Τι κάνει τα Μαθηματικά τόσο σέξι;

Τον κόσμο μας διέπουν κρυμμένες αλήθειες· είναι απροσπέλαστες από τις αισθήσεις μας, αλλά τα Μαθηματικά μάς επιτρέπουν να υπερβούμε τη διαίσθηση και να αποκαλύψουμε τα μυστήριά τους. Σε αυτήν την επισκόπηση μαθηματικών επιτευγμάτων, ο κάτοχος του Μεταλλίου Φιλντς, Σεντρίκ Βιλάνι μιλά για τον ενθουσιασμό της ανακάλυψης και περιγράφει λεπτομερώς τη μερικές φορές συγκεχυμένη ζωή των μαθηματικών. «Οι όμορφες μαθηματικές εξηγήσεις δεν είναι μόνο προς τέρψη μας,» λέει, «αλλάζουν τη θεώρησή μας για τον κόσμο».

Τι κάνουν οι Γάλλοι καλύτερα από όλους;

Σύμφωνα με τις δημοσκοπήσεις,

οι δημοφιλέστερες απαντήσεις είναι:

έρωτα, κρασί και γκρίνια.

(Γέλια)

Ίσως.

Αλλά ας προτείνω μία τέταρτη.

Τα Μαθηματικά.

Το ξέρατε ότι το Παρίσι
έχει περισσότερους μαθηματικούς

από οποιαδήποτε άλλη πόλη στον κόσμο;

Και περισσότερους δρόμους
με ονόματα μαθηματικών επίσης.

Αν δείτε τις στατιστικές
των Μεταλλίων Φιλντς,

συχνά αναφερόμενα
ως βραβεία Νόμπελ των Μαθηματικών,

που πάντα απονέμονται
σε μαθηματικούς κάτω των 40 ετών,

θα δείτε ότι η Γαλλία έχει
περισσότερους κατόχους Φιλντς ανά κάτοικο

από οποιαδήποτε άλλη χώρα.

Τι κάνει λοιπόν τα Μαθηματικά τόσο σέξι;

Εξάλλου, φαίνονται βαρετά και αφηρημένα -

μόνο νούμερα και υπολογισμοί
και κανόνες προς εφαρμογή.

Τα Μαθηματικά μπορεί να είναι αφηρημένα,

αλλά δεν είναι βαρετά

και δεν έχουν σχέση με υπολογισμούς.

Έχουν να κάνουν με συλλογισμούς

και με αποδείξεις,
τη βασική μας δραστηριότητα.

Έχουν να κάνουν με τη φαντασία,

το ταλέντο που επαινούμε περισσότερο.

Έχουν να κάνουν
με την αναζήτηση της αλήθειας.

Τίποτα δε συγκρίνεται
με το συναίσθημα που σε κατακλύζει,

όταν έπειτα από μήνες σκληρής σκέψης,

τελικά καταλαβαίνετε το σωστό
συλλογισμό για τη λύση του προβλήματος.

Ο μεγάλος μαθηματικός Αντρέ Βέιλ
το παρομοίασε

-δεν αστειεύομαι-

με την ερωτική ηδονή.

Αλλά σημείωσε ότι αυτή η αίσθηση
διαρκεί ώρες ή και ημέρες.

Η ανταμοιβή μπορεί να είναι μεγάλη.

Κρυμμένες μαθηματικές αλήθειες
διαποτίζουν όλο τον φυσικό μας κόσμο.

Είναι απρόσιτες από τις αισθήσεις μας

αλλά ορατές με τα μάτια των Μαθηματικών.

Κλείστε τα μάτια σας για λίγο

και σκεφτείτε τι συμβαίνει
γύρω σας αυτή τη στιγμή.

Αόρατα σωματίδια του αέρα σας χτυπούν

κατά δισεκατομμύρια σε κάθε δευτερόλεπτο

και όλα σε απόλυτο χάος.

Και παρόλα αυτά,

οι στατιστικές τους μπορούν να προβλεφθούν
με ακρίβεια από τη Μαθηματική Φυσική.

Τώρα ανοίξτε τα μάτια σας

και δείτε τη στατιστική
των ταχυτήτων αυτών των σωματιδίων.

Η διάσημη κωδωνοειδής καμπύλη του Γκάους,

ή ο Νόμος των Σφαλμάτων,

των αποκλίσεων ως προς
τη μέση συμπεριφορά.

Αυτή η καμπύλη δείχνει τις στατιστικές
της ταχύτητας των σωματιδίων

με τον ίδιο τρόπο
όπως μια δημογραφική καμπύλη

θα έδειχνε τις στατιστικές
της ηλικίας του πληθυσμού.

