Lección de Yannay Khaikin, animación de The Moving Company Animation Studio.

Elige una carta, cualquiera.

En realidad, levanta todas y ve.

Este mazo de 52 cartas
se ha usado durante siglos.

Todos los días,
miles al igual que este

se barajan en los casinos
de todo el mundo,

y el orden cambia cada vez.

Y, sin embargo, cada vez que
levantas un mazo bien barajado

como este,

casi con seguridad tienes

una disposición de cartas

que nunca antes ha existido
en toda la historia.

¿Cómo puede ser?

La respuesta radica en el
número de combinaciones diferentes

posibles de 52 cartas,
o de cualquier objeto.

52 puede no parece
un número muy alto,

pero empecemos con uno
incluso más pequeño.

Digamos que tenemos 4 personas
tratando de sentarse

en 4 sillas numeradas.

¿De cuántas formas pueden sentarse?

Para empezar, cualquiera de
las 4 personas puede sentarse

en la primera silla.

Una vez resuelto eso,

solo quedan 3 personas de pie.

Cuando se sienta la segunda persona,

solo quedan 2 personas candidatas

para la tercera silla.

Y cuando se sienta
la tercera persona,

la última persona parada
no tiene otra opción

que sentarse en la cuarta silla.

Si escribimos a mano todas
las combinaciones posibles,

o permutaciones,

resulta que hay 24 maneras

en que 4 personas pueden
sentarse en 4 sillas,

pero al tratar con
números más grandes,

esto puede demorar bastante.

Veamos si hay una
manera más rápida.

Empezando desde el
principio otra vez

puedes ver que cada una de
las 4 opciones iniciales

para la primera silla

lleva a 3 posibles opciones más
para la segunda silla,

y cada una de esas 3 opciones

lleva a 2 posibles opciones más,
para la tercera silla.

Por eso en vez de contar cada
escenario final en forma individual

podemos multiplicar la cantidad
de opciones para cada silla:

4 por 3 por 2 por 1

para obtener el
mismo resultado, 24.

Aparece un patrón interesante.

Empezamos con la cantidad de
objetos que queremos organizar,

4 en este caso,

y lo multiplicamos por números
consecutivos más pequeños

hasta llegar a 1.

Este es un descubrimiento apasionante.

Tanto, que los matemáticos han optado

por representar este tipo de cálculo,

conocido como factorial,

con un signo de exclamación.

Como regla general, el factorial
de cualquier entero positivo

se calcula como el producto

de ese mismo entero

por todos los enteros
más pequeños hasta 1.

En nuestro ejemplo simple,

la cantidad de formas
en que 4 personas

pueden acomodarse en 4 sillas

se escribe como 4 factorial,

que es igual a 24.

Volvamos a nuestro mazo.

Al igual que había
4 factorial formas

de acomodar 4 personas,

hay 52 factorial formas

de disponer 52 cartas.

Afortunadamente, no tenemos
que calcular esto a mano.

Basta con ingresar la función
en una calculadora

y mostrará que la cantidad

de formas posibles

es 8,07 x 10^67,

o, más o menos, 8 seguido de 67 ceros.

¿Cuán grande es ese número?

Bueno, si escribiéramos
cada permutación

de 52 cartas en un segundo

y empezamos hace
13 800 millones de años,

cuando se piensa que
ocurrió el Big Bang,

todavía hoy se estaría escribiendo

y seguiría durante millones de años.

De hecho, hay más formas posibles

de combinar este mazo de cartas

que átomos en la Tierra.

Así que la próxima vez que mezcles,

tómate un momento para recordar

que estás sosteniendo algo que

quizá nunca antes existió

y nunca vuelva a existir.