Porque é que as tampas dos poços de visita são redondas? — Marc Chamberland

Vejam a lição completa em: http://ed.ted.com/lessons/why-are-manhole-covers-round-marc-chamberland

Porque é que as tampas dos poços de visita são redondas? Claro que é mais fácil rolá-las e encaixá-las no seu lugar, em qualquer posição. Mas há outra razão, mais convincente, que envolve uma propriedade geométrica peculiar dos círculos e de outras formas. Marc Chamberland explica as curvas de largura constante e o teorema de Barbier.

Porque é que a maior parte das tampas
dos poços de visita são redondas?

Claro que assim são mais fáceis de rebolar

e de colocá-las no seu lugar,
em qualquer posição.

Mas há outra razão mais convincente

que envolve uma propriedade geométrica
peculiar dos círculos e de outras formas.

Imaginem um quadrado que separa
duas linhas paralelas.

Quando roda, as linhas primeiro afastam-se
e depois voltam a aproximar-se.

Mas experimentem o mesmo com um círculo.

As linhas mantêm exatamente
a mesma distância entre si,

ou seja, o diâmetro do círculo.

Ao contrário do quadrado,

o círculo é uma forma matemática
chamada "curva de largura constante".

Outra forma com esta propriedade
é o triângulo de Reuleaux.

Para criar um, comecem
com um triângulo equilátero,

depois façam de um dos vértices o centro
de um círculo que toca nos outros dois.

Desenhem mais dois círculos do mesmo modo,
com o centro nos outros dois vértices

e lá está ele, no espaço
em que todos se sobrepõem.

Como os triângulos de Reuleaux
podem rodar entre linhas paralelas

sem alterar a distância entre elas.

podem funcionar como rodas,
com um pouco de engenharia criativa.

E se rodarmos um deles,
enquanto o seu ponto central

roda numa trajetória quase circular,

o seu perímetro desenha um quadrado
com os cantos arredondados,

permitindo que brocas triangulares
façam furos quadrados.

Podemos usar qualquer polígono
com um número ímpar de lados

para gerar uma curva de largura constante,

usando o mesmo método que aplicámos atrás,

embora haja muitas outras
que não são feitas deste modo.

Por exemplo, se rodarmos qualquer curva
de largura constante à volta de outra,

obteremos uma terceira.

Este conjunto de curvas pontiagudas
fascina os matemáticos.

Deu-nos o teorema de Barbier,

que diz que o perímetro de qualquer
curva de largura constante,

— e não apenas do círculo —
é igual a π vezes o diâmetro.

Outro teorema diz-nos que, se tivermos
um conjunto de curvas de largura constante

com a mesma largura,

terão todas o mesmo perímetro,

mas o triângulo de Reuleaux
terá a área menor.

O círculo que, na realidade,

é um polígono de Reuleaux
com um número infinito de lados,

terá a maior área.

Em três dimensões, podemos fazer
superfícies de largura constante,

como o tetraedro de Reuleaux.

Forma-se, agarrando num tetraedro,

expandindo uma esfera
a partir de cada vértice

até que toque nos vértices opostos,

e deitando fora tudo o que sobra,
com exceção da região em que se sobrepõem.

As superfícies de largura constante

mantêm uma distância constante
entre dois planos paralelos.

Por isso, podemos espalhar no chão
uma série de tetraedros de Reuleaux

e fazer deslizar uma tábua por cima deles,
tão facilmente como se fossem berlindes.

Voltemos agora às tampas de visita.

Uma tampa de visita quadrada

pode ser alinhada pela parte
mais larga do buraco e cair lá dentro.

Mas uma curva de largura constante
nunca cairá,

seja qual for a orientação.

Normalmente, são circulares,
mas abram bem os olhos

e talvez encontrem uma tampa de visita
com a forma do triângulo de Reuleaux.