O que tem a matemática de tão sexy?

As verdades escondidas permeiam o nosso mundo; são inacessíveis aos nossos sentidos, mas a matemática permite-nos ir além da nossa intuição para revelar os seus mistérios. Nesta descrição de inovações matemáticas, o vencedor da Medalha Fields Cédric Villani fala do entusiasmo da descoberta e dos detalhes da vida de um matemático, por vezes tão cheia de perplexidades. "As explicações matemáticas belas não são só para o nosso prazer", diz ele. "Mudam a nossa visão do mundo."

O que é que os franceses fazem melhor
do que todos os outros?

Se fizéssemos um inquérito,

as três respostas mais votadas
poderiam ser:

amor, vinho e resmunguices.

(Risos)

Talvez.

Mas deixem-me sugerir uma quarta opção:

matemática.

Sabiam que Paris tem mais matemáticos

do que qualquer outra cidade do mundo?

E mais ruas com nomes
de matemáticos, também.

Se olharem para as estatísticas
da Medalha Fields,

muitas vezes chamada
o Prémio Nobel da matemática,

e sempre atribuída a matemáticos
com menos de 40 anos,

verão que a França tem mais
medalhistas Fields por habitante

do que qualquer outro país.

O que é que achamos
tão sexy na matemática?

Afinal, parece ser aborrecida e abstracta,

só números e cálculos
e regras para aplicar.

A matemática pode ser abstracta,

mas não é aborrecida

e não se trata só de fazer cálculos.

Trata do raciocínio

e de provar a nossa
actividade fundamental.

Trata da imaginação,

o talento que mais elogiamos.

Trata de encontrar a verdade.

Não há nada como a sensação que nos invade

quando, após meses a pensar intensamente,

compreendemos finalmente o raciocínio
certo para resolver o nosso problema.

O grande matemático
André Weil comparou isto

— não estou a brincar —

ao prazer sexual.

Mas notou que esta sensação
pode durar horas, ou até dias.

A recompensa pode ser grande.

As verdades matemáticas ocultas
permeiam todo o nosso mundo físico.

São inacessíveis aos nossos sentidos

mas podem ver-se
através de lentes matemáticas.

Fechem os olhos por um momento

e pensem no que está a acontecer
aqui e agora à nossa volta.

Há partículas invisíveis no ar em redor
a bater em nós

aos milhares e milhares
de milhões por segundo,

todas num caos completo.

Mas, ainda assim,
a estatística do seu comportamento

pode prever-se com exactidão
pela física matemática.

E abram os olhos agora

para a estatística das velocidades
destas partículas.

A famosa Curva de Gauss em forma de sino,

ou a Lei dos Erros,

dos desvios relativamente
ao comportamento médio.

Esta curva conta-nos a estatística
das velocidades das partículas

da mesma forma que uma curva demográfica

nos contaria a estatística
das idades dos indivíduos.

É uma das curvas
mais importantes de sempre.

Continua a ocorrer uma e outra vez,

de muitas teorias e muitas experiências,

como um óptimo exemplo da universalidade

que nos é tão querida a nós, matemáticos.

Desta curva,

o famoso cientista Francis Galton disse:

“Teria sido endeusada pelos gregos
se a tivessem conhecido.

"É a suprema lei da irrazoabilidade.”

Não há melhor forma de materializar essa
deusa suprema do que a Tábua de Galton.

Dentro desta tábua há túneis estreitos

através dos quais bolas minúsculas
irão cair aleatoriamente,

para a direita ou para a esquerda,
ou para a esquerda, etc.

Tudo em completa aleatoriedade e caos.

O que acontece quando olhamos para todas
estas trajectórias aleatórias em conjunto?

(Som das bolas a cair na tábua)

É um pouco como um desporto,

porque vamos ter de resolver aqui
alguns engarrafamentos.

Aha.

Achamos que a aleatoriedade
me vai pregar uma partida no palco.

Cá está.

A nossa suprema deusa da irrazoabilidade,

a Curva de Gauss,

aprisionada aqui nesta caixa transparente
como o Dream em “The Sandman”.

Para vocês eu demonstrei,

mas aos meus alunos explico porque
não poderia ser nenhuma outra curva.

E isto é tocar no mistério dessa deusa,

substituir uma bela coincidência
por uma bela explicação.

Toda a ciência é assim.

E as belas explicações matemáticas
não são só para o nosso prazer.

Também mudam a nossa visão do mundo.

Por exemplo,

Einstein,

Perrin,

Smoluchowski,

utilizaram a análise matemática
de trajectórias aleatórias

e a Curva de Gauss

para explicar e provar
que o nosso mundo é feito de átomos.

Não foi a primeira vez

que a matemática revolucionou
a nossa visão do mundo.

