수학의 관능적인 면은 무엇일까요?

우리 세계에 스며들어 있는 숨은 진실들. 수학은 우리 감각으로는 알 수 없는 그 미스테리를 밝힐 수 있도록 우리의 직관력을 한층 높여줍니다. 수학을 통한 돌파구를 살펴보는 이 강연에서, 필즈상 수상에 빛나는 세드릭 빌라니는 수학적 발견이 주는 전율과 때로는 난처하기까지 한 수학자의 삶에 대해 이야기 합니다. 그는 이렇게 말합니다. " 아름다운 수학적 설명은 우리의 즐거움일 뿐만 아니라, 세상을 향한 우리의 시각도 바꿔줍니다"

프랑스 사람들이 누구보다
잘하는 게 있다면 그게 뭘까요?

여론 조사를 해 본다면

상위 3위를 차지할 답변은

사랑, 포도주, 그리고
칭얼대기일 겁니다.

(웃음)

아마도요.

하지만 여기에 네 번째 항목을
추가하도록 하죠.

바로 수학입니다.

세계에서 가장 많은
수학자를 배출한 도시가

바로 파리라는 걸 알고 계셨나요?

수학자들의 이름을 딴
거리들도 압도적으로 많죠.

그리고 흔히
'수학의 노벨상'이라 일컫는

'필즈상'의 통계를 보시면

프랑스가 여느 나라보다 인구수 대비

40세 미만의 수상자가 월등히
많다는 것을 알 수 있을 겁니다.

왜 우리는 수학에 그토록
매력을 느끼는 걸까요?

결국 수학이란 건 따분하고 추상적이고

그저 숫자와 계산, 법칙
몇 가지에 불과한 데도 말이죠.

수학은 추상적일지는 몰라도

따분하진 않아요.

그저 계산에 불과한 것도 아닙니다.

수학은 사유를 통해

우리의 핵심 활동을 입증하고

우리가 최고로 꼽는 재능인

상상력을 발휘하게끔 합니다.

수학이란 진리를 찾는 것이죠.

몇 달의 사투 끝에 드디어

문제를 해결할 정확한 추론을

이끌어 냈을 때의 그 기분만큼
강렬한 것은 없을 겁니다.

위대한 수학자 앙드레 베유는

이것을 농담으로 한 말이 아니라

성적 쾌락에 비유했습니다.

그러나 몇 시간 혹은 며칠 동안
지속되는 쾌락이죠.

엄청난 보상이죠.

감춰진 수학적 진실은 우리의
모든 물리적 세상에 녹아있습니다.

보통 사람의 감각으로는
접근할 수 없죠.

하지만 수학이라는 렌즈를
통해서는 볼 수 있습니다.

다들 잠시 눈을 감고

여러분 주위에 어떤 일들이
일어나고 있는지 상상해보세요.

공기중의 보이지 않는 입자들이
여러분에게 와서 부딪힙니다.

초당 수십억의 횟수로 일어나고

완전한 혼돈의 세상이죠.

하지만

그 확률은 수리물리학으로
정확하게 예측할 수 있습니다.

이제 눈을 뜨고

그 입자들의 속도에 대한
확률로 눈을 돌려보죠.

그 유명한 종 모양의 가우스 곡선

혹은 오차법칙이라고 하는

평균값에 대한 편차를
의미하는 곡선입니다.

이 곡선은 입자 속도에 대한
확률을 설명해줍니다.

같은 방법으로 인구분포 곡선에서

개인별 연령 통계를 알 수 있죠.

이는 그 무엇보다도
가장 중요한 곡선입니다.

수많은 이론들, 많은 실험들에서

계속 반복해서 나타나는 곡선이죠.

보편성에 대한 대표적 사례로서

우리 수학자들에게는
굉장히 소중한 곡선입니다.

이 곡선에 대해서

유명한 과학자 프랜시스 갈톤은
이런 말을 했습니다.

"그리스인들이 이 곡선을 알았더라면
신으로 받들어 모셨을 겁니다.

이건 무질서에 대한 최고의 법칙이에요"

그 위대한 여신을 형상화한 것은
이 갈톤보드 만한 것도 없을 겁니다.

이 판의 안쪽은 좁은
통로들로 되어 있는데요.

