В чём прелесть математики?

Наш мир таит в себе множество нераскрытых истин; они недоступны нашему восприятию, но математика позволяет выходить за рамки интуиции и открывать эти тайны. В своём обзоре важнейших научных прорывов в математике обладатель Филдсовской премии Седрик Виллани говорит о волнующем моменте открытия и раскрывает подробности полной загадок жизни математика. «Красивые математические выкладки служат не только для нашего удовольствия, — говорит он. — Они меняют наше мировоззрение».

В чём французы преуспели больше других?

Если бы проводился такой опрос,

на первом месте оказались бы три ответа:

в любви, вине и нытье.

(Смех)

Пожалуй.

Но позвольте предложить вам
и четвёртый ответ:

в математике.

Известно ли вам, что в Париже
математиков больше,

чем в любом другом городе мира?

А также больше улиц,
носящих имена математиков.

И если взглянуть на статистику
лауреатов Филдсовской премии,

часто называемой
Нобелевской премией в математике

и присуждаемой математикам
моложе 40 лет,

количество обладателей Филдсовской премии
на душу населения во Франции больше,

чем в любой другой стране.

Так чем же соблазняет нас математика?

Ведь это скучная и абстрактная наука,

где нет ничего, кроме чисел, расчётов
и применения правил.

Соглашусь, что математика абстрактна,

но уж никак не скучна

и вовсе не ограничивается расчётами.

Её суть — в логических рассуждениях

и поиске доказательств основной идеи.

Для этого необходимо воображение —

талант, который мы ценим больше всего.

Её суть — в поиске истины.

Ничто не сравнится с тем чувством,
которое охватывает вас,

когда после месяцев усердных раздумий

вас вдруг осеняет, как именно
можно решить вашу задачу.

Великий математик Андре Вейль
сравнил его —

я не шучу —

с сексуальным наслаждением.

С той разницей, что это чувство
может продлиться часы, а то и дни.

Это огромное удовлетворение.

Наш физический мир полон
скрытых математических истин.

Их не обнаружить при помощи
данных нам чувств,

но можно увидеть
сквозь математическую призму.

Закройте на минуту глаза

и подумайте о том,
что прямо сейчас происходит вокруг.

Невидимые глазу молекулы воздуха
ударяются об вас

миллиардами миллиардов каждую секунду

в совершенном беспорядке.

И тем не менее

их распределение можно точно предсказать
с помощью математической физики.

А теперь откройте глаза

на статистику скоростей этих молекул.

Это знаменитое колоколообразное
распределение Гаусса,

или закон погрешностей, —

нормальное отклонение
от среднестатистического поведения.

Эта кривая отображает нормальное
распределение скоростей частиц

точно так же, как демографическая кривая

отображает возрастную
статистику населения.

Это одна из важнейших кривых на свете.

Она встречается снова и снова,

во многих теориях и экспериментах,

как высший пример универсальности,

которая так дорогá нам, математикам.

Этому закону

посвящены слова знаменитого учёного
Франсиса Гальтона:

«Если бы древние греки о нём знали,
они бы его обожествили.

Это высший закон иррациональности».

И нет лучшего способа материализовать
это божество, чем доска Гальтона.

Доска состоит из узких туннелей,

в которые случайным образом
падают шарики,

отскакивая то вправо, то влево
и так далее.

Всё происходит хаотично, как попало.

Давайте посмотрим, что произойдёт
со всеми этими случайными траекториями.

(Трясёт доску)

Нужно немного потрудиться,

так как нам приходится избавляться
от образующихся пробок.

Ага.

Представляете, если случайность
подведёт меня сейчас на сцене.

Вот она!

Наша верховная богиня иррациональности —

кривая Гаусса.

Мы поймали её в этот прозрачный ящик,
как Сон в комиксе «Песочный человек».

Вам я её просто показал,

но своим студентам я объясняю, почему
никакой иной кривой быть и не могло.

Тут мы прикасаемся к тайне нашей богини,

заменяя прекрасную случайность
прекрасным объяснением.

То же происходит в любой науке.

Прекрасные математические объяснения
служат не только для нашего удовольствия.

Они также изменяют наше мировоззрение.

Например,

Эйнштейн,

Перрин,

Смолуховский —

с помощью математического анализа
случайных траекторий

и распределения Гаусса

они обнаружили и доказали,
что наш мир состоит из атомов.

Это был не первый случай,

когда математики радикально
изменили наше представление о мире.

Такое случалось уже более 2 000 лет назад,

во времена древних греков.

В те времена

была изучена лишь малая часть света,

и Земля многим казалась бесконечной.

Но умный Эратосфен

математическим путём

смог определить размер Земли
с погрешностью лишь в 2%.

Другой пример.

В 1673 году Жан Рише заметил,

что колебания маятника в Кайенне
немного медленнее, чем в Париже.

Благодаря лишь этому наблюдению
и гениальной математике

Ньютон пришёл к верному выводу о том,

что Земля чуть приплюснута у полюсов,

где-то на 0,3% —

это настолько мáло, что не может быть
замечено даже на реальном снимке Земли.

Эти истории подтверждают то,

что математика способна вывести нас
за рамки нашей интуиции,

позволить измерить
кажущуюся бесконечной Землю,

увидеть невидимые атомы

или определить неразличимые
отклонения по форме.

И если в этом выступлении
и найдётся что-то полезное для вас,

то это именно оно:

математика позволяет нам
выходить за рамки интуиции

и исследовать территории,
которые нам иначе и не вообразить.

А вот современный пример,
который всем вам хорошо знакóм:

поиск в интернете.

Во всемирной паутине

более миллиарда веб-страниц,

вы же не будете лазить по ним всем.

Вычислительные мощности помогают,

но без математической модели
было бы бесполезно

искать информацию,
спрятанную в таком объёме данных.

Рассмотрим такую мини-задачку.

Представьте, что вы детектив,
расследующий преступление,

в котором задействовано множество людей,
каждый со своей версией событий.

Кого допросить в первую очередь?

Разумный ответ:

непосредственных свидетелей.

Но посмотрите,

предположим, что человек под номером семь

вам что-то рассказал,

признавшись, что сам узнал об этом

от человека под номером три.

А номер третий, в свою очередь,

в качестве источника информации
указывает на первого.

Первый был свидетелем преступления,

поэтому я непременно должен
допросить его в первую очередь.

Но на графике

мы видим, что четвёртый —
тоже непосредственый свидетель.

Пожалуй, лучше допросить сначала его,

так как на него указало больше человек.

Ладно, это было просто,

но что, если у вас масса людей,
готовых дать показания?

Представьте, что этот график

изображает всех людей, давших показания
в запутанном преступлении,

но он также может изображать
указывающие друг на друга веб-страницы,

то есть содержащие ссылки на другие сайты.

Которые из них наиболее значимые?

Это не очевидно.

Возьмите PageRank,

один из ранних краеугольных
алгоритмов Google.

Алгоритм использует законы
математической случайности

для автоматического определения
наиболее значимых страниц

так же, как мы использовали случайность
в эксперименте с доской Гальтона.

Давайте запустим в этот график

горсть цифровых шариков

и позволим им случайным образом
прокатиться по графику.

Каждый раз, оказавшись
на одном из сайтов,

они продолжат путь,
следуя по случайно выбранной ссылке.

И так далее, и так далее.

А растущими столбиками

мы обозначим количество
заходов на страницу

нашими цифровыми шариками.

Поехали.

Случайность, случайность.

Давайте время от времени

для развлечения будем перепрыгивать
совсем уж произвольно.

И взгляните:

из полного хаоса вырисовывается решение.

Самые высокие столбики
соответствуют тем сайтам,

которые наиболее задействованы,

на которые ссылаются больше всего.

И нам становится ясно,

какие веб-страницы
интересуют нас в первую очередь.

И снова

решение появляется из случайности.

Разумеется, с тех пор

в Google придумали намного более
изощрённые алгоритмы,

но уже и этот был прекрасен.

И всё же

это лишь одна из миллиона задач.

С появлением цифрового пространства

всё больше и больше задач
опираются на математический анализ,

делая профессию математика
всё более и более востребованной.

Востребованной настолько,
что несколько лет назад

она оказалась профессией номер 1
среди сотен профессий

в исследовании самых лучших
и самых худших профессий,

опубликованном в Wall Street
Journal в 2009 году.

Математик —

лучшая профессия в мире?!

Это благодаря её применению

в теории коммуникаций,

в теории информации,

в теории игр,

при обработке сигналов,

машинном обучении,

графическом анализе,

гармоническом анализе.

А как насчёт вероятностных процессов,

линейного программирования

или моделирования жидкости?

Каждая их этих областей имеет
колоссальные промышленные применения.

А следовательно,

в математику вкладываются большие деньги.

И я допускаю,

что если говорить об извлечении
денег из математики,

то тут американцы впереди планеты всей,

с их умными, выдающимися миллиардерами
и поразительными гигантскими фирмами,

опирающимися, по сути,
на хорошие алгоритмы.

Вот теперь красивая,
востребованная и с деньгами,

математика и в самом деле
выглядит более соблазнительной.

Но не подумайте,

что у учёного-математика лёгкая жизнь.

Она наполнена недоумением,

разочарованием,

отчаянными попытками понять.

Позвольте рассказать вам

об одном из самых поразительных
дней в моей математической карьере.

Или, лучше сказать,

одной из самых поразительных ночей.

В то время

я работал в Институте перспективных
исследований в Принстоне,

где провёл многие годы
Альберт Эйнштейн, —

я бы сказал, «святая святых»
математических исследований в мире.

В ту самую ночь я безуспешно бился
над выводом одного доказательства,

которое упорно от меня ускользало.

Я пытался разобраться

в парадоксальном свойстве
устойчивости плазм,

являющихся по сути кучей электронов.

В идеальном мире плазмы

не существует ни столкновений,

ни трения для обеспечения
привычной для нас устойчивости.

И тем не менее

при малейшем нарушении
плазменного равновесия

вы обнаружите, что образующееся
в результате электрическое поле

спонтанно исчезает,

или испаряется,

как бы под влиянием некой
таинственной силы трения.

Это парадоксальное явление,

называемое затуханием Ландау,

неимоверно важно в физике плазмы,

и оно было открыто математическим путём.

И всё же

понять до конца это явление
математикам прежде не удавалось.

Вместе с моим бывшим студентом
и ближайшим коллегой Клементом Муо,

тогда ещё в Париже,

мы работали над этим доказательством
в течение долгих месяцев.

На самом деле

я по недоразумению уже объявил,
что мы нашли решение.

Но по правде говоря,

наше доказательство просто не сходилось.

Несмотря на более чем сотню страниц
сложнейших математических выкладок,

ряд промежуточных открытий,

огромного количества расчётов,

доказательство не работало.

И в ту ночь в Принстоне

одно расхождение в цепи умозаключений
просто сводило меня с ума.

Я вкладывал в него всю свою энергию,
опыт и известные мне приёмы,

но ничего не получалось.

Час ночи, два часа, три часа —

всё тщетно.

Около четырёх я отправляюсь спать
в подавленном состоянии.

Спустя несколько часов

я просыпаюсь и думаю:

«Ох, пора собирать детей в школу...»

Но что это?

Вдруг я услышал голос, клянусь.

«Перенеси вторую переменную вправо,

примени преобразование Фурье
и инверсию по L2».

(Смех)

Чёрт возьми,

это было началом решения!

Понимаете,

я думал, что немного отдохнул,

а на самом деле мой мозг
продолжал работать.

В такие моменты

вы не думаете ни о карьере, ни о коллегах,

это сражение один на один с проблемой.

Безусловно,

не мешает получить повышение
в награду за свой тяжкий труд.

После того как мы закончили
тот грандиозный анализ затухания Ландау,

мне посчастливилось

получить самую желанную премию Филдса

из рук мадам президента Индии

в Хайдарабаде 19 августа 2010 года —

награду, о которой любой математик
и мечтать-то не смеет.

Этот день я буду помнить всю жизнь.

Что приходит на ум

в такой момент?

Конечно, гордость.

И чувство благодарности коллегам,
которые сделали это возможным.

Поскольку это было
коллективным достижением,

им надо было поделиться,
причём не только со своими коллегами.

Я уверен, что каждый понимает
волнение математического поиска

и может поделиться увлекательными
историями о стоя́щих за ним людях и идеях.

Вместе с моими коллегами
в Институте Анри Пуанкаре,

вместе с партнёрами и художниками
мировой математической коммуникации

мы работаем над созданием собственного
музея, посвящённого математике.

Так что через пару лет,

когда будете в Париже,

отведав великолепный, хрустящий
багет и печенье макарон,

прошу вас, зайдите к нам
в Институт Анри Пуанкаре

и разделите с нами
нашу математическую мечту.

Спасибо.

(Аплодисменты)