Είναι μια από τις σημαντικότερες
καμπύλες όλων των εποχών.

Εμφανίζεται ξανά και ξανά

σε πολλές θεωρίες και πολλά πειράματα,

σαν ένα σπουδαίο παράδειγμα
της καθολικότητας,

που είναι τόσο αγαπητή
σε εμάς τους μαθηματικούς.

Για αυτήν την καμπύλη,

ο διάσημος επιστήμονας
Φράνσις Γκάλτον είπε,

«Οι Έλληνες θα την είχαν θεοποιήσει
αν την είχαν γνωρίσει.

Είναι ο υπέρτατος νόμος της πλάνης».

Ο καλύτερη υλοποίηση αυτής της υπέρτατης
θεάς είναι ο πίνακας του Γκάλτον.

Σε αυτόν τον πίνακα υπάρχουν στενά κανάλια

μέσα από τα οποία
θα πέφτουν τυχαία μικρές μπίλιες,

και θα πηγαίνουν δεξιά,
αριστερά, αριστερά κλπ.

Όλες απολύτως τυχαία και σε απόλυτο χάος.

Για να δούμε τι συμβαίνει αν κοιτάξουμε
όλες αυτές τις τυχαίες πορείες μαζί.

(Ήχος από το κούνημα του πίνακα)

Είναι δυσκολούτσικο,

διότι πρέπει να διευκολύνουμε
μερικά μποτιλιαρίσματα εδώ.

Α χα.

Νόμιζα ότι η τυχαιότητα
θα μου έπαιζε παιχνίδια επί σκηνής.

Να ΄τη.

Η υπέρτατη θεά της πλάνης,

η γκαουσιανή καμπύλη,

παγιδευμένη σε αυτό το διαφανές κουτί
όπως ο Ντρημ στο κόμικ Σάντμαν.

Σε εσάς το έδειξα,

αλλά στους φοιτητές μου εξηγώ γιατί δεν
θα μπορούσε να είναι καμία άλλη καμπύλη.

Η εξήγηση αγγίζει
το μυστήριο αυτής της θεάς,

αντικαθιστώντας μία όμορφη σύμπτωση
με μία όμορφη εξήγηση.

Όλη η επιστήμη είναι έτσι.

Οι όμορφες μαθηματικές εξηγήσεις
δεν υπάρχουν μόνον προς τέρψη μας.

Επιπλέον αλλάζουν
την θεώρησή μας του κόσμου.

Για παράδειγμα,

ο Αϊνστάιν,

ο Περέν,

ο Σμολουτσόφσκι

χρησιμοποίησαν τη μαθηματική
ανάλυση τυχαίων τροχιών

και την γκαουσιανή καμπύλη

για να εξηγήσουν και να αποδείξουν
ότι ο κόσμος μας αποτελείται από άτομα.

Δεν ήταν η πρώτη φορά

που τα Μαθηματικά έφεραν επανάσταση
στη θεώρησή μας για τον κόσμο.

Πριν από περισσότερα από 2.000 χρόνια,

την εποχή των αρχαίων Ελλήνων,

είχε ήδη συμβεί.

Εκείνη την εποχή,

μόνο ένα μικρό ποσοστό
του κόσμου είχε εξερευνηθεί

και η Γη φαινόταν σαν να είναι άπειρη.

Αλλά ο έξυπνος Ερατοσθένης,

χρησιμοποιώντας Μαθηματικά,

μπόρεσε να μετρήσει την ακτίνα της Γης
με την εκπληκτική ακρίβεια του 2%.

Ορίστε ένα άλλο παράδειγμα.

Το 1673, ο Ζαν Ρισέ παρατήρησε

ότι το εκκρεμές αιωρείται ελαφρώς πιο αργά

στην Καγιέν της Γουιάνας
από ό,τι στο Παρίσι.

Από αυτήν και μόνο την παρατήρηση
και έξυπνα Μαθηματικά

ο Νεύτων συμπέρανε σωστά

ότι η Γη είναι ελάχιστα
πεπλατυσμένη στους πόλους,

κατά περίπου 3% -

τόσο λίγο που με απλή οπτική παρατήρηση
δεν θα βλέπατε τη διαφορά.

Αυτές οι ιστορίες δείχνουν
ότι τα Μαθηματικά

μπορούν να μας κάνουν
να υπερβούμε τη διαίσθησή μας,

να μετρήσουμε τη Γη που φαίνεται άπειρη,

να δούμε τα άτομα που είναι αόρατα,

ή να ανιχνεύσουμε μία ανεπαίσθητη
μεταβολή ενός σχήματος.

Αν σας μείνει μόνο ένα πράγμα
από αυτήν την ομιλία σήμερα,

ας είναι αυτό:

ότι τα Μαθηματικά μάς επιτρέπουν
να υπερβούμε τη διαίσθηση

και να εξερευνήσουμε περιοχές
που είναι πέρα από την αντίληψή μας.

Ορίστε ένα σύγχρονο παράδειγμα
που μας αγγίζει όλους:

Η αναζήτηση στο διαδίκτυο.

Ο παγκόσμιος ιστός,

περισσότερες από ένα
δισεκατομμύριο ιστοσελίδες -

θέλετε να τις διατρέξετε όλες;

Η υπολογιστική ισχύς βοηθά,

αλλά θα ήταν άχρηστη
χωρίς το μαθηματικό μοντέλο

που βρίσκει τις πληροφορίες
που είναι κρυμμένες στα δεδομένα.

Ας δοκιμάσουμε ένα εύκολο πρόβλημα.

Φανταστείτε ότι είστε ένας ντετέκτιβ,
που δουλεύει σε μία υπόθεση εγκλήματος

και υπάρχουν πολλοί άνθρωποι ο καθένας
με τη δική του εκδοχή του τι έγινε.

Ποιον θα ανακρίνετε πρώτα;

Λογική απάντηση:

τους πρωταρχικούς μάρτυρες.

Βλέπετε,

ας υποθέσουμε ότι το άτομο με τον αριθμό 7

σας λέει μία ιστορία,

αλλά όταν ρωτάτε ποιος του την είπε,

σας δείχνει το άτομο 3 ως την πηγή του.

Και ίσως το άτομο 3 με τη σειρά του

δείχνει το άτομο 1 ως την πρωταρχική πηγή.

Τώρα ο αριθμός 1 είναι
πρωταρχικός μάρτυρας,

άρα σίγουρα θέλω να ανακρίνω
αυτόν κατά προτεραιότητα.

Και από τον γράφο

βλέπουμε επίσης ότι το άτομο αριθμός 4
είναι πρωταρχικός μάρτυρας.

Και ίσως θέλω να ανακρίνω αυτόν πρώτα,

επειδή τον αναφέρουν περισσότεροι.

Αυτό ήταν εύκολο,

αλλά τι γίνεται αν υπάρχουν πολλά άτομα,
που πρέπει να καταθέσουν;

Και αυτόν τον γράφο,

μπορώ να τον θεωρήσω ως τους μάρτυρες,
που καταθέτουν σε μία πολύπλοκη υπόθεση,

αλλά θα μπορούσαν κάλλιστα να είναι
ιστοσελίδες που αλληλοσυνδέονται,

που αναφέρουν η μία
την άλλη ως προς το περιεχόμενο.

Ποιες είναι πιο αυθεντικές;

Δεν είναι τόσο σαφές.

Μπείτε στο PageRank,

έναν από τους πρώτους
ακρογωνιαίους λίθους της Google.

Αυτός ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί
νόμους της μαθηματικής τυχαιότητας

για να καθορίσει αυτόματα
τις πιο σχετικές ιστοσελίδες

με τον ίδιο τρόπο που χρησιμοποιήσαμε
την τυχαιότητα στον πίνακα του Γκάλτον.

Ας ρίξουμε, λοιπόν, σε αυτόν τον γράφο,

μερικές μικρές, ψηφιακές μπίλιες

και ας τις αφήσουμε να διατρέξουν
τον γράφο με τυχαίο τρόπο.

Κάθε φορά που φτάνουν σε μία ιστοσελίδα,

θα φύγουν από κάποιον σύνδεσμο,
που επιλέγεται τυχαία, σε κάποια άλλη.

Και ξανά, και ξανά, και ξανά.

Σε μικρές, αυξανόμενες στοίβες

θα μετράμε πόσες φορές
έχει επισκεφτεί την κάθε σελίδα

κάποια από αυτές τις ψηφιακές μπίλιες.

Πάμε.

Τυχαιότητα, τυχαιότητα...

και κάπου-κάπου

ας κάνουμε μερικά εντελώς τυχαία
άλματα για περισσότερη διασκέδαση.

Και κοιτάξτε αυτό:

από το χάος θα προκύψει μία λύση.

Οι υψηλότερες στοίβες
αντιστοιχούν στις ιστοσελίδες

που είναι με κάποιον τρόπο καλύτερα
συνδεδεμένες από ό,τι οι άλλες,

υπάρχουν περισσότεροι σύνδεσμοι
προς αυτές από τις άλλες.

Και εδώ βλέπουμε καθαρά

ποιες είναι οι ιστοσελίδες
που θέλουμε να δοκιμάσουμε πρώτες.

Για μια ακόμη φορά,

η λύση εμφανίστηκε
μέσα από την τυχαιότητα.

Φυσικά, από τότε

η Google έχει αναπτύξει πολύ
πιο εξεζητημένους αλγορίθμους,

αλλά ήδη αυτός ήταν όμορφος.

Και πάλι,

απλώς ένα πρόβλημα ανάμεσα σε εκατομμύρια.

Με την έλευση της ψηφιακής εποχής,

όλο και περισσότερα προβλήματα
χρήζουν μαθηματικής ανάλυσης

και καθιστούν τη δουλειά
του μαθηματικού όλο και πιο χρήσιμη,

σε τέτοιο βαθμό που πριν από μερικά χρόνια

είχε καταταχθεί πρώτη
ανάμεσα σε εκατοντάδες δουλειές,

σε μία έρευνα για τα καλύτερα
και τα χειρότερα επαγγέλματα,

που δημοσιεύτηκε
στο Wall Street Journal το 2009.

Μαθηματικός,

η καλύτερη δουλειά στον κόσμο.

Αυτό οφείλεται
στις εφαρμογές των μαθηματικών:

Θεωρία Τηλεπικοινωνιών,

Θεωρία Πληροφοριών,

Θεωρία Παιγνίων,

Αραιή Δειγματοληψία,

Μηχανική Μάθηση,

Ανάλυση Γράφων,

Αρμονική Ανάλυση,

και γιατί όχι, Στοχαστικές Διαδικασίες,

Γραμμικός Προγραμματισμός

ή Προσομοίωση Ρευστών;

Καθένα από αυτά τα πεδία έχουν
τεράστιες βιομηχανικές εφαρμογές

και μέσα από αυτές

υπάρχει χοντρό χρήμα στα Μαθηματικά.

Και θα παραδεχτώ

ότι στο να βγάζει κανείς
χρήματα από τα Μαθηματικά,

οι Αμερικανοί είναι μακράν
παγκόσμιοι πρωταθλητές

με έξυπνους, εμβληματικούς
δισεκατομμυριούχους

και καταπληκτικές γιγάντιες εταιρείες

όλοι βασιζόμενοι, τελικά,
σε καλούς αλγορίθμους

Τώρα, με όλη αυτήν την ομορφιά,
τη χρησιμότητα και το χρήμα,

τα Μαθηματικά πράγματι φαίνονται πιο σέξι.

Αλλά μη νομίζετε

ότι η ζωή ενός μαθηματικού
ερευνητή είναι εύκολη.

Είναι γεμάτη πολυπλοκότητα,

απογοητεύσεις,

έναν απεγνωσμένο αγώνα για κατανόηση.

Θα σας πω

μία από τις πιο εντυπωσιακές
ημέρες της μαθηματικής ζωής μου,

ή ίσως θα έπρεπε να πω

μία από τις πιο εντυπωσιακές νύχτες.

Εκείνη την περίοδο

ζούσα στο Ινστιτούτο Προηγμένων
Ερευνών του Πρίνστον,

για πολλά χρόνια το σπίτι του Αϊνστάιν

και ίσως το πιο ιερό μέρος
για μαθηματική έρευνα στον κόσμο.

Εκείνο το βράδυ δούλευα εντατικά
μία απόδειξη που μου διέφευγε,

που ήταν ατελής.

Είχε να κάνει με την κατανόηση

της παράδοξης ιδιότητας
ευστάθειας του πλάσματος,

που είναι ένα σμήνος ηλεκτρονίων.

Στον τέλειο κόσμο του πλάσματος

δεν υπάρχουν συγκρούσεις,

ούτε τριβή για να παρέχει ευστάθεια
όπως τη γνωρίζουμε.

Παρόλα αυτά,

αν διαταράξετε ελάχιστα
την ισορροπία του πλάσματος,

θα δείτε ότι το ηλεκτρικό
πεδίο που προκύπτει

εξαφανίζεται αυθόρμητα,

ή αποσβένεται,

σαν από μία μυστηριώδη δύναμη τριβής.

Το παράδοξο αυτό φαινόμενο,

που ονομάζεται απόσβεση Λαντάου,

είναι ένα από τα πιο σημαντικά
στη Φυσική Πλάσματος

και ανακαλύφθηκε μέσα
από μαθηματικές ιδέες.

Παρόλα αυτά,

δεν υπήρχε μία πλήρης μαθηματική
κατανόηση του φαινομένου.

Μαζί με τον πρώην φοιτητή μου
και κύριο συνεργάτη μου, Κλεμέν Μουό,

που ήταν τότε στο Παρίσι,

εργαζόμασταν για μήνες και μήνες
για μία τέτοια απόδειξη.

Μάλιστα,

είχα ήδη ανακοινώσει λανθασμένα
ότι την είχαμε βρει.

Αλλά στην πραγματικότητα

η απόδειξη ήταν απλά λάθος.

Παρά τις περισσότερες από 100 σελίδες
πολύπλοκων μαθηματικών επιχειρημάτων,

μερικών ανακαλύψεων

και πολλών υπολογισμών,

ήταν λάθος.

Εκείνο το βράδυ στο Πρίνστον

ένα κενό στην επιχειρηματολογία
κόντευε να με τρελάνει.

Είχα διαθέσει όλη μου την ενέργεια,
την εμπειρία και τα κόλπα μου,

και ακόμα κι έτσι, δεν μου έβγαινε.

Πήγε 1 πμ… 2 πμ… 3 πμ…

δεν μου έβγαινε.

Κατά τις 4 το πρωί πήγα
να κοιμηθώ απογοητευμένος.

Μετά από μερικές ώρες,

αφού ξύπνησα και είπα

«Ααα, ώρα να πάω τα παιδιά στο σχολείο»,

τι συνέβη;

Μια φωνή στο μυαλό μου, σας ορκίζομαι.

«Μετάφερε τον δεύτερο όρο στο άλλο μέλος,

πάρε τον μετασχηματισμό
Φουριέ και αντίστρεψε στον L2».

(Γέλια)

Να πάρει,

αυτή ήταν η αρχή της λύσης.

Βλέπετε,

νόμιζα ότι ξεκουραζόμουν,

αλλά στην πραγματικότητα το μυαλό μου
συνέχιζε να το επεξεργάζεται.

Αυτές τις στιγμές,

δεν σκέφτεσαι την καριέρα σου
ή τους συναδέλφους σου,

είναι απλά η απόλυτη μάχη
ανάμεσα σε εσάς και το πρόβλημα.

Παρόλα αυτά,

δεν πειράζει και μία προαγωγούλα
ως ανταμοιβή για τη σκληρή δουλειά.

Και αφού ολοκληρώσαμε την τεράστια
ανάλυση της απόσβεσης Λαντάου,

είχα την τύχη

να πάρω το πολυπόθητο Μετάλλιο Φιλντς

από τα χέρια της Προέδρου της Ινδίας

στο Χαϊντεραμπάντ στις 19 Αυγούστου 2010,

μία τιμή που οι μαθηματικοί
ούτε καν τολμούν να ονειρευτούν,

μία ημέρα που θα θυμάμαι όσο ζω.

Πώς νιώθετε

σε μία τέτοια περίσταση;

Υπερηφάνεια, σίγουρα.

Και ευγνωμοσύνη για τους πολλούς
συνεργάτες που την κατέστησαν δυνατή.

Και επειδή ήταν μία συλλογική περιπέτεια,

πρέπει να την μοιράζεσαι,
όχι μόνο με τους συνεργάτες σου.

Πιστεύω ότι ο καθένας μπορεί να εκτιμήσει
τον ενθουσιασμό της μαθηματικής έρευνας

και να μοιραστεί τις παθιασμένες ιστορίες
των ανθρώπων και των ιδεών πίσω από αυτήν.

Δουλεύω με το προσωπικό μου
στο Ινστιτούτο Ανρί Πουανκαρέ

μαζί με συνεργάτες και καλλιτέχνες της
διάδοσης των Μαθηματικών σε όλον τον κόσμο

ώστε να ιδρύσουμε το δικό μας,
ιδιαίτερο μουσείο Μαθηματικών εκεί.

Ώστε σε μερικά χρόνια,

όταν επισκεφτείτε το Παρίσι

και αφού έχετε γευτεί τις νόστιμες
τραγανές μπαγκέτες και τους εργολάβους,

σας παρακαλώ να μας επισκεφτείτε
στο Ινστιτούτο Ανρί Πουανκαρέ

και να μοιραστείτε
το μαθηματικό όνειρο μαζί μας.

Σας ευχαριστώ.

(Χειροκρότημα)