작은 구슬을 무작위로 떨어뜨리면

오른쪽이나 왼쪽, 다시 왼쪽
이런 식으로 떨어지죠.

완벽한 무작위의 혼돈 상태입니다.

이런 무작위의 궤적을 함께 지켜볼까요.

(판을 흔듬)

약간 운동도 되요.

막힌 곳이 있으면 이렇게
풀어줘야 할 때도 있거든요.

아하.

무작위성이 어떤 마법을 보여줄까요.

됐습니다.

무질서의 위대한 여신.

가우스 곡선입니다.

샌드맨 만화 속의 꿈처럼
이 투명한 상자안에 갖혀 있죠.

여러분께는 이걸 실제로 보여드렸지만

제 학생들에게는 이것이 다른 형태의
곡선이 되지 않는 이유를 가르칩니다.

여신의 비밀에 다가가기 위해

우연성의 아름다움을
아름다운 해설로 대체하는 것이죠.

모든 과학이 이렇듯 마찬가지입니다.

아름다운 수학적 풀이가
우리 즐거움의 전부는 아니에요.

세상을 보는 우리의 시각도 바꿔줍니다.

예를 들면

아인슈타인.

페랑.

스몰루호프스키.

이들 모두가 무작위 궤적의 수학적 해법

그리고 가우스 곡선을 이용해서

원자로 구성된 우리 세계를
설명하고 증명했습니다.

수학이 세계를 보는 우리 눈을

바꿔놓은 건 이것이 처음이 아닙니다.

2000년 전

고대 그리이스 시대에

이런 일이 이미 있었습니다.

그 시기에는

세상의 극히 일부분만 알고 있었고

사람들은 지구가 무한하다고
믿었을 것입니다.

하지만 똑똑한 에라토스테네스는

수학을 이용해서

2%라는 놀라운 오차율로
지구의 크기를 측정했습니다.

또 다른 예도 있어요.

1673년에 쟝 리쳐는

추의 진자운동이 파리보다 카옌에서
속도가 느려짐을 알아냈습니다.

이에 대한 관찰과 기발한 수학식만으로

뉴튼은 우리 지구의 모양이

극지방이 약 0.3% 정도
평평하다는 사실을

정확하게 추론해냈죠.

지구를 직접 본다면 알아 차리지도
못할 정도로 작은 값입니다.

이들 일화들이 알려주는 것은

수학이 우리의 직관력을
높여준다는 사실입니다.

무한해 보이는 지구를 계측하고

보이지 않는 원자를 발견하고

형상의 미세한 차이도
알아낼 수 있게 하죠.

제 강연이 끝난 뒤에 단 한가지
꼭 기억하실 것 하나를 고른다면

바로 이것입니다.

수학은 우리로 하여금 직관을 뛰어넘어

우리 손길이 미치지 않는 영역을
탐험할 수 있도록 해줍니다.

여러분 모두가 관련있는
최근의 사례를 들어볼까요.

인터넷 검색이요.

인터넷에는

10억개가 넘는 홈페이지가 있습니다.

그 모두를 다 살펴보고 싶다면요?

컴퓨터의 도움을 받으면 되겠죠.

하지만 데이터 안에 숨겨진
정보를 찾아낼 수 있는

수학적 모델이 없이는
컴퓨터도 무용지물이죠.

간단한 문제를 하나 풀어보죠.

여러분이 범죄 수사중인
수사관이라고 상상해보세요.

그리고 여러사람들이 각각
서로 다른 진술을 하고 있어요.

그럼 제일 먼저 누구의
얘기를 들어봐야 할까요?

그럴듯한 대답은 이거죠.

최초의 목격자입니다.

이를테면

일곱 번째 사람이 있다고 가정하죠.

그가 당신에게 진술을 합니다.

그런데 그에게 그걸 어떻게
알았냐고 물어보자

그는 세 번째 사람에게서
들었다고 지목합니다.

그럼 다음으로 세 번째 사람은

첫 번째 사람에게서
들었다고 지목할 겁니다.

첫 번째 사람이
최초의 증인이 되는거죠.

그러니 저라면 그 사람을
가장 먼저 만나볼 거예요.

그리고 이 그래프를 보면

네 번째 사람도 최초
증인인 걸 알 수 있죠.

