Muziek en wiskunde: Beethovens genie - Natalya St. Clair

Hoe komt het dat Beethoven, die bekend staat als een van de belangrijkste componisten aller tijden, veel van zijn meest geliefde stukken schreef terwijl hij doof aan het worden was? Het antwoord ligt in de wiskunde achter zijn muziek. Natalya St. Clair gebruikt de Mondscheinsonate om te laten zien hoe Beethoven emotie en creativiteit kon uitdrukken door de zekerheid van wiskunde te gebruiken.

Les door Natalya St. Clair, animatie door Qa'ed Mai.

(Muziek, Negende Symfonie van Beethoven)

Het klinkt misschien als een paradox,
of een wrede grap, maar toch is het waar.

Beethoven, de componist van sommige
van de meest bekende muziekstukken ooit,

was het grootste deel
van zijn carrière doof.

Dus hoe kon hij alsnog zulke ingewikkelde
en ontroerende composities schrijven?

Het antwoord ligt in de patronen die
verborgen liggen onder de prachtige tonen.

Als we bijvoorbeeld
de 'Mondscheinsonate' nemen,

die opent met een gestadige stroom
van noten die in triolen zijn gegroepeerd:

een-en-e-twee-en-e-drie-en-e.

Maar al klinken ze bedrieglijk eenvoudig,

elke triool bevat een elegante
melodische structuur,

wat de fascinerende relatie laat zien
tussen muziek en wiskunde.

Beethoven zei ooit:

"Als ik componeer, heb ik altijd een beeld
in mijn hoofd waar ik de lijnen van volg."

We kunnen ons een standaard octaaf
op de piano voorstellen, met uit 13 toetsen,

elk met een halve toon ertussen.

Een standaard majeur- of mineurtoonladder
gebruikt acht van deze toetsen,

met vijf hele tonen en twee halve.

De eerste helft
van maat 50 bijvoorbeeld,

bestaat uit drie noten in D majeur,

op een zogenaamde tertsafstand, die de
volgende noot in de toonladder overslaat.

Door de eerste, derde en vijfde noot
bij elkaar te doen, D, Fis en A,

krijgen we een harmonisch patroon
dat we een drieklank noemen.

Maar dit zijn geen willekeurige
magische getallen.

Ze geven de wiskundige relatie weer

tussen de toonhoogten van verschillende
noten, die een geometrische reeks vormen.

Als we beginnen met
de noot A3 op 220 hertz,

dan kan de serie worden uitgedrukt
met deze vergelijking,

waar 'n' de opeenvolgende noten
op het toetsenbord is.

De D majeur-triool van de Mondscheinsonate
gebruikt n-waarden van 5, 9 en 12.

Door deze in te vullen in de functie,
kunnen we sinus plotten voor elke noot,

waardoor we de patronen kunnen zien
die Beethoven niet kon horen.

Wanneer alle drie de sinusgolven
zijn geplot,

snijden ze elkaar op het beginpunt
van 0,0 en opnieuw op 0,0.042.

In deze periode gaat D
door twee volle cycli,

Fis door twee en een half,
en A door drie.

Dit patroon heet een harmonie,
die natuurlijk prettig in het gehoor ligt.

Maar misschien even interessant is
Beethoven's gebruik van dissonantie.

Bijvoorbeeld in maten 52 tot 54,

waar er triolen zijn met de noten B en C.

Zoals hun sinusgrafiek laat zien,
zijn de golven helemaal niet synchroon,

en komen ze nauwelijks bij elkaar.

En door deze dissonantie af te zetten

tegen de harmonie van de D majeur-drieklank
in de voorafgaande maten,

voegt Beethoven de niet meetbare elementen
van emotie en creativiteit toe

aan de zekerheid van wiskunde,

en creërt hij wat Hector Berlioz beschrijft als

"een van die gedichten die menselijke taal
niet weet thuis te brengen."

We kunnen dan wel de onderliggende
wiskundige patronen van muziek bestuderen,

maar er moet er nog ontdekt worden
waarom sommige patroonsequenties

het hart van de luisteraars
op bepaalde manieren raken.

En Beethovens echte genie lag niet alleen

bij zijn capaciteit om de patronen te zien
zonder de muziek te horen,

maar om hun effect te voelen.

James Sylvester schreef:

"Kan muziek niet worden beschreven als
de wiskunde van het gevoel,

wiskunde als de muziek van het verstand?"

De muzikant voelt wiskunde.
De wiskundige denkt muziek.

Muziek, de droom.
Wiskunde, het arbeidsleven.