Há mais de 2000 anos,

no tempo da Grécia antiga,

já aconteceu.

Nessa altura,

só uma pequena fracção do mundo
havia sido explorada,

e a Terra poderia ter parecido infinita.

Mas o engenhoso Eratóstenes,

utilizando a matemática,

conseguiu medir a Terra com uma exactidão
extraordinária de 2%.

Aqui está outro exemplo.

Em 1673, Jean Richer reparou

que um pêndulo oscila ligeiramente
mais devagar em Cayenne do que em Paris.

Apenas a partir desta observação,
e de matemática engenhosa,

Newton deduziu correctamente

que a Terra
é um nadinha achatada nos pólos,

algo como 0,3 %

— tão pouco que nem repararíamos
numa vista real da Terra.

Estas histórias mostram que a matemática

consegue fazer-nos sair da nossa intuição

medir a Terra que parece infinita,

ver átomos que são invisíveis

ou detectar
uma variação imperceptível de formato.

E se há uma só coisa
que devem lembrar-se desta apresentação,

é o seguinte:

a matemática permite-nos
ir para além da intuição

e explorar territórios que não
se enquadram no nosso entendimento.

Aqui está um exemplo moderno
que todos compreendemos:

pesquisar na Internet.

A World Wide Web,

mais de mil milhões de páginas web,

será que queremos vê-las todas?

O poder de computação ajuda,

mas seria inútil
sem a modelação matemática

para encontrar
a informação escondida nos dados.

Vamos resolver um problema pequenino.

Imaginemos que somos um detective
a trabalhar no caso de um crime,

e que há muitas pessoas
que têm a sua versão dos factos.

Quem queremos entrevistar primeiro?

Resposta sensata:

as testemunhas principais.

Vejamos,

suponhamos que há a pessoa número sete,

que nos conta uma história,

mas quando lhe perguntamos
onde a foi buscar,

ela aponta para a pessoa número três
como sendo a fonte.

E, por sua vez, a pessoa número três,

talvez aponte para a pessoa número um
como sendo a fonte principal.

Agora a número um
é uma testemunha principal,

portanto quero mesmo entrevistá-la
prioritariamente.

E a partir do gráfico

também vemos que a pessoa
número quatro é uma testemunha principal.

E talvez até queira
entrevistá-la primeiro,

porque há mais pessoas que a referem.

OK, esta parte foi fácil,

mas e se tivéssemos uma enorme
quantidade de pessoas para testemunhar?

Posso ver este gráfico

como sendo todas as pessoas
que testemunharam num crime complicado,

mas pode ser apenas as páginas web
a apontar umas para as outras,

referindo-se umas às outras
quanto aos conteúdos.

Quais são as mais fiáveis?

Não é muito claro.

Entra o PageRank,

uma das primeiras pedras angulares
da Google.

Este algoritmo utiliza
as leis da aleatoriedade matemática

para determinar automaticamente
quais as páginas web mais relevantes,

tal como utilizámos a aleatoriedade
na experiência com a Tábua de Galton.

Então vamos atirar para este gráfico

um monte de berlindes digitais minúsculos,

e deixá-los andar aleatoriamente
pelo gráfico.

De cada vez que chegam a uma página

irão através da mesma ligação
escolhida ao acaso para a seguinte.

E uma e outra vez.

E com pilhas pequenas que vão crescendo,

vamos registando quantas vezes
cada página foi visitada

por estes berlindes digitais.

Vamos lá.

Aleatoriedade, aleatoriedade.

E, de tempos a tempos,

também vamos dar saltos completamente
ao acaso para ser mais divertido.

E vejam:

do caos irá surgir a solução.

As pilhas mais altas
correspondem às páginas

que de alguma forma estão
mais bem ligados do que as outras,

para as quais apontam mais páginas
do que as outras.

E aqui vemos claramente

quais são as páginas web
que queremos experimentar primeiro.

Uma vez mais,

a solução surge da aleatoriedade.

É claro que, desde esta altura,

a Google já arranjou algoritmos
muito mais sofisticados,

mas isto já era belo.

Mas ainda assim,

é só um problema num milhão.

Com o advento da área digital,

cada vez mais problemas
se prestam à análise matemática,

tornando o trabalho dos matemáticos
cada vez mais útil,

tanto que há uns anos

foi classificado como sendo o número um
entre centenas de empregos

num estudo sobre
os melhores e piores empregos

publicado pelo
Wall Street Journal em 2009.

Matemático

— o melhor emprego do mundo.

Isto por causa das aplicações:

da teoria da comunicação,

da teoria da informação,

da teoria de jogos,

da amostragem compressiva,

da aprendizagem automática,

da análise de gráficos,

da análise harmónica.