따라서 그 사람 얘기도
먼저 들어보고 싶겠죠.

왜냐면 그에게서 들었다고
지목한 몇 사람이 있으니까요.

좋아요. 이 경우는 간단하지만

이제 테스트 대상이 수없이
많다면 어떻게 해야 할까요?

그리고 이 그래프는

복잡한 범죄 사건에 얽혀
있는 사람들로 가정했지만

서로 연결되어 있는 인터넷
사이트들로 볼 수도 있습니다.

서로 다른 사이트의
내용을 참조하는 거죠.

어느 사이트가 가장 우위에 있을까요?

명확히 알 수 없죠.

페이지랭크를 보면 됩니다.

구글의 기반이 된 기법인데요.

이 알고리즘은 수학적
무작위성의 법칙을 이용해서

가장 연관성이 높은 웹페이지를
자동으로 찾아냅니다.

갈톤 보드 실험과 마찬가지로
무작위성을 이용하는 거죠.

그러면 이 그래프 안으로

작은 디지털 구슬들을 집어넣고

그래프 안을 무작위로
돌아다니도록 해보죠.

어느 한 사이트에 도착하면

무작위로 선택된 링크를 통해
다음 사이트로 이동하는 겁니다.

그리고 그 과정이 계속 반복되죠.

그리고 이 디지털 구슬이

각 사이트에 도착할 때마다
방문횟수를 기록하기 위해

작은 막대가 점차 길어집니다.

자, 시작해볼까요.

무작위로, 무작위로.

시간이 지나면서

재미를 더하기 위해서 무작위로
점프해서 이동하기도 합니다.

자, 이걸 보세요.

혼돈 속에서 해법이 드러납니다.

가장 높은 막대를 가진 사이트는

다른 사이트보다 더 많이
접속된 걸 의미하고

다른 사이트로부터 더 많은
지목을 받은 겁니다.

우리가 어떤 웹사이트를

가장 먼저 살펴봐야 할지를
명확하게 보여주죠.

다시 말씀드리지만

해법은 무작위성에서 얻어집니다.

물론, 초창기보다

구글은 훨씬 정교한
알고리즘을 만들었지만

이 자체로도 충분히 훌륭하죠.

하지만

이것도 수많은 문제 중의
한 가지일 뿐입니다.

디지털 분야의 출현으로

점점 더 많은 문제들이
수학적 분석에 의존하게 되었고,

수학자라는 직업이 점점
필요한 직업이 되고 있습니다.

심지어 과거 몇년 전에는

수백 개의 직업 중에서
1등을 차지하기도 했습니다.

2009년 월스트리트 저널이 발간한

최고의 직업과 최악의 직업에
대한 조사 결과에 따르면 말이죠.

수학자.

세계 최고의 직업이에요.

응용분야가 넓기 때문이죠.

통신 이론

정보 이론

게임 이론

압축 센싱

기계 학습

그래프 분석

조화 분석

통계처리는 물론이고

선형 프로그래밍

유체 시뮬레이션.

이들 각각이 거대한
산업응용 분야입니다.

이를 통해서

수학분야가 큰 돈을 벌어들이죠.

한가지 인정할 것은

수학이 큰 돈을 벌어들이기 시작하면

똑똑하고 상징적인 억만장자,
놀랍도록 거대한 기업체들로

미국은 분명히
세계 챔피언이 될 거예요.

훌륭한 알고리즘 덕분에
모두가 영원히 놀고 먹는거죠.

이런 아름다움, 유용함, 그에 따른 부.

이들 덕분에 수학이 더욱
섹시해 보이는 겁니다.

하지만 오해하지 마세요.

수학 연구자들의 삶이 그리
호락호락하지는 않습니다.

난처함으로 가득 차 있고

좌절감.

답을 찾기 위해 처절하게
싸우는 삶이거든요.

기억나는 것이 있는데요.

수학자로 살면서 가장
인상깊었던 날이 있습니다.

아니 그게 아니라

가장 인상깊었던 밤이라고 해야 겠군요.

그 때 저는

프린스턴 대학의
고등과학원에 있었습니다.

수년간 알버트 아인슈타인이 머물렀고

명백히 수학연구의
성지라 불리는 곳이죠.

그날 밤 저는 풀기 어려운
수학증명에 매달려 있었죠.

미완성의 증명이었어요.

전자들로 구성된

플라즈마 특성의
역설적 안정성에 대해서

알아내고자 하고 있었습니다.

완벽한 플라즈마의 세계는

충돌이 일어나지 않고

우리가 익숙한 안정된 상태를
만드는 마찰도 일어나지 않습니다.

하지만,

플라즈마의 평형상태를 살짝 흐트러뜨리면

전기장이 자연적으로 사라지거나

점차 줄어드는

결과를 얻게 되죠.

마치 어떤 알 수 없는
마찰력이 작용하는 것처럼요.

이런 역설적 효과를

란다우 감쇠효과라고 합니다.

이건 플라즈마 물리학에서
매우 중요한 현상 중 하나로서

수학적 아이디어로 알아냈습니다.

그런데

이 현상을 수학으로도 완벽하게
이해하지는 못하고 있었어요.

그때 파리에 있던 저의 제자와
저와 주로 공동연구를 하던

클레몽 모우와 함께

그걸 증명하기 위해
몇달을 애쓰고 있었습니다.

사실은

우리가 그걸 풀어 냈다고
잘못된 발표를 한 상태였거든요.

하지만 실상은

그 증명은 틀린 거였습니다.

100쪽에 달하는 복잡한
수학식 증명들과

수많은 발견들

엄청난 양의 계산에도 불구하고

증명할 수 없었습니다.

그날 밤, 프린스턴에서

일련의 증명 과정에 있는 빈틈을
해결하려고 거의 미칠 지경이었죠.

그 일에 저의 모든 에너지와 경험,
꼼수까지 다 쏟아 부었지만

여전히 맞지 않았습니다.

새벽 한 시. 두 시. 세 시.

그래도 못 풀었어요.

새벽 4시쯤, 낙심한 채로
잠자리에 들었습니다.

몇 시간쯤 지난 뒤에

일어나서 나갔죠.

"아.. 아이들 등교시킬 시간이네.."

이건 뭐지?

맹세컨데, 제 머리 속에서
어떤 목소리가 들렸어요.

"두 번째 항을 반대편으로 넘기고,

퓨리에 변환을 해서, L2를 도치시켜"

(웃음)

세상에,

해법은 거기에서 출발하는 거였어요.

그게 말이죠.

잠깐 휴식을 취한 거였는데

제 머리가 다시
돌아가기 시작한 거였죠.

그 순간에

자기 경력이나 학력은 다 필요없습니다.

오로지 그 문제와 자신과의
치열한 싸움일 뿐이죠.

바로 그 점에서

열심히 일한 댓가로 승진한다면
꺼리낄 것이 없는 거겠죠.

그 뒤 란다우 감쇠에 대한
엄청난 양의 분석을 마친 결과로

운좋게도

누구나 탐내는 필즈 메달을 받았습니다.

2010년 8월 19일 하이드라바드에서

인도 대통령으로부터 직접 수여받았죠.

수학자로서 감히 꿈꾸지 못할 영광이었고

죽을 때까지 잊지 못할 날이었습니다.

그런 일이 일어난다면

어떤 생각이 드시겠어요?

자부심을 갖겠죠. 그렇죠?

이를 가능케 한 많은 동료들에게
감사의 마음도 들 거에요.

다함께 도전한 결과니까

동료뿐만 아니라 모두와 나누고 싶겠죠.

저는 누구나 수학 연구의 전율을
느낄 수 있다고 믿습니다.

그 뒤에 감춰진 사람들과 고뇌의
열정적 이야기를 나눌 수 있습니다.

저는 앙리 푸앵카레 연구소의
연구원들과 일하고 있습니다.

전세계의 동료들, 예술가들과 함께
수학으로 대화하며 일하고 있죠.

이를 통해서 그 곳에 특별한
수학박물관을 세우려고 합니다.

몇 년 내에

여러분이 파리에 오시게 되면

유명한 바삭바삭한 바케트
빵과 마카롱을 맛보신 뒤에

앙리 푸앵카레 연구소도
한번 방문해주세요.

그리고 저희와 함께 수학의
꿈을 나누면 좋겠습니다.

감사합니다.

(박수)