Pixar: a matemática por detrás dos filmes — Tony DeRose

Vejam a lição completa em: http://ed.ted.com/lessons/pixar-the-math-behind-the-movies-tony-derose

As pessoas na Pixar são conhecidas como algumas das melhores contadoras de histórias do mundo. São talvez menos conhecidas como algumas das cabeças matemáticas mais inovadoras por detrás das animações, explicando como a aritmética, a trigonometria e a geometria ajudam a dar vida ao Woody e ao resto dos nossos heróis preferidos.

Palestra de Tonu DeRose.

Na Pixar, dedicamo-nos a contar histórias,

mas uma história que ainda
não foi contada muitas vezes

é o alto grau em que usamos a matemática

na produção dos nossos filmes.

A matemática que vocês
andam a aprender no liceu,

está sempre a ser usada na Pixar.

Vamos começar
com um exemplo muito simples.

Alguém conhece este tipo?

(Vivas)

Sim, é o Woody, do Toy Story.

Vamos pedir ao Woody
que atravesse o palco

da esquerda para a direita, assim.

Acreditem, acabaram de ver
uma tonelada de matemática.

Onde é que ela está?

Para explicar isso,
é importante perceber

que os artistas e os "designers" pensam
em termos de formas e imagens

mas os computadores pensam
em termos de números e equações.

Para interligar esses dois mundos,

usamos um conceito matemático
chamado geometria coordenada.

Ou seja, traçamos
um sistema de coordenadas

em que x descreve a distância
a que uma coisa está à direita

e y descreve a que altura está uma coisa.

Com estas coordenadas,
podemos descrever

onde o Woody está em cada momento.

Por exemplo, se conhecemos as coordenadas

do canto inferior esquerdo daquela imagem,

sabemos onde está o resto da imagem.

E naquela pequena animação
que vimos há segundos

— esse movimento
a que chamamos translação —

a coordenada x começou com o valor de 1

e acabou com um valor de cerca de 5.

Se quisermos escrever isso em matemática,

vemos que o x no fim

é quatro vezes maior
do que o x no início.

Por outras palavras,
a matemática da translação

é adição.

Certo?

E quanto à escala?

Isso é tornar uma coisa
maior ou mais pequena.

Têm ideia do que pode ser
a matemática da escala?

Expansão, multiplicação, é isso mesmo.

Se queremos fazer uma coisa
com o dobro do tamanho,

precisamos de multiplicar por dois
as coordenadas de x e de y.

Isto mostra que a matemática da escala

é a multiplicação, ok?

E quanto a isto?

Quanto à rotação?
Certo, é andar à roda.

A matemática da rotação
é trigonometria.

Esta é uma equação que exprime isso.

A princípio, parece um pouco assustadora.

Provavelmente dão isto
no 8.º ou 9.º ano.

Se estiverem numa aula de trigonometria

a pensar quando é que vão
ter necessidade desta coisa,

lembrem-se que, sempre que virem
uma coisa a girar, num dos nossos filmes,

é a trigonometria
que está por detrás disso.

Eu apaixonei-me pela trigonometria
no 7.º ano.

Há aqui alguém do 7.º ano? Uns poucos.

O meu professor de ciências
do 7.º ano mostrou-me

como usar a trigonometria

para calcular até que ponto subiam
os foguetões que eu estava a construir.

Eu achei aquilo fantástico

e apaixonei-me pela matemática
a partir daí.

Isto é matemática clássica,

a matemática que já era conhecida

e foi desenvolvida pelos gregos
da Antiguidade.

Há o mito de que toda a matemática
interessante já foi inventada.

Na verdade, a velha matemática
já foi toda inventada.

Mas, na verdade, cria-se
uma nova matemática todos os dias.

Alguma dessa matemática
está a ser criada na Pixar.

Vou dar-vos um exemplo.

Temos aqui algumas figuras

de alguns dos nossos primeiros filmes:

"À Procura de Nemo",
Monstros & Ca.", e "Toy Story 2".

Alguém sabe quem é a figura azul
no canto superior esquerdo?

É Dory. Ok, esta era fácil.

Agora, uma mais difícil.

Alguém sabe quem é a figura
no canto inferior direito?

Al McWhiggin do Al's Toy Barn, certo.

O que é de notar nestas figuras
é que são muito complicadas.

Estas formas são muito complicadas.

Na verdade, tenho aqui um exemplo,

o limpador de brinquedos, ali no meio,

esta é a mão dele.

Podem imaginar como foi divertido

fazer passar isto
pela segurança do aeroporto.

A mão dele é uma forma muito complicada.

Não é apenas um monte de esferas
e de cilindros todos ligados.

Não só é complicada

como se tem de mover
de formas complicadas.

Vou explicar como fazemos isso.

Para isso, tenho de vos falar
dos pontos médios.

Temos aqui dois pontos, A e B,
e o segmento de reta entre eles.

Vamos começar primeiro
a duas dimensões.

O ponto médio M, é o ponto que divide

esse segmento ao meio, certo?

Isto é geometria.

Para fazer equações e números,

voltamos a um sistema de coordenadas.

Se conhecermos as coordenadas de A e de B,

calculamos as coordenadas
de M, calculando as médias.

Vocês agora já sabem o suficiente
para trabalhar na Pixar.

Agora vou mostrar-vos
uma coisa um pouco assustadora,

que é passar para
uma demonstração ao vivo.

Tenho aqui um polígono de quatro lados

e a minha tarefa vai ser fazer
uma curva suave a partir disto.

Vou fazer isso, usando
a ideia dos pontos médios.

A primeira coisa a fazer,

é uma operação chamada divisão

que acrescenta pontos médios
em todos os lados.

Passei de quatro pontos para oito pontos

mas não está mais suave,
tenho de fazê-la mais suave,

movendo estes pontos todos
do sítio onde estão agora

para o ponto médio do seu vizinho,
na direção dos ponteiros do relógio.

Vão ver a animação.

Vou-lhe chamar a etapa da média.

Agora tenho oito pontos,
está um pouco mais suave.

A minha tarefa é fazer uma curva suave.

portanto, o que é que eu faço?

Recomeço, divisão e média.

Agora tenho 16 pontos.

Vou pôr estas duas etapas
— divisão e média —

numa só palavra: subdividir,

o que significa divisão mais média.

Agora, tenho 32 pontos.

Ainda não está bastante suave,
vou repetir.

Obtenho 64 pontos.

Veem uma curva suave a aparecer
a partir dos pontos iniciais?

É assim que criamos as formas
das nossas figuras.

Mas lembrem-se, eu disse há pouco

que não basta ter
a forma estática, a forma fixa.

Temos de a animar.

Para animar estas curvas,

o que é giro na subdivisão...

Viram extraterrestres em Toy Story?

Sabem aquele som que eles fazem?

Uuuuuu...

Preparados?

A maneira como animamos estas curvas

é animando os quatro pontos iniciais,

Uuuuuuuu...

Eu acho que é muito fixe.

e, se vocês não acham, a porta é ali,

não há nada melhor do que isso.

(Risos)

Esta ideia de dividir e médias,

também serve para superfícies.

Divido, e traço as médias.

Divido, e traço as médias.

Passo a dizer: subdivido.

É assim que criamos as formas
de todas as superfícies das figuras

em três dimensões.

Esta ideia de subdivisão

foi usada pela primeira vez
num pequeno filme, em 1997.

chamado "O Jogo de Geri"

Geri apareceu brevemente

em Toy Story 2,
como limpador de brinquedos.

Cada uma das suas mãos

— foi a primeira vez
que usámos a subdivisão —

cada mão foi uma superfície de subdivisão

a cara foi uma superfície de subdivisão

assim como o casaco.

Esta é a mão de Geri antes da subdivisão.

e esta é a mão de Geri
depois da subdivisão.

A subdivisão entra em ação,
suaviza todas as arestas

e cria as bonitas superfícies

que veem no ecrã e no cinema.

A partir daí, temos feito deste modo
todas as nossas figuras.

Esta é Mérida,
a figura principal de "Brave".

O vestido, as mãos, a cara
são superfícies de subdivisão.

As caras e as mãos
de todos os homens do clã

são superfícies de subdivisão.

Já vimos como a adição, a multiplicação

a trigonometria e a geometria
desempenham o seu papel nos nossos filmes.

Se tivesse mais tempo, podia mostrar
como a álgebra linear,

o cálculo diferencial,
o cálculo integral,

também desempenham um papel.

O principal que vos quero
transmitir hoje é:

lembrem-se que toda a matemática
que estão a aprender no liceu

e também nos primeiros anos da faculdade

está sempre a ser usada,
todos os dias, na Pixar.

Obrigado.

(Aplausos)