E porque não os processos estocásticos,

a programação linear,

ou a simulação de fluidos?

Cada uma destas áreas
tem aplicações industriais monstruosas.

E através delas,
há muito dinheiro na matemática

Deixem-me admitir

que, quando se trata de fazer dinheiro
com a matemática,

os americanos são, de longe,
os campeões mundiais,

com multimilionários
engenhosos, emblemáticos

e empresas extraordinárias, gigantes,

que assentam, fundamentalmente,
em bons algoritmos.

Agora, com toda esta beleza,
utilidade e riqueza,

a matemática já começa
a parecer mais sexy.

Mas não pensem

que a vida de um investigador
matemático é fácil.

É cheia de perplexidades,

de frustrações,

de uma luta desesperada pela compreensão.

Deixem-me contar-vos

um dos dias mais impressionantes
na minha vida de matemático.

Ou, devo dizer, uma das noites
mais impressionantes.

Nessa altura,

eu estava no Instituto
de Estudos Avançados de Princeton,

que foi, durante muitos anos,
a casa de Albert Einstein

e que é talvez o sítio mais sagrado
do mundo para a investigação matemática.

Nessa noite eu estava a trabalhar
sem parar numa prova que me escapava,

que estava incompleta.

Tratava-se de compreender

a propriedade paradoxal
de estabilidade dos plasmas,

que são uma multidão de electrões.

No mundo perfeito do plasma,

não há colisões

e não há fricção para proporcionar
a estabilidade, como estamos habituados.

Ainda assim,

se perturbarmos ligeiramente
um equilíbrio no plasma,

verificamos que
o campo eléctrico resultante

se desvanece espontaneamente,

ou amortece,

como se por alguma
força misteriosa de fricção.

Este efeito paradoxal,

chamado amortecimento de Landau,

é um dos mais importantes
na física de plasmas,

e foi descoberto
através de ideias matemáticas.

Ainda assim,

faltava uma compreensão matemática
completa deste fenómeno.

Juntamente com o meu ex-aluno
e principal colaborador Clément Mouhot,

que estava em Paris na altura,

estávamos a trabalhar nessa prova
há meses e meses.

Na realidade,

eu já tinha anunciado por engano
que conseguíamos resolver o problema.

Mas a verdade é que a prova
não estava a resultar

Apesar de mais de 100 páginas
de argumentos matemáticos complicados,

e de umas quantas descobertas,

e de uma montanha de cálculos,

não estava a resultar.

Nessa noite, em Princeton,

havia uma lacuna na cadeia de argumentos
que estava a dar comigo em doido.

Estava a pôr ali toda a minha energia
e experiência e truques,

e ainda assim nada resultava.

Uma da manhã, duas da manhã,
três da manhã,

não resultava.

Por volta das quatro da manhã,
fui para a cama desanimado.

Depois, umas horas mais tarde,

acordei e pensei:

“Ah, está na hora
de levar os miúdos à escola...”

O que é isto?

Havia esta voz na minha cabeça, juro.

“Leva o segundo termo para o outro lado,

"faz uma transformação de Fourier
e inverte em L2.”

(Risos)

Macacos me mordam,

cá estava o início da solução!

Estão a ver,

eu pensei que tinha descansado,

mas na realidade o meu cérebro
tinha continuado a trabalhar no problema.

Nesses momentos,

não pensamos na nossa carreira
nem nos nossos colegas,

é só uma batalha total
entre o problema e nós.

Tendo dito isto,

também não faz mal se formos promovidos
em recompensa do trabalho árduo.

E depois de termos completado a nossa
enorme análise do amortecimento de Landau,

tive a sorte de receber
a tão cobiçada Medalha Fields

das mãos do Presidente da Índia,

em Hyderabad a 19 de Agosto de 2010

— uma honra com que os matemáticos
nunca se atrevem a sonhar —

um dia que vou recordar enquanto viver.

O que é que acham,

numa ocasião destas?

Orgulho, não é?

E gratidão para com os colaboradores
que tornaram isto possível.

E, porque foi uma aventura colectiva,

temos de a partilhar, não só
com os nossos colaboradores.

Acho que toda a gente pode apreciar
a emoção da investigação matemática,

e partilhar as histórias apaixonantes
das pessoas e das ideias subjacentes.

Tenho estado a trabalhar com a minha
equipa no Instituto Henri Poincaré,

juntamente com parceiros e artistas
da comunicação matemática em todo o mundo,

para que possamos fundar ali o nosso
museu, muito especial, da matemática.

Portanto daqui a uns anos,

quando vierem a Paris,

depois de provarem a saborosa
baguete estaladiça e os "macaroons",

venham visitar-nos
no Instituto Henri Poincaré,

e partilhar o sonho matemático connosco.

Obrigado.

(Aplausos)