Pourquoi les plaques d'égout sont-elles rondes ? - Marc Chamberland

Leçon complète: http://ed.ted.com/lessons/why-are-manhole-covers-round-marc-chamberland

Pourquoi la plupart des plaques d'égout sont-elles rondes ? Bien sûr, ainsi, il est plus facile de les faire rouler, et de les mettre en place quelle que soit leur orientation. Mais il y a une autre raison, plus convaincante, impliquant une propriété géométrique particulière de cercles et d'autres formes. Marc Chamberland explique les courbes de largeur constante et le théorème de Barbier.

Leçon de Marc Chamberland, animation par Pew36 Animation Studios.

Pourquoi la plupart des plaques d'égout
sont-elles rondes ?

Certes, elles sont ainsi plus faciles
à déplacer et à positionner

mais il y a un argument
plus convaincant qui implique

une propriété géométrique particulière
des cercles et d'autres formes.

Imaginez un carré
séparant deux lignes parallèles.

Quand il pivote, ces lignes s'écartent
puis se rapprochent à nouveau.

Faites la même chose
avec un cercle :

les lignes se maintiennent
à la même distance,

qui est le diamètre du cercle.

Cela fait du cercle,
contrairement au carré,

une forme mathématique
appelée courbe de largeur constante.

Une autre forme ayant cette propriété
est le triangle de Reuleaux.

Pour en créer un,
commencez avec un triangle équilatéral,

puis faites d'un sommet
le centre d'un cercle

passant par
les deux autres sommets

Recommencez la même opération
avec deux autres sommets,

et voilà : il apparait dans la zone
où tous les cercles se chevauchent.

Puisque les triangles Reuleaux peuvent
tourner entre des lignes parallèles

sans changer leur distance,

ils peuvent travailler comme des roues,
avec un peu d'ingénierie créative.

Et si vous faites tourner son centre
selon un chemin quasi circulaire

les sommets décrivent
un carré à coins arrondis,

permettant à ces forets triangulaires
de percer des trous carrés.

Tout polygone avec
un nombre impair de côtés

peut être utilisé pour générer
une courbe de largeur constante

en utilisant la même méthode
que précédemment.

Cependant, il existe de nombreuses
autres méthodes pour en créer .

Par exemple, en faisant rouler une courbe
de largeur constante autour d'une autre,

vous en créez une troisième.

Cette collection de courbes pointues
fascine les mathématiciens.

Ils nous ont donné le théorème de Barbier:

le périmètre
d'une courbe de largeur constante

et pas seulement les cercles,
est égal à π fois son diamètre.

Un autre théorème dit que pour une famille
de courbes de largeur constante

possédant la même largeur,

elles ont toutes le même périmètre,

mais le triangle de Reuleaux est celui
qui a la plus petite surface.

Le cercle, qui est effectivement
un polygone Reuleaux

avec un nombre infini de côtés,
a la plus grande surface.

En trois dimensions, nous pouvons faire
des surfaces de largeur constante,

comme le tétraèdre de Reuleaux.

Prenez un tétraèdre,

puis faites grossir une sphère
centrée sur chaque sommet

jusqu’à ce qu'elle touche
les autres sommets,

et jetez tout à l'exception de la région
où elles se chevauchent.

Les surfaces de largeur constante

maintiennent une distance constante
entre deux plans parallèles.

Ainsi, vous pourriez jeter un tas
de tétraèdres de Reuleaux sur le sol,

et glisser dessus avec une planche
aussi bien que si c'était des billes.

Maintenant, retour à la question
initiale sur les plaques d'égout.

Le coté d'une plaque d'égout carrée

pourrait s'aligner avec la diagonale
du trou et tomber dedans.

Mais une courbe de largeur constante ne
chutera pas, quelque soit son orientation

D'habitude, elles sont circulaires,
mais gardez les yeux ouverts,

vous pourriez-bien tomber sur une plaque
d'égout en triangle de Reuleaux.