Auf wie viele verschiedene Arten kann man ein Kartendeck anordnen? – Yannay Khaikin

Ganze Lektion unter: http://ed.ted.com/lessons/how-many-ways-can-you-arrange-a-deck-of-cards-yannay-khaikin

Ein Kartendeck. 52 Karten. Wie viele Anordnungsmöglichkeiten? Sagen wir mal so: Bei jedem gut gemischten Deck hast du fast sicher eine Anordnung an Karten in der Hand, die noch nie zuvor existiert hat und vielleicht nie wieder existieren wird. Yannay Khaikin erklärt, wie Fakultäten es uns erlauben, die exakte (sehr große) Anzahl an Permutationen in einem gewöhnlichen Kartendeck festzulegen.

Lektion von Yannay Khaikin, Animation von The Moving Company Animation Studio.

Zieh irgendeine Karte.

Genauer gesagt, nimm alle
und schau sie dir an.

Dieses normale Deck mit 52 Karten
wird seit Jahrhunderten verwendet.

Täglich werden Tausende wie dieses

in Casinos auf der ganzen Welt gemischt,

wobei sie stets neu angeordnet werden.

Doch bei jedem gut gemischten Kartendeck,

wie z. B. diesem,

bekommst du fast sicher
eine Anordnung an Karten,

die vorher noch nie existiert hat.

Wie ist das möglich?

Die Antwort liegt in der Anzahl
möglicher verschiedener Anordnungen

von 52 Karten oder anderen Objekten.

Die Zahl 52 klingt zwar nicht sehr groß,

aber fangen wir
mit einer noch kleineren an.

Angenommen, wir möchten 4 Personen
auf 4 nummerierte Stühle setzen.

Auf wie viele Arten geht das?

Anfangs kann jede Person
auf Stuhl 1 sitzen.

Nach dieser Entscheidung
bleiben nur noch 3 Personen.

Setzt sich die zweite Person,

sind nur noch 2 Kandidaten
für Stuhl 3 übrig.

Sobald die dritte Person sitzt,

kann sich die letzte Person
nur noch auf Stuhl 4 setzen.

Schreibt man alle denkbaren Anordnungen
oder Permutationen von Hand heraus,

ergeben sich 24 Möglichkeiten,

um 4 Personen auf 4 Stühle zu setzen.

Doch bei größeren Zahlen
kann das eine ganze Weile dauern.

Mal sehen, ob das auch schneller geht.

Also noch mal von vorn:

Jede der 4 anfänglichen
Entscheidungen für Stuhl 1

führt zu 3 weiteren
Entscheidungen für Stuhl 2

und jede dieser Entscheidungen

führt zu 2 weiteren für Stuhl 3.

Anstatt alle Situationen
einzeln zu zählen,

multiplizieren wir die Anzahl
der Möglichkeiten für jeden Stuhl,

also 4 x 3 x 2 x 1,

und erhalten dasselbe Ergebnis: 24.

Es entsteht ein interessantes Muster.

Wir beginnen mit der Anzahl
der gegebenen Objekte,

in diesem Fall 4,

und multiplizieren sie mit
fortlaufend kleineren ganzen Zahlen,

bis wir 1 erreichen.

Das ist eine spannende Entdeckung --

so spannend, dass Mathematiker
entschieden haben,

diese als Fakultät bekannte Berechnung
mit einem Ausrufezeichen zu versehen.

Grundsätzlich gilt: Die Fakultät
jeder beliebigen natürlichen Zahl

wird durch das Produkt derselben Zahl

und allen kleineren ganzen Zahlen
bis zur Zahl 1 berechnet.

In unserem Beispiel schreibt man
die Anzahl der Anordnungen

von 4 Personen auf 4 Stühlen
als "4 Fakultät", was 24 ergibt.

Zurück zu unserem Kartendeck.

So wie es 4 Fakultät
verschiedene Möglichkeiten gab,

4 Personen zu setzen,

gibt es 52 Fakultät Möglichkeiten,
52 Karten anzuordnen.

Zum Glück müssen wir das
nicht von Hand ausrechnen.

Gib die Funktion
in einen Taschenrechner ein

und du siehst:

Die Anzahl möglicher Anordnungen
beträgt 8,07 x 10^67,

grob gesagt, eine 8 gefolgt von 67 Nullen.

Wie groß ist diese Zahl eigentlich?

Schriebe man jede Sekunde
eine neue Permutation von 52 Karten aus

und hätte man damit
vor 13,8 Milliarden Jahren begonnen,

als sich der Urknall ereignet haben soll,

dann schriebe man noch heute
und weitere Jahrmillionen daran.

Tatsächlich gibt es mehr Möglichkeiten,
dieses einfache Kartendeck anzuordnen,

als Atome auf der Erde.

Wenn du das nächste Mal
die Karten mischst,

denk kurz daran,

dass du etwas nie Dagewesenes
in der Hand halten könntest,

das es vielleicht nie wieder